Построение статистической математической модели
Цель: получение начальных знаний по математическим моделям - как основы математического моделирования.
Математическая модель – совокупность функциональных зависимостей, описывающих связь между параметрами исследуемой системы (объекта) с учётом влияния окружающей среды и технологических параметров производства. Эта совокупность функциональных зависимостей описывает связь между параметрами только в определённой заданной области параметров и факторов (определение математической модели в широком смысле слова). В соответствии с принятой терминологией под математической моделью следует понимать некоторое математическое выражение, находящееся в отношении подобия к моделируемому объекту (в узком смысле слова). Отношение подобия предполагает однозначное соответствие между двумя объектами: моделью и объектом исследования. Но математическая модель справедлива только в определённой заданной области и учитывает не все явления, происходящие в объекте, поэтому математические модели являются приближёнными, т.е. находящимися в отношении приближённого подобия к моделируемому объекту.
Стремление сделать модель более полной приводит к существенному усложнению, трудности дальнейшего анализа, к потере наглядности. Поэтому в процессе моделирования систем необходимо искать компромисс между сложностью модели и точностью получаемых результатов.
При классификации математических моделей выделяют модели теоретические и статистические, линейные и нелинейные, статистические и динамические, детерминированные и вероятностные.
Математическая модель позволяет:
- получать информацию о процессах, протекающих в объекте;
- рассчитывать, т.е. анализировать и проектировать объекты;
- получать информацию, которую можно использовать для управления моделируемым объектом.
Задание. Построение статистического ряда и гистограммы.
При построении статистического ряда весь диапазон изменения случайной величины x в выборке от xmin до xmax делится на k классовых интервалов. Величину k – можно выбрать по эмпирической формуле
k=1+3,32lg(n) (1.1)
с округлением до ближайшего целого; n – количество опытов.
Длины всех интервалов Δх выбираются одинаковыми
. (1.2)
Затем определяют количество mj значений случайной величины х в каждом из классовых интервалов [x1,x2] и относительную частоту попадания случайной величины в соответствующий интервал
.
(1.3)
Статистический ряд оформляется либо в виде таблицы (табл.1.1), либо в виде графика – гистограммы (рис.1.1), причем всем значениям xj, попавшим в j-й интервал, приписывается значение середины данного интервала xjср. Высота гистограммы определяется по формуле:
.
(1.4)
Таблица 1.1
|
Границы j –го интервала |
[x1,x2] |
[x2,x3] |
… |
[xk-1,xk] |
|
Число попаданий mj |
m1 |
m2 |
… |
mk |
|
Относительная
частота
|
|
|
… |
|
По построенному статистическому ряду вычисляется среднее значение величины x
.
(1.5)
Мода M – наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Определяется графически по гистограмме (рис.1.1).
Рис. 1.1
Порядок расчета.
1. Исходные данные приведены в табл.1.2. Вариант задается преподавателем.
2. Рассчитать по формуле (1.1) количество классовых интервалов.
3. Определить по формуле (1.2) длину классовых интервалов.
4. Вычислить границы классовых интервалов.
5. Определить число попаданий mj величины х в каждый классовый интервал.
6. Рассчитать по формуле (1.3) частоту попадания величины х в каждый классовый интервал.
7. Определить по формуле (1.4) высоту гистограммы.
8. Составить статистический ряд в виде таблицы и гистограммы.
9. Вычислить по формуле (1.5) среднее значение величины х.
10. Графически определить моду.
Отчет должен содержать исходные данные и результаты расчета, а также выводы по работе.
