matsostavlyayuschaya_10

Дополнительные задачи1

Вариант 0

1.Найти сумму десяти членов геометрической прогрессии, если сумма первого и третьего членов равна 5, а сумма второго и четвертого членов равна

10.

Решение:

						2	5								2		) 5
b1 b1q										,	b1(1 q									.
							3										2
			b1q					10										) 10
b1q											b1q(1 q
Разделим первое уравнение на второе:
	1		1		, q 2, b							5		1.
			2								1 22
	q									1
				b qn			b						b q10		b					210 1
Sn				1				1	,	S10			1					1			1023.
														q 1
					q 1															2 1
Ответ: 1023.
															16sin2 10 cos2 10
2. Вычислите без калькулятора																						.

1 sin50

Решение:

16sin2 10 cos2 10 4 (2sin10 cos10 )2 4sin2 20

		1 sin50				1 cos(90 50 )						1 cos40
			4sin2 20						4sin2	20	2.
						20			2sin2	20
	1 cos2 20 sin2
Ответ:			2.
3.Решить уравнение, в ответе указать произведение корней
	3				2			1.
					x(x 3)
	(x 1)(x 2)

Решение:

1 Вариант №0 приводится с решениями

	3							2		1,		3					2	1
	(x 1)(x 2)						x(x 3)					x2 3x 2				x2	3x
Обозначим: x2						3x t:
	3		2	1,		3t 2(t 2) t(t 2),
	t 2 t
3t 2t 4 t2 2t , t2 3t 4 0,
	D 9 16 25,							t1	3 5		4, t2		3 5		1.
								2				2

x2 3x 4, x2 3x 4 0, x1 4, x2 1.

x2 3x 1, x2 3x 1 0, D 9 4 5,

x3		3 5	, x4		3 5	.
	2			2

Произведение корней:

4 ( 1) (3 5) (3 5) (33 (5)2 ) 5 9 4. 2 2

Ответ: 4.

4.Найти целый корень уравнения: (x 3)1 lg(x 3) 100.

Решение:
Прологарифмируем обе части уравнения:
lg(x 3)1 lg(x 3)	lg100,
(1 lg(x 3))lg(x 3) 2.
Обозначим: lg(x 3) t, (1 t)t		2,
t2 t 2 0,	D 1 8 9, t1		1 3			1, t2		1 3	2.
lg(x 3) 1, x 3 10, x 13		2					2
lg(x 3) 2,	x 3 10 2 , x 3			1		3,01.
		100

Ответ: 13.

5.Решить неравенство logx 2 1

logx 2 3. В ответе указать наи-

меньшее целое решение.

Решение:

logx 2 1 logx 2 3, logx 2 y, y 3,

y 1 y 3.

Рассмотрим два случая				y 1 0 и	y 1 0. Неравенство запишется в
виде двух систем:
y 1 0		y 1 0
	y 3 0	,	2	.
		(y 1)		y 3

Решением первой системы будет: y [ 3; 1].

y 1

y2 y 2 0. y2 y 2 0,

y1 1, y2 2.

Методом интервалов:

-1 -2 1

y [ 2;1].

Объединяя решения, получим: y [ 3;1], или 3 logx 2 1.

При x 1, неравенство имеет вид: x 3 2 x,

x 2			x 2
		,			1 , x 2.
x 3	2		x
				3
					2

При 0 x 1: x 3 2 x,

x 2

x 2

1

,

1 , 0 x

.

x 3 2

x

3 2

3

2

1

2; .

Решением заданного неравенства будет:

x 0;

Наименьшее целое решение 2.

3 2

Ответ:

2.

6.Найти

число

целых значений

m,

при

которых уравнение

(m 2)x2

2mx m 4 0 имеет корни разных знаков.

