- •Курсовая работа по разделу "динамика" «исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы»
- •Оглавление
- •Аннотация
- •I. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы
- •II. Определение закона движения системы.
- •III. Определение реакций внешних и внутренних связей.
- •Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс
- •IV. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа
- •V. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.
- •VI. Результаты вычислений
- •Приложение График зависимости s(t),V(t)
- •График зависимости w(t) График зависимости t12(t),t23(t),t34(t)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
Курсовая работа по разделу "динамика" «исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы»
Вариант № 1
Выполнила: студенткагр.Б360811 Пашута А.А.,шифр 120191Научный руководитель:профессорМитяев А.Г
Тула, 2013
Оглавление
1. Аннотация
2. Часть I. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии системы.
3. Часть II. Определение закона движения системы.
4. Часть III. Определение реакций внешних и внутренних связей.
5. Часть IV. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.
6. Часть V. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.
7. Часть VI. Результаты вычислений.
8. Приложение.
Аннотация
Исследуется движение механической системы с одной степенью свободы, на которую действует момент сопротивления Mc=µ ω и возмущающая гармоническая сила F(t). Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения. Проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Требуется, используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.
Схема механизма и данные для выполнения задания:
Дано:
m1 = 2 кг
m2 = 1 кг r2 = 0,15 м сплошной цилиндр
m3 = 3 кг r3 = 0,1 м R3 = 0,2 м i3 = 0,2
m4 = 4 кг r4 = 0,2 м R4 = 0,3 м сплошной цилиндр
µ = 1 кг/с α = 450
υ = 0,5 Н м с x0 = 0.05 м
c = 2000 Н/м p = 2π с-1
fсц = 0,25
F0 = 20 Н
Рис.1. Схема механизма и исходные данные
I. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы
Изобразим расчетную схему (рис. 2)
Рис. 2. Расчетная схема
На рис. 2 обозначено:
Р1,Р2,Р3 ,Р4 – силы тяжести,
N4 – нормальные реакции опорной плоскости,
Fуп – упругая реакция пружины,
Х3, У3 – реакции подшипника блока 3,
R=V – сила вязкого сопротивления,
F(t) – возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:
, (1.1)
где Т - кинетическая энергия системы,
- сумма мощностей внешних сил,
- сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы".
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
Т=Т1+Т2+Т3 +Т4. (1.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
Т1=(1.3)
Каток 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига
T2=+, (1.4)
где V2 – скорость катка 2
JO2 - момент инерции относительно центральной оси блока;
- угловая скорость блока.
Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия
T3=, (1.5)
где J3 - момент инерции относительно центральной оси катка,
- угловая скорость катка.
Блок 4 совершает плоское движение.
T= ,
где m4 – масса блока 4,
V4 – скорость блока 4
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
T=+++ (1.6)
Выразим V3, V4,, ,J2, J3 через скорость груза 1.
Положив V1=V=V2, получим
J3=m3i32, J2=, ,V4= , , (1.7)
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:
(1.8)
или
T=, (1.9)
где mпр= =3,68 кг (1.10)
Величину mпр=const будем называть приведенной массой. Найдем производную от кинетической энергии по времени
(1.11)
Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения
(1.12)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
(1.13)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы
Сумма мощностей остальных сил
(1.14)
или, раскрывая скалярные произведения,
(1.15)
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
Всостоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая, получаем условие равновесия системы
тогда, учитывая, что сила вязкого сопротивления
(1.16)
или
Ne=V Fпр , (1.17)
где
(1.18)
Величину Fпр будем называть приведенной силой.
Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.18) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:
(1.19)
Запишем последнее уравнение в виде:
, (1.20)
где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:
- циклическая частота свободных колебаний,
k = 3,06 с-1
- показатель степени затухания колебаний.
n = 0,14 с-1
Запишем начальные условия движения:
t=0 | . (1.21)
Выражения (1.20) и (1.21) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.