киб_3_семестр_матан_лекции

Лекция 11

Основные Тейлоровские разложения

Основные Т. разложения:

(Рассмотрим основные элементарные функции в окрестности нуля)

	1.
		=	∞			+
			!	= 1 + + 2	+ + !

Сходится на всей числовой оси (-∞;+∞)

2.

∞			=		+		+ + (−1)		+
sin = (−1)		(2 + 1)!		3!		5!		(2 + 1)

Сходится на (-∞;+∞)

3.		= 1 − + + + (−1)	+
cos = (−1)
∞
	(2 )!	2 4	(2 )!

Сходится на (-∞;+∞)

4.		+
(1 + )! = 1 + "( −1) … ( − + 1)
∞
	!

Сходится при |x|<1

Частные случаи:

= −1

4.1.

1	∞
	= (−1)
1 +
4.2.
1	∞
	=
1 −
4.3.
1	∞
	= (−1)
1 +
5.
ln(1 + ) = (−1)
	∞
			( + 1)

сходится |x|<1, т.е. -1<x<1 при x=-1

при x=1

∞		1	= 1 − 1	+ 1		− − условно сходится
' 2 = (−1)
		+ 1	2		3
сумма = ln2
область сходимости (-1;1]
6.					, сх. при
()*+,( ) = (−1)
∞
			(2 + 1)
|x|<1
x=1	(−1) = 1 −					+	− 0	−
()*+,1 = ∑
∞									условно сходится и равна	∏

при х=-1

23 = − ∑∞ (1 − + − )- тот же самый ряд; сх. условно.

[-1;1]-область сходимости.

Вывод основных Тейлоровских разложений

1. f(x)= ; ( )( ) = (доказываем универсальным способом)

4 (0) = | = 1

формально составляем ряд:

		~	∞
			!
Когда знак «=»? Rn(x) - проверить
			9	| |		3| |	при	→	∞	,
8 ( ) = ( + 1)!						≤ ( + 1)! → 0					.
	. . ( )! −						∑ ( )! −
т к			| |<=>		общий член сх ряда		∞	| |<=>			сход ряд на всей числовой оси

( проверьте!)

предел общего члена сх. ряда =0 (по необходимому признаку)

lim→ ( <=>) = 0 lim→A 8 ( ) = 0.

∞ !

Тогда по теореме 26 между формально составленным рядом и функцией

можно поставить «=» = ∑→AA !<,			-∞<x<+∞.
ч.т.д.
2. Рассмотрим sinx
(sin ) = sin( + B2 )
(sin( ))		0, = 2D
		| = C(−1) , = 2D + 1

составляем формальный ряд

∞
sin ~ (−1)		(2 + 1)!

когда «=»?

Оценим по модулю Rn(x)

EFGH IJ + (K + L)MOE |P|K L |8 ( )| = ( N ) → 0

K + L !

(как общий член сходящего ряда на всей числовой оси(проверьте, что

соответствующий ряд сходится)).

3. разложение cos x доказывается дифференцированием sinx

sin( ) = (−1) (2 + 1)			= (−1)
∞			∞
	(2 + 1)	2 !		(2 )!

по теореме о дифференциации ряда продифференцированный ряд будет

сходится там же, где сходится исходный ряд, т.е. на (-∞;+∞).

4.Доказать самостоятельно.

5.Разложение f(x)=ln(1+x) получается интегрированием ряда 4.1

4.1.

= ∑∞ (−1) ,|x|<1

	R	∞
Q		= (−1) Q R
	1 +

ln(1 + ) = ∑∞ (−1) <=>, |x|<1,

при интегрировании радиус сходимости сохраняется.

5. Разложение arctg x получается интегрированием формулы 4.3.

x	dx		∞	x	∞	(−1)n x2n +1
∫			= arctgx = ∑(−1)n ∫ x2ndx = ∑				,		x		< 1
		2
0	1 + x		n =0	0	n =0	2n + 1

Пример 1
Разложить в ряд Тейлора
f(x)= 2STT, = 0
t=	T
−		A	+	A		сх. на 8
2 T = U =				= (−1)
			!		2 !

по теореме единственности это – р. Т. f(x)= 2STT

Пример 2
Разложить в ряд Тейлора
f(x)= , = −5
− = + 5 = + = + − 5
A	A	( + 5) сх. на 8
= U2 = 1 +	= 1
!		!

по теореме единственности сх. к в окрестности = −5

Пример 3

Разложить 4( ) = в ряд Тейлора в окрестности Xo=-1, где

4( ) = =		( ) = bS=>T c = U =
								x=-1 t=0	=
						( )<		+ =	( )<
	∞				∞			∞		– сходится
=	∑ (−1) + =				∑	<	(−1) = ∑ (−1)		<=>
при |t|<1, т.е | |			<1→ |x+1|<2

Пример 4

4( )

= (2)T

= 0

Разложить

1

∞

′

∞

4( ) = I

O′

2, | | < 1

= d e =

1 −

Пример 5

1 ( +

2) = 1 h + (−1) i

4( ) = ch( ) =

∞

∞

= 2

2

2

!

