киб_3_семестр_дифгем_лекции

Дифференциальная геометрия

Версия 07.12.2014 (мало рисунков)

Глава 1. Векторные и аффинные пространства1. Векторное пространство (напоминание)2. Евклидово пространство (напоминание)3. Обобщенное векторное произведение4. Аффинное пространство

Глава 2. Кривые1. Определение кривой

2. Векторные функции скалярного аргумента3. Регулярность. Длина кривой4. Эквивалентность кривых5. Кривые единичной скорости6. Касание плоских кривых7. Репер Френе плоской кривой

8. Локальное строение плоских кривых (особые точки)9. Некоторые плоские кривые10. Кривые Безье11. Кривые общего вида

Глава 3. Поверхности1. Вектор-функции векторного аргумента. Дифференциал отображения

2. Определение поверхности. Криволинейные координаты3. Примеры поверхностей

4. Первая фундаментальная форма. Внутренняя геометрия поверхности5. Замена параметров. Изометричность поверхностей6. Внешняя геометрия поверхностей. Основной оператор гиперповерхности

7. Матрица основного оператора гиперповерхности. Кривизны и главные направления. Линии кривизны.

8. Локальное строение гиперповерхностей9. Нормальная кривизна. Асимптотические линии

Глава 4. Тензоры и дифференциальные формы1. Верхние и нижние индексы, законы преобразования2. Определение тензора. Тензорное произведение3. Алгебраические операции над тензорами4. Дифференциальные формы5. Внешняя производная6. Теорема Стокса

1

Глава 1. Векторные и аффинные пространства

Ë1

1. Векторное пространство (напоминание)

Напомним, что векторное (или линейное) пространство - это непустое множество

L, на котором введены 2 операции: сложение векторов, ~x + ~y 2 L; умножение на число, ~x 2 L;

удовлетворяющие ряду условий (аксиом).

Элементы пространства L называются векторами . Если 2 R, то L вещественное пространство, если 2 C, то L комплексное.

Для векторных пространств можно ввести ряд важных понятий: Размерность максимальное число линейно независимых элементов.

Базис максимальная линейно независимая система (или полная линейно независимая

система).

Линейная оболочка системы векторов: S = f~x1; : : : ; ~xkg множество всех возможных

линейных комбинаций векторов.	~eixi = [~e1; ~e2; : : : ; ~en]	2x2	3	= X:
Разложение вектора ~x по базису: ~x = m
		x1
i=1		6:x:n:7
P		6	7
Замена базиса: 0 = T , T матрица перехода.		4	5

Вектор можно разложить как по старому, так и по новому базису: ~x = X = 0X0 =T X0, откуда в силу единственности разложения по базису X = T X0, X0 = T 1X. Т.е. координаты X преобразуется с помощью матрицы, обратной матрице перехода.

Арифметическое векторное пространство ~ m				- это пространство размерности m
		R
над полем R действительных чисел, R~ m =	82:x:1:3 xi		2		R9.
	< xn				=
	4
		5
	:				;

Обозначение Rm без стрелочки мы оставим для аффинного пространства. Стандартный

(канонический) базис в ~ m:

R

~e1 = 2 0 3		; ~e2	= 2 1 3		; : : : ; ~em =	2 0 3		:
6:	1		6:	0		6:	0
	0: :7			0: :7			1: :7
6	7		6	7		6	7
4	5		4	5		4	5

Ориентация.

Вспомним про правые и левые тройки векторов в трехмерном пространстве и дадим

следующее определение.

O. Два базиса называются одинаково ориентированными , если 0 = T è det T > 0.

Стандартный базис считается положительно ориентированным.

Обозначения Эйнштейна.

Договоримся, что если в записи встречаются одинаковые индексы на разных уровнях (внизу и вверху), то по этим индексам производится суммирование, например xiyi = Pxiyi,

i

gijxiyj = Pgijxiyj. Обозначения эти весьма удобны, в особенности при записи громоздких

i;j

выражений.

2

j~xjj~yj

2. Евклидово пространство (напоминание)

Евклидово пространство линейное пространство с заданным на нем скалярным произведением (симметричной положительно определенной билинейной формой) < ~x; ~y >.

С помощью скалярного произведения могут быть определены длины и углы:

j~xj = p< ~x; ~x >; cos = < ~x; ~y >:

Матрица Грама системы векторов матрица G с элементами gij =< ~ai;~aj >.