Решение:

Очевидно, что m 2 0, поэтому можно записать:

x2

2m

x

m 4

0,

m 2

m 2

По формуле Виета:

m 4 x1 x2 m 2 .

m 4 0. m 2

Методом интервалов находим решение неравенства:

2 4

m (2;4). Целое значение m 3. Количество равно 1.

Ответ:1.

7.Найти принадлежащее промежутку [180 ;270 ] решение уравнения

cos2x cosx sin 2x sin x 1.

Решение:

Данное уравнение эквивалентно уравнению:

cos(2x x) 1, cos3x 1, 3x arccos1 2 k , k Z ,

x 2 k 120 k , k Z .

3

При k 2, x 240 [180 ;270 ].

При других значениях k решений, принадлежащих данному промежутку, нет.

Ответ:240 .

8.Найти						f (4)							для функции f (x)																								32 2x2								x	.
																																									x2
Решение:
					32 2x										2												32				2x		2													1
																	x																		x				32x 2
	f (x)																																										2x					2		.
																											x2
												x2									1												x2
	f												3		x
																		2					.
		(x) 64x
														3										1						64				1									1							3
																							2
	f	(4) 64 4														4																									1										.
																														43													2							2
																																				4
Ответ:									3		.
				2																																								x4
9.Найти наибольшее значение функции																																									f (x)						2x						3	2x		2	на отрез-
																																											2
ке [ 1;2].
Решение:
						4x3										2
	f											6x					4x 0.
		(x)		2
	4x3
			6x2 4x 0,																				2x(x2 3x 2) 0, x 0,
		2																																									1
																																									3 1											3 1
	x2 3x 2 0,															D 9 8 1,																	x									2,				x									1.
								1																	1									2					2							3								2
	f ( 1)									2 2 4																		,
				2																			2
	f (0) 0,
	f (1)			1			2 2											1					,
				2														2

f (2) 24 2 23 2 22 8 16 8 0. 2

Наибольшее значение функции равно 41 .

2

Ответ: 41 .

2

10.Найти периметр треугольника, если стороны его выражаются тремя последовательными целыми числами, причем больший угол его в два раза

больше меньшего.

Решение:

По теореме синусов:

a

2

a

a 1

a 2

a 1

,

sin

sin( 3 )

sin2

3

a 2

a

a 1

a 2

,

sin

2sin cos

sin 3

a

a 1

a 2

,

sin

3sin 4sin3

2sin cos

a

a 1

a 2

,

3 4sin2

2cos

a 2

a

a 1

a 1

4

2cos

,

a

,

a

,

4

a 1,

2

4

4

a 1

a

2

a

a

4cos

2

1

1

a

a

2

a

a 4.

Периметр P a (a 1) (a 2) 3a 3 12 3 15.

Ответ:15.

Вариант 1

1.В геометрической прогрессии с положительными членами сумма первого и третьего членов равна 50, а сумма третьего и пятого равна двум. Найдите знаменатель прогрессии.

2. Вычислить без калькулятора 5log2 9 log3 64 3log6 8 2log6 8 .

3.Решить

уравнение,

в

ответе

указать

сумму

корней

x2 3x 1 x2 13 3x.

4.Решить уравнение: 25x 6

75x 2

25x 3 75x 1 0.

5.Решить неравенство log

x 1

log

(x 1)2 . В ответе указать чис-

3

3

ло целых решений.

6.Найти наибольшее из произведений

xy,

глее

(x;y)

- любое решение

2

xy

2 0

y

системы уравнений:

2

2

.

(x 2y)

8 x

7.Найти

наименьшее

положительное

решение

уравнения:

tg(x 88 ) sin6(x 2 ) 0. Ответ выразить в градусах.

8.Касательная к графику функции

f (x) ax3 3x параллельна прямой

y 3ax. Найти наименьшее значение

a, при котором произведение ор-

динат точек касания будет наибольшим.

9. Найти наибольшее значение функции

f (x) cos2x sin x на проме-

жутке 0;

.