Таблица 1.2
|
Номер опыта |
Номер варианта задания | |||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | |
|
1 |
41,3 |
29,1 |
70,9 |
19,25 |
39,0 |
68,1 |
59,0 |
31,2 |
|
2 |
41,2 |
30,5 |
85,0 |
18,34 |
26,8 |
69,4 |
57,1 |
32,6 |
|
3 |
37,4 |
35,6 |
64,0 |
16,42 |
32,3 |
81,6 |
54,9 |
26,7 |
|
4 |
35 |
26,5 |
89,1 |
20,06 |
30,9 |
72,9 |
54,1 |
32,3 |
|
5 |
40,2 |
27,8 |
64,5 |
15,62 |
27,1 |
64,5 |
42,8 |
24,0 |
|
6 |
48,1 |
27,6 |
94,3 |
18,85 |
38,6 |
81,2 |
55,8 |
35,1 |
|
7 |
43,5 |
28,2 |
75,0 |
19,15 |
31,6 |
75,0 |
55,1 |
28,1 |
|
8 |
37 |
38,1 |
78,6 |
15,01 |
30,5 |
82,3 |
47,9 |
28,2 |
|
9 |
43,6 |
30,9 |
83,1 |
16,12 |
29,2 |
72,2 |
55,9 |
27,2 |
|
10 |
45,8 |
33,6 |
78,5 |
15,31 |
28,2 |
85,4 |
47,3 |
24,8 |
|
11 |
45,2 |
32,3 |
85,4 |
19,46 |
28,6 |
71,1 |
52,3 |
29,2 |
|
12 |
46,8 |
31,9 |
92,4 |
20,3 |
29,0 |
79,6 |
54,6 |
28,9 |
|
13 |
46,5 |
28,9 |
90,4 |
19,46 |
37,8 |
82,2 |
53,9 |
30,8 |
|
14 |
34,6 |
29,8 |
73,4 |
19,56 |
31,6 |
75,2 |
51,6 |
29,8 |
|
15 |
50,8 |
30,5 |
68,3 |
19,76 |
36,7 |
77,3 |
52,9 |
27,7 |
|
16 |
42,9 |
30,8 |
64,3 |
16,93 |
31,8 |
63,8 |
55,1 |
30,5 |
|
17 |
35 |
36,6 |
87,3 |
20,7 |
38,3 |
83,6 |
49,3 |
28,0 |
|
18 |
37 |
35,5 |
82,1 |
16,12 |
31,1 |
69,1 |
45,2 |
30,5 |
|
19 |
49,8 |
35,5 |
90,8 |
21,0 |
27,7 |
69,0 |
55,6 |
26,9 |
|
20 |
41,6 |
34,7 |
70,7 |
17,64 |
27,4 |
61,0 |
47,1 |
29,0 |
|
21 |
44,9 |
30,6 |
83,2 |
14,61 |
34,2 |
63,8 |
48,8 |
34,5 |
|
22 |
47,1 |
29,1 |
89,9 |
15,01 |
37,3 |
67,8 |
46,1 |
24,3 |
|
23 |
45,7 |
35,9 |
87,6 |
17,84 |
27,0 |
70,6 |
49,5 |
25,3 |
|
24 |
39,4 |
30,1 |
93,5 |
15,51 |
29,6 |
84,4 |
46,0 |
24,5 |
|
25 |
49,3 |
32 |
91,7 |
19,96 |
32,4 |
84,3 |
44,2 |
33,9 |
|
26 |
42,4 |
25,6 |
89,4 |
16,73 |
37,0 |
73,5 |
44,9 |
31,8 |
|
27 |
38,5 |
29,2 |
69,8 |
20,7 |
27,2 |
64,4 |
50,8 |
33,0 |
|
28 |
51,3 |
30,9 |
69,8 |
17,84 |
34,3 |
76,6 |
42,0 |
29,3 |
|
29 |
44,2 |
37,4 |
67,7 |
15,51 |
39,1 |
61,1 |
58,0 |
32,7 |
|
30 |
50,7 |
31 |
75,8 |
18,04 |
29,2 |
85,9 |
43,6 |
33,9 |
|
31 |
37,3 |
34,2 |
79,4 |
21,1 |
32,9 |
82,9 |
40,5 |
34,2 |
|
32 |
36,6 |
34,5 |
85,0 |
17,13 |
31,6 |
66,7 |
40,1 |
24,8 |
|