Åñëè ~a1; : : : ;~am образуют базис, то скалярное произведение < ~x; ~y >= gijxiyj, ãäå xi è yj координаты векторов в этом базисе.

Элементы матрицы Грама в этом случае удовлетворяют условиям:

1)gii > 0,

2)gij = gji,

3)G положительно определена (удовлетворяет критерию Сильвестра).

p

Объем паралеллотопа, построенного на векторах ~a1; : : : ;~am : V = det G.

Эту формулу легко проверить в случае, если a~1; : : : ; a~m образуют ортогональный базис:

2

10 1

>

< ~a2;~a2

> : : :

0

3

2

2

2

2

6

< ~a ;~a

0

: : :

0

7

det G = det

.

.

...

.

= j~a1j

j~a2j

: : : j~anj

= V

:

6

7

6

7

4

5

0

0

: : : < ~an;~an >

3. Обобщенное векторное произведение

Om.

Обобщенным векторным произведением линейно независимых векторов

~x1

; ~x2; : : : ; ~xm 1 2

назовем вектор

~

~

m, обладающий следующими свойствами:

~

R

1.

~

N 2 R

N перпендикулярен векторам ~x1; ~x2; : : : ; ~xm 1,

2.

~

p

, ãäå

G

матрица Грама системы векторов

~x1; ~x2; : : : ; ~xm 1,

jNj =

det G

~

3. ~x1; ~x2; : : : ; ~xm 1; N образуют базис положительной ориентации.

Обозначение: ~

~xm 1.

N = ~x1 ~x2

~

p

Согласно данному определению, длина вектора

, то есть она численно

jNj =

det G

равна объему параллелотопа, построенного на векторах ~x1; ~x2; : : : ; ~xm 1. В частности, при m = 3 длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах ~x1; ~x2,

а, следовательно, в этом случае ~

N является обычным векторным произведением.

Т.о., вектор ~

N является многомерным аналогом векторного произведения в трехмерном пространстве. В случае m = 2 указанная конструкция дает вектор, перпендикулярный

1	2	)	T ,	~	2	1	T .
данному a = (a	; a			N = ( a		; a )	~
Нахождение координат вектора
							N, являющегося обобщенным векторным произведе-

нием для m = 2; 3; 4, производится путем подсчета определителей:

a1	~e1
a2	~e2

a1

a2

a3

b2	~e2		a2	b2	c2	~e2
			a1	b1	c1	~e1
b1	~e1		a3	b3	c3	~e
b3	~e			b4	c4	3
	3		a4			~e
						4

Как и в трехмерном случае, в ~ m мы часто будем использовать эту конструкцию для

R

нахождения вектора, перпендикулярного m 1 данному.

3

4. Аффинное пространство

Мы уже привыкли работать с векторными пространствами. Однако для построения полноценной геометрии одних векторов недостаточно, и ниже мы определим понятие аффинного пространства, включающего как точки, так и вектора.

~

O. Аффинным пространством называется тройка (V; V ; +), где V множество точек,

~

V векторное пространство, + операция откладывания вектора от точки, причем:

~	9!q : q = p + ~x.
1)8p 2 V; 8~x 2 V
2)8p; q 2 V 9!~x :	q p = ~x (существует единственный вектор, соединяющий две данные

точки).

3)8 2 8 2 ~

p V; ~x; ~y V : p + (~x + ~y) = (p + ~x) + ~y.

Отметим, что знак + здесь используется в двух разных смыслах при сложении векторов и при откладывании вектора от точки. Приведенные выше аксиомы вполне естественны и привычны. Аксиомы 2),3) равносильны одной аксиоме треугольника (p q) + (q r) = p r.

~			~
O. Размерностью аффинного пространства (V; V			; +) называется dim V .

~

O. Репером в аффинном пространстве (V; V ; +) называется упорядоченный набор

~

(p;~a1; : : : ;~am), где p называется началом координат, а (~a1; : : : ;~am) базис V .

В частности, в качестве точки p можно взять начало координат точку O(0; : : : ; 0), а в

~ m. Договоримся называть качестве базиса - стандартный базис (~e1; : : : ; ~em) пространства R

репер (O;~e1; : : : ;~em) стандартным.

