Вектора

Вектор– это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.

Длинойвектора называется длина отрезка.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевымвектором.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичнымвектором.

Векторы aиbназываютсяколлинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Вектор, соединяющий начало одного вектора с концом другого вектора называется суммойэтих векторов.

Под разностьювекторовaиbпонимается векторc=a-bтакой, чтоb+c=a.

Произведением вектора a на скаляр называется вектора, который имеет длину ||*|a|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если>0 и противоположное, если<0.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. a+b=b+a;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. 1(2*a)= 1*2*a;

4. (1+2)*a=1*a+2*a;

5. (a+b)= a+b.

Проекцией точки М на осьlназывается основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.

Проекцией векторанаABосьlназывается положительное число |AB|, если векторA1B1 и осьlодинаково направлены и отрицательное число, если вектор А1В1 и осьlпротивоположно направлены.

Св-ва.

1. Проекция вектора а на ось lравна произведению модуля вектора а на косинус угламежду вектором и осью, т.е. прla=|a|*cos.

Следствие. Проекция вектора на ось положительна(отрицательна), если вектор образует с осью острый(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Следствие. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3. При умножении вектора а на число его проекция на ось также умножается на это число.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

a=ax*I+ay*j+az*k. Эта формула является основной в векторном исчислении и называетсяразложением вектора по ортам координатных осей. Числаax,ay,azназываютсякоординатами вектораa, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

|a|=(ax²+ay²+az²), т.е.модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

cos²+cos²+cos²=1, т.е.сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Скалярным произведениемдвух ненулевых векторовaиbназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Св-ва.

1. ab=ba;

2. (a)b=(ab);

3. a(b+c)=ab+ac;

4. a²=|a|²;

5. если векторы aиb(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

a*b=axbx+ayby+azbz. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

Векторным произведениемвектора а на векторbназывается вектор с, который:

1. перпендикулярен векторам а и b;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах aиbкак на сторонах, т.е. |c|=|a|*|b|*sin, гдеугол между векторами а иb;

3. векторы a,bиcобразуют правую тройку.

Св-ва.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

2. (axb)=( a)xb=ax(b).

3. Два не нулевых вектора aиbколлинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

4. (a+b)xc=axc+bxc.

Смешанное произведениепредставляет собой число.

Св-ва.

1. (axb)c=(bxc)a=(cxa)b.

2. (axb)c=a(bxc).

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. abc=-acb.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов a,bи с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.