33 |
44,5 |
33,9 |
85,3 |
15,62 |
27,2 |
74,7 |
43,0 |
35,2 |
|
34 |
50,2 |
26,6 |
74,9 |
17,94 |
31,7 |
64,8 |
56,8 |
25,9 |
|
35 |
35,2 |
34,8 |
85,4 |
20,3 |
29,3 |
84,0 |
56,3 |
33,6 |
|
36 |
45,8 |
29,3 |
88,4 |
16,93 |
37,7 |
78,6 |
50,0 |
28,5 |
|
37 |
36,8 |
32 |
77,8 |
17,33 |
37,9 |
65,6 |
54,6 |
28,9 |
|
38 |
47,7 |
30 |
70,1 |
15,11 |
36,5 |
73,8 |
56,9 |
31,9 |
|
39 |
40,9 |
30,9 |
68,4 |
19,76 |
31,1 |
63,0 |
41,0 |
33,0 |
|
40 |
44,8 |
27,5 |
71,6 |
16,73 |
38,0 |
66,7 |
55,3 |
24,1 |
|
41 |
43,7 |
35,2 |
90,3 |
20,8 |
39,4 |
68,9 |
42,5 |
29,8 |
|
42 |
37,8 |
28,5 |
78,5 |
16,73 |
29,5 |
69,2 |
55,9 |
31,3 |
|
43 |
40,7 |
25,9 |
66,7 |
17,74 |
27,9 |
60,8 |
58,6 |
24,4 |
|
44 |
47,4 |
38 |
86,0 |
15,01 |
33,4 |
69,9 |
54,3 |
26,6 |
|
45 |
40,8 |
37,3 |
73,4 |
17,03 |
30,4 |
69,0 |
56,5 |
33,9 |
|
46 |
49,8 |
35,1 |
92,5 |
16,32 |
34,4 |
84,4 |
52,5 |
26,2 |
|
47 |
41,9 |
33,1 |
84,7 |
14,61 |
38,1 |
60,9 |
43,5 |
24,1 |
|
48 |
48,4 |
26,8 |
64,7 |
16,32 |
39,5 |
69,0 |
44,6 |
31,9 |
|
49 |
46,1 |
37,5 |
93,2 |
17,84 |
35,0 |
76,8 |
41,3 |
30,3 |
|
50 |
42,3 |
28,9 |
67,7 |
19,25 |
29,1 |
67,6 |
49,2 |
35,0 |
|
Номер опыта |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1 |
32,2 |
17,6 |
78,7 |
63,9 |
27,5 |
14,1 |
11,8 |
40,3 |
|
2 |
34,8 |
23,9 |
85 |
56,4 |
21,5 |
15,9 |
12,2 |
33,1 |
|
3 |
33,1 |
17,1 |
64,8 |
62,3 |
22 |
13,2 |
14,6 |
31,4 |
|
4 |
33,1 |
18 |
64,3 |
49 |
23,5 |
14,1 |
16,5 |
36,9 |
|
5 |
24,2 |
22,8 |
81,6 |
47 |
27,6 |
16,9 |
14,3 |
34,6 |
|
6 |
24,5 |
22,9 |
69,9 |
48,3 |
25,3 |
13,6 |
13,5 |
33 |
|
7 |
27,2 |
17,5 |
75,1 |
53,9 |
28 |
14,2 |
13,7 |
27,4 |
|
8 |
26,7 |
22,8 |
71,4 |
45,4 |
27,3 |
18,9 |
15,5 |
32,3 |
|
9 |
26,5 |
19,4 |
86,5 |
60,8 |
21,1 |
13,9 |
12,6 |
35,6 |
|
10 |
26 |
19,3 |
80,2 |
56,4 |
26,1 |
13,3 |
12,7 |
39,1 |
|
11 |
27,7 |
19 |
62,2 |
46,9 |
27,5 |
13,2 |
15,8 |
29,4 |
|
12 |
32,7 |
16,1 |
62,3 |
61,8 |
28,6 |
12,9 |
12,3 |
29,6 |
|
13 |
28,7 |
20,9 |
68,7 |
59 |
26,7 |
16,9 |
14,9 |
28,4 |
|
14 |
32,7 |
17,5 |
71,6 |
48,1 |
20,9 |
17 |
11,5 |
37,6 |
|
15 |
33,8 |
22 |
64,4 |
60,2 |
25,2 |
15,9 |
15,3 |
35,4 |
|
16 |
31,4 |
18,6 |