O. Координатами точки			q	в репере	(p;~a1	; : : : ;~am)	называются координаты вектора pq
							!
в базисе (~a1; : : : ;~am).
				~			~

O. Аффинное пространство (V; V ; +), называется евклидовым, если V евклидово про-

странство.

Аффинное евклидово пространство является метрическим (т.е. в нем задано расстояние между точками). Расстояние между точками p и q определяется как длина вектора: jpq~j.

4

Глава 2. Кривые

Ë2

1. Определение кривой

Как дать определение кривой?

1 попытка. Определим кривую как график функции, = f(x; y)jy = f(x); x 2 (a; b)g. Конечно, это кривая. Но не всякая линия есть график однозначной функции.

2 попытка. Вспомним аналитическую геометрию и рассмотрим множество точек, удовлетворяющих уравнению F (x; y) = 0. Если F (x; y) многочлен, то соответствующие ли-

нии алгебраические кривые. Многочлены 1-й и 2-й степени прямая и кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).

Однако, функции, имеющие счетное множество нулей, задают лишь набор отдельных

точек:

x2 + y2 + 1 = 0, решение ;;

x2 + y2 = 0, решение т. (0; 0);

sin2 x + sin2 y = 0, решение точки ( k; n), k; n 2 Z.

Попробуем теперь определить линию как множество точек, удовлетворяющих уравнению F (x; y) = 0, где F (x; y) гладкая функция 2-х переменных с несчетным множеством

нулей, т.е. как прообраз нуля при отображении F :

F 1(0) = f(x; y) 2 R2jF (x; y) = 0g:

Но всегда ли мы получим объект, удовлетворяющий нашему интуитивному представлению о кривой?

	(0; x2 + y2 6 1						2
	exp	1	; x		2	+ y		> 1
Пример. F (x; y) =		1 x2 y2
Прообраз нуля круг		x2 + y2		< 1. Îí,

конечно, мало похож на кривую. Более того, произвольное замкнутое множество точек на плоскости можно задать уравнением вида F (x; y) = 0. Имеет место

T. Уитни (б/д). Пусть M R2 произ-

	z
	6
	1
-			-
1	0	1	x

вольное замкнутое множество точек на плоскости. Тогда 9 всюду гладкая функция F (x; y) : R2 ! R, такая, что M = F 1(0).

Мы видим, что отнюдь не каждое уравнение вида F (x; y) = 0 задает линию. Для

задания линии необходимы дополнительные условия.

Прообраз нуля F 1(0) = f(x; y) 2 R2jF (x; y) = 0g является линией, если выполнены условия теоремы о неявной функции: F (x; y) гладкая, множество M = F 1(0) 6= ; è

grad F =	@F	;	@F		8m0 2 M	. Тогда для точки	(x0; y0) 2 M	существует окрестность,
	@x		@y	6= 0

в которой M представляет собой график гладкой функции y = y(x) или x = x(y).

Если мы теперь попробуем дать определение на основе использования неявных функций, оно, очевидно, получится достаточно громоздким.

Учитывая сказанное выше, будем рассматривать линию как как траекторию движущейся точки (Жордан).

Параметрическое задание:

прямая x = x0 + lt, y = y0 + mt, èëè ~r = ~r0 + ~qt; эллипс x = a cos t, y = b sin t (окружность при b = a); гипербола x = a ch t, y = b sh t.

5

Утверждение 3.

Если представлять себе линию как траекторию движущейся точки, то параметр t это время.

O. Гладкой кривой в аффинном пространстве Rm называется гладкая вектор-функция

(t) : I R ! Rm со значениями в аффинном пространстве Rm. Множество (I) = f (t)jt 2 Ig образ кривой (t) в пространстве Rm.

Иными словами, кривая это гладкое отображение интервала I R в множество то- чек аффинного пространства.

2. Векторные функции скалярного аргумента

! ~ m непрерывная векторная функция скалярного аргумента (векторПусть ~x : I R

функция),

~x(t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xm(t))T ;

где t параметр, а I R открытый интервал, т.е. множество одного из видов (a; b),

( 1; b), (a; 1), ( 1; 1).

O. Пусть t 2 I и t + t 2 I. Предел

lim	~x(t + t) ~x(t)	=	d~x			= ~x;_
	t			dt
t!0

если он существует, называется производной вектор-функции ~x в точке t, а вектор-функция ~x дифференцируемой в т. t.