2

10.Высоты параллелограмма относятся как 5:7. Найти периметр параллелограмма, если его меньшая сторона равна 15.

Вариант 2

1.В арифметической прогрессии тридцатый член равен удвоенному десятому члену. Сумма первых тридцати членов прогрессии на 910 больше удвоенной суммы первых десяти членов прогрессии. Найти разность прогрессии.

2. Вычислить без калькулятора

2log4(9 45) 8log4(5 2) 4log4(2 5).

3.Решить уравнение, в ответе указать сумму корней

(x2 6x)2 (x 3)2 33.

4.Решить уравнение: 48xlg7 7lgx 343 0.

	1 x3	x 2
5.Решить неравенство			x 1. В ответе указать число

x 1

целых решений.

6.При каком наибольшем целом значении a каждое решение неравенства

x2 5x 6 0				содержится			среди	решений	неравенства
(x 1)(x2 a) 0?
7.Найти	принадлежащее промежутку (40 ;90 ) решение								уравнения
2 cos2	5	x sin2	5	x		.
					2
	2
			2

8.При каких значениях m треугольник, ограниченный осями координат и касательной к графику функции f (x) x2 m2 x, проходящей через

точку M(1;0), является равнобедренным? В ответе указать произведение всех этих значений.

x 2

9.Найти точку максимума функции y x3 .

10.Основания описанной около круга равнобочной трапеции равны 4 верхнее основание 27, а нижнее 60. Найти главную диагональ трапеции.

Вариант 3

1.В геометрической прогрессии с положительными членами сумма произведения 5-го и 15-го членов с произведением 6-го и 14-го членов равна 288. Найдите 10-ый член прогрессии.

2.Вычислите без калькулятора 8cos36 (cos12 cos48 ).

3.Решить уравнение		2x 2								2x 3	3.
										x 1
				2x 3
							1			2 2x
			2x 1								x 1				1
4.Решить уравнение	2									4							74.
															3 2x
					2							4

5.Решить неравенство log 1 log3 2 (2 3x) 2. В ответе указать наи-

6

большее целое решение.

6.Разность корней уравнения x2 12x p 0 равна 14. Найти p , не решая уравнения.

7. Решить уравнение cos2x 2sin x 3(sin2x 2cosx) 1.

В ответе указать наибольшее решение, принадлежащее промежутку

[0 ;360 ].

8. Найти сумму координат точек, в которых касательные к графику функ-

ции f (x) x(x 4)3 параллельны оси Ox .

9.Найти наименьшее значение функции

		x2		3
	f (x) 3			на отрезке		;2 .
		2x 1			4

10.В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Из середины этой стороны проведен перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра.

Вариант 4

1.Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если третье число

1

увеличить на , то числа составят геометрическую прогрессию. Если же

6

второй член новой прогрессии уменьшить на 2, то числа опять составят геометрическую прогрессию. Найти сумму исходных чисел.

2.Вычислите без калькулятора sin10 sin130 sin 250 .

3.Решить уравнение, в ответе указать сумму корней:

(x2 4x)2 3(x 2)2 52.

4.Решить уравнение: 2log

2 log

1

.

5

x

x

5

5.Решить неравенство log

(

x

1) log

(

x

2). В ответе ука-

x

x 1

зать наименьшее целое решение.

6.При каком наименьшем значении a, неравенства

0 x2 ax a 3 5 x2 x 1

выполняются для любых действительных значений x?

7.Найти принадлежащее промежутку [400 ;500 ] решения уравнения

(sin x cosx)2 1 2sin 2x.

						2		4
8. Найти f			для функции	f (x) 2cos			5x x			15x 19.
	2							2
9.Найти наименьшее значение функции					y (2x 1)2 (x 2) на отрезке

[1;3].

10. Радиус окружности r 3. Около этой окружности описан правильный треугольник и через центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти отрезок этой прямой, заключенный между двумя другими сторонами треугольника.