84,1 |
45,1 |
28,7 |
18,5 |
15,5 |
33,6 |
|
17 |
26,5 |
17,1 |
71,3 |
60,4 |
25,3 |
16,9 |
13 |
30,6 |
|
18 |
27,5 |
22,8 |
83,8 |
44,6 |
28,1 |
18,6 |
14 |
36,5 |
|
19 |
24,8 |
17,5 |
84,8 |
45,7 |
21,3 |
13,7 |
13,4 |
27,2 |
|
20 |
32,2 |
17,9 |
71,1 |
48,1 |
21,2 |
16,5 |
16,5 |
30,8 |
|
21 |
33,4 |
22,2 |
71.6 |
55,5 |
26,6 |
17,5 |
13,9 |
27,3 |
|
22 |
30,8 |
22,9 |
63,1 |
54,2 |
20,4 |
16,8 |
14,7 |
35,1 |
|
23 |
29 |
18,6 |
75,5 |
55,5 |
20,6 |
13,7 |
11,7 |
32,6 |
|
24 |
25,2 |
18,1 |
64,1 |
46,6 |
28,9 |
13,3 |
16,4 |
33,8 |
|
25 |
27 |
23,7 |
71,8 |
46,5 |
24,8 |
15,1 |
15,3 |
31,3 |
|
26 |
27,3 |
22,8 |
62,5 |
48,2 |
24,5 |
16,7 |
16,5 |
40,3 |
|
27 |
25,2 |
17,1 |
82,4 |
46,2 |
20,5 |
15,3 |
13,2 |
39,1 |
|
28 |
34,9 |
18,7 |
83 |
51,8 |
20,6 |
18,1 |
12,9 |
40,3 |
|
29 |
33,7 |
32,3 |
85,4 |
44,7 |
25,4 |
18,6 |
11,5 |
39,3 |
|
30 |
28,7 |
19,7 |
77,6 |
50 |
22,1 |
14,1 |
15,4 |
34,5 |
|
31 |
33 |
19,5 |
64,3 |
46,7 |
24,1 |
17,5 |
12,5 |
34 |
|
32 |
24,4 |
19,4 |
86,7 |
48,5 |
25,9 |
14,1 |
15 |
39,4 |
|
33 |
29,2 |
22,7 |
82,4 |
52,5 |
29,7 |
14 |
14,6 |
27,6 |
|
34 |
27,9 |
16,9 |
69,3 |
50,4 |
23,8 |
17,9 |
15,8 |
40,4 |
|
35 |
33,9 |
19,1 |
62,3 |
58,3 |
21,1 |
18,3 |
14,6 |
30,7 |
|
36 |
31 |
21,9 |
74,4 |
50,1 |
27,5 |
14,7 |
14 |
33,3 |
|
37 |
31,8 |
23,1 |
69,7 |
55,5 |
29,5 |
19,1 |
12,8 |
29,1 |
|
38 |
30,5 |
17,3 |
79,4 |
63,6 |
20 |
15,9 |
12,2 |
37,2 |
|
39 |
28,7 |
16,7 |
63,7 |
60,7 |
42,9 |
14,8 |
14,1 |
40 |
|
40 |
24,3 |
17,1 |
83 |
48,4 |
26,8 |
18,8 |
13,9 |
35,8 |
|
41 |
28,2 |
16,9 |
76,4 |
63 |
21 |
13,5 |
14,1 |
33,8 |
|
42 |
24,8 |
23,8 |
86,6 |
51,5 |
23,4 |
13,3 |
13 |
40,7 |
|
43 |
30,2 |
22,4 |
67,1 |
51 |
25,1 |
18,5 |
15,1 |
35,4 |
|
44 |
25 |
19,1 |
63,5 |
64,1 |
20,8 |
17,6 |
15,1 |
31,1 |
|
45 |
35,6 |
18,6 |
79,2 |
53,4 |
24,4 |
14,7 |
13,9 |
39,7 |
|
46 |
28,4 |
23,8 |
83,1 |
47,6 |
27,4 |
14,4 |
15,2 |
35,1 |
|
47 |
33,1 |
17,2 |
75,1 |
49,1 |
26,4 |
16,4 |
16 |
30,3 |
|
48 |
28,9 |
17,3 |
66,8 |
60,8 |
22,2 |
16,7 |
15,4 |
33,4 |
|
49 |
28,1 |
19,3 |
87,6 |
62,4 |
25,8 |
16,8 |
13,8 |
32,3 |
|
50 |
26,4 |
16,8 |
66,4 |
45,2 |
25,2 |
13,3 |
13,7 |
34 |