!

(−∞, +∞)

j1 + (−1)

k !

= l

(2D)! ,

1

∞

∞

l

сходится на

1 + (−1) = C

2, = 2D

0, = 2D + 1

Лекция 12

Приложение степенных рядов и рядов Тейлора

1)Приближенное вычисление определенных интегралов.

Наиболее целесообразно вычислять определенные интегралы, когда

нельзя вычислить интеграл в элементарных функциях. Также когда

трудоемкие вычисления (громоздкие)

1			− интеграл вероятностей
Ф х = √2

Подинтегральную функцию раскладывают в ряд Тейлора и потом интегрируют

=	1	'	$	$			=	1	'	−1 $			) $*+
	√2	# −1		2	$	%!		√2	#		$	%! 2% + 1
		$(							$( 2

(В разложении функции ех предыдущей лекции вместо х ставим − и

интегрируем полученный ряд. В результате полученный ряд будет сходиться там же, где сходится ряд для ех , т.е. х<+∞)

Ф(х) –	является суммой степенного ряда на всей числовой оси
Ф(х) –	функция табулирована; для примера вычислим
Ф(1)-?
с точностью до 0,01 – ошибка приближения(остаток ряда)
	1	1	1	≈ 0,3413 ≈ 0,34
	Ф 1 ≈ /1 − 2 ∙ 3 +	2 ∙ 2! ∙ 53	√2
Потребуем, чтобы ошибка |rn(1)|≤0,01 , ограничимся тремя членами

ряда, тогда: для знакочередующегося ряда ошибка приближения по

абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого из отбрасываемых членов

≤ + ≈ 0,003 < 0,01

|r3(1)| 8∙9!∙:

Задание на дом: вычислить интегральный синус si(1/2) с точностью до

0,001, где <= ) = > ?@A

2)Приближенное вычисление основных элементарных функций

, sin ) , cos ) , ln 1 + ) , …

Например вычислить приближенно число е. Для этого в разложении 1

= 1 + ) + + + J +

предыдущей лекции ! $! вместо х ставим x=1

и вычисляем с требуемой точностью: e≈2,71828 (здесь ряд незнакочередующися, поэтому ошибку приближения Rn(x) в формуле Тейлора записываем в форме Лагранжа).

3)Вычисление пределов (раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора было в 1м семестре)

4)Приближенное решение дифференциальных уравнений с

помощью степенных рядов (решение задач Коши). Будет рассмотрено

на семинарских занятиях.

5)Вывод формулы Эйлера с помощью степенных рядов

K = cos L + sin L ; где O = ) + =L − формула Эйлера

Вывод: введем K, как сумму следующего ряда

K = ' O$ $#( %!

Сходится ли ряд?

при z=x ряд сходится и превращается в ряд	= ∑$'( $!
	J

х

По теореме Абеля если комплексный ряд сходится в точке z=х, то он сходится внутри круга радиуса |z|=|x|.

Можно взять другой х, побольше и т.д. Тогда		∑$'( $!
		KJ сходится на всей
комплексной плоскости; сумму этого ряда полагаем равной K
Нам потребуется свойство KU*K = KU	∙ K
На дом: доказать его с помощью перемножения степенных рядов.
Указание: рассмотреть
'		=
KU*K = # O+ + O $
$(	%!
'	'
и KU ∙ K = V# O+$W ∙ V# O $W =
$( %!	$( %!

Используя это свойство, выведем формулу Эйлера:

		'	=L $
K = *XY = #
	$(		%!	L\	L9	L_
=			L				− ]
		Z[1 − 2!		+ 4!	− ]^ + = [L − 3!	+ 5!

= cos L + = sin L

(смотрите в предыдущей лекции ряды Тейлора 2 и 3 для функций cos(y)

и sin(y) )

Лекция 13

Тригонометрические ряды Фурье

Фурье – французский математик(1768-1830). Изучая теорию тепла, ввел ряды и интеграл, которые впоследствии его ученики назвали его именем.

Тригонометрические ряды Фурье – яркий представитель функциональных рядов.

Определение 1(тригонометрической системы функций на отрезке

[-π;π]).

Тригонометрической системой функций на отрезке [- ; ] называется бесконечная система вида:

1, cos x, sin x, cos 2x, si2x,…, cos nx, sin nx,… (1)

Определение 2(тригонометрической системы функций на отрезке [- l;l]).

Тригонометрическая система функций на отрезке [-l;l] называется бесконечная система функций вида:

1, cos , sin , cos , sin ,…, cos			, sin	(2)
Замечание1. Ясно, что от системы (2)			можно перейти к (1)	( )
заменой		=

(1) (2) x=

Замечание2. Все свойства, которые мы изучим для системы (1),

справедливы и для системы (2).

Определение 3(ортогональности тригонометрической системы функций на отрезке [- ; ]).