	~ m называется гладкой, если все ее координатные функ-
O.kВектор-функция ~x(t) : I ! R
ции x (t) имеют на I непрерывные производные сколь угодно высокого порядка. (Класс
C1).
~ m	принадлежит классу гладкости C			k, если имеет непрерыв-
Вектор-функция ~x : I ! R

ные производные до k-го порядка включительно.

Рассмотрим скалярное произведение < ~x; ~y >.

Утверждение 1.

dtd < ~x; ~y >=< d~xdt ; ~y > + < ~x; d~ydt >

Доказательство:

d

dxi

dyk

d~x

d~y

< ~x; ~y >= gikxi(t)yk(t),

< ~x; ~y >= gik(

yk + xi

) =<

; ~y > + < ~x;

>.

dt

dt

dt

Утверждение 2.

dt

dt

_

_

p

Åñëè

~

, òî

d

d

2 < ~x; ~x >

< ~x; ~x >

~x(t) 6= 0 8t 2 I

dtj~x(t)j = dt < ~x; ~x > =

p

=

~x

.

< ~x; ~x >

2

j j

j~x(t)j = c = const , 8t 2 I : ~x(t) ? ~x_(t)

Доказательство: j~x(t)j = c ,< ~x; ~x >= c2 , dtd < ~x; ~x >= 0 ,< ~x; ~x_ > + < ~x;_ ~x >= 0 , < ~x;_ ~x >= 0 , ~x(t) ? ~x_(t).

Упражнения.

1) Доказать, что значения трех вектор-функций

~x1(t) = (cos t; sin t; e2t)T , ~x2(t) = ( sin t; cos t; 2e2t)T , ~x3(t) = ( cos t; sin t; 4e2t)T ,

8t 2 R образуют базис в R3.

6

3. Регулярность. Длина кривой.

Поскольку разница между точками является вектором, то

(t) = lim

(t + t) (t)

(t)

(t + t)

t!0

t

r

ходящей через точки (t + t), (t) при t ! 0 каса-

r (t)

вектор. Предельное положение секущей прямой, про-

тельная прямая, см. рис.1. Следовательно, (t) является

направляющим вектором касательной в момент време-

Ðèñ. 1.

ни t и одновременно вектором (мнгновенной) скорости

в точке (t).

~, то уравнение касательной в точке

Åñëè

t0 имеет вид

(t0) 6= 0

_

p = (t0) + u~(t0);

где p произвольная точка касательной, u 2 R параметр.

Посмотрим теперь, что может произойти в точке,

y

где производная

~

. Это точка остановки в ней

6

(t) = 0

скорость перемещения по кривой j (t)j обращается в

íîëü.

-

Пример.

Кривая : R ! R2; (t) = (t2; t3)T .

ýòî

1

x

Нетрудно заметить, что x3 = y2 èëè y = px3

так называемая полукубическая парабола.

(t) = (2t; 3t2)T ; (0) = (0; 0)T , а значит (0) = (0; 0)T

точка остановки. В ней (см. рис.2) направление движе-

ния меняется на противоположное, это точка возврата.

Мы видим, что поведение кривой в точках, где

~,

Рис. 2.: Полукубическая пара-

(0) = 0

достаточно сложно и их лучше изучать отдельно.

áîëà.

O. Гладкая кривая

m

называется регулярной в момент

, åñëè

_

~.

Кривая (t) : I ! R

m

: I ! R

t 2 I

~(t) 6= 0

называется регулярной на интервале I, если она регулярна 8t 2 I.

Цитата из книги (С.В.Сизый. Лекции по дифференциальной геометрии): Регулярные кривые это храбрые джигиты, которые на интервале I нигде не тормозят (точнее

нигде не останавливаются).

Определим теперь длину кривой. Разобьем временной интервал I на промежутки

O. Длиной l[ ] кривой (t) : I ! Rm называется интеграл отP

t2

t

j

v

t

R

j

v(t)

dt.

, v

скорость на k-м участке. Пройденный путь l

lim

k = t1

k

k

= maxj tkj!0 k

kj

j

модуля скорости этой

кривой:

ab = Z

b

l[ ]

j~_ (t)jdt:

a

Упражнения.

1)Найти выражение для длины дуги кривой, заданной:

a)в декартовых координатах;

b