Задачи для подготовки к экзамену-2сем

Задачи.

Алгебра .2 семестр.РТС.

I Комплексные числа.

1. Вычислить , ответ представить в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости.

2. Вычислить . Ответ представить в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости.

3. Вычислить , результат изобразить на комплексной плоскости.

4. Решить уравнение. Ответ представить в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости. z

II Линейные пространства.

1.Является ли множество векторов заданного вида линейным подпространством в ? Если да, то найти базис и размерность этого подпространства . Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

2.Показать, что многочлены ;образуют базис пространства . Найти координаты вектора _g(t)= в этом базисе. Сделать проверку.

3.Проверить, что множество многочленов заданного вида с вещественными коэффициентами образует подпространство в линейном пространстве многочленов степени не выше 2. Найти размерность и базис L, дополнить его до базиса всего пространства .

4. Доказать, что векторы = + =+ и = + образуют базис в пространстве геометрических векторов. Найти координаты вектора= –+ 2 - в этом базисе.

III Линейные операторы.

1. В пространстве V линейный оператор -поворот против часовой стрелки на угол вокруг оси ОY.

   1. Найти матрицу оператора A в базисе.

   2. Найти образ вектора

   3. Найти ядро и образ оператора А.

   4. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

   5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Является ли он оператором простого типа?

2. В пространстве V линейный оператор - зеркальное отражение относительно оси ОХ.

   1. Найти матрицу оператора A в базисе.

   2. Найти образ вектора

   3. Найти ядро и образ оператора А.

   4. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

   5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Является ли оператором простого типа?

3. В пространстве V линейный оператор - зеркальное отражение относительно плоскости XОY.

   1. Найти матрицу оператора A в базисе.

   2. Найти образ вектора

   3. Найти ядро и образ оператора А.

   4. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

   5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Является ли оператором простого типа?

4. В пространстве V линейный оператор - проекция на ось ОY.

   1. Найти матрицу оператора в базисе.

   2. Найти образ вектора

   3. Найти ядро и образ оператора

   4. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

   5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Является ли оператором простого типа?

5. В пространстве V линейный оператор - проекция на плоскость YOZ.

   1. Найти матрицу оператора в базисе.

   2. Найти образ вектора

   3. Найти ядро и образ оператора

   4. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

   5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Является ли оператором простого типа?

6. В пространстве V линейный оператор – гомотетия с коэффициентом к= -7.

   1. Найти матрицу оператора в базисе.

   2. Найти образ вектора

   3. Найти ядро и образ оператора

   4. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

   5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Является ли оператором простого типа?

7. В пространстве P оператор действует по правилу p(t)=2.

1) Показать , что линейный оператор в P.

2) Найти матрицу оператора в каноническом базисе пространства.

3) Найти ядро и образ оператора .

4) Обратим ли оператор?Если да, то указать явный вид обратного оператора.

5) Найти собственные значения и собственные векторы оператора .

Является ли оператор оператором простого типа? Если да, то указать базис из собственных векторов и матрицу оператора в собственном базисе.

8. В каноническом базисе пространства R оператор действует по правилу

a) =(3, , );

1) Показать линейность оператора .

2) Найти матрицу оператора в каноническом базисе пространства.

3) Найти ядро и образ оператора .

4) Обратим ли оператор? Если да, то указать явный вид обратного оператора.

5) Найти собственные значения и собственные векторы оператора .

Является ли оператор оператором простого типа? Если да, то указать базис из собственных векторов и матрицу оператора в этом базисе.

9. Линейный оператор в базисе (,,) задан матрицей A. Найти матрицу оператора в базисе (,,). = - + , = 2 + , = - .

10.Является ли следующий оператор линейным оператором?

a) =( +,+ ,)

б) =(,+ ,)

с) =( +,+ ,+)

IV Квадратичные формы и евклидовы пространства.

1. Дана квадратичная форма ₌

а) Привести к каноническому виду методом Лагранжа, выписать преобразование координат.

б) Найти положительный и отрицательный индексы и ранг формы.

в) Исследовать на знакоопределенность по каноническому виду и по критерию Сильвестра.

2. Дана матрица Грама скалярного произведения G= в базисе .

а) Найти угол между векторами и (-1,3)

б) Ортогонализировать базис . Сделать проверку с помощью матрицы перехода.

3. Дана матрица Грама

₌в базисе .

а) Проверить, что матрица является матрицей Грама.

б) Найти длины базисных векторов и углы между ними.

в) Найти длины векторов =(1,2, 4) и =(2,-1,3) и угол между ними.

Дополнительные задачи.

1. Разложить многочлен P(z)= на линейные множители.

2.Решить уравнение. Ответ представить в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости.

3. Установить, являются ли заданные множества подпространствами в R. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) Множество векторов, координаты которых удовлетворяют условию:

2) Множество векторов, координаты которых удовлетворяют условию:

3) Множество векторов, координаты которых (- отрицательные числа.

4. Пусть L-множество многочленов p(t) степени не выше 2, удовлетворяющих условию:

p(0)=p(1). Доказать, что L-линейное подпространство в . Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

5. В пространстве многочленов степени не выше 2 оператор действует по правилу

(p(t)) = . Доказать, что - линейный оператор. Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе S=(.

6.В пространстве многочленов степени не выше 2 оператор действует по правилу

(p(t)) = ((t²p(t-2)). Доказать, что - линейный оператор. Найти его матрицу в каноническом базисе, найти ядро и образ оператор. Существует ли обратный оператор?

7.Линейный оператор в пространстве в базисе имеет матрицу . Найти собственные значения и собственные векторы оператора _. Является ли он оператором простого типа? Если да, то указать базис из собственных векторов и матрицу оператора в этом базисе.

8.В пространстве оператор действует по правилу , . Показать линейность оператора, найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе

S = {

9.В пространстве линейный оператор - поворот на угол по часовой стрелке. Найти матрицу оператора в каноническом базисе. Найти образ вектора Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор? Является ли оператором простого типа?

10.Дана матрица Грама

₌в базисе . Ортогонализировать базис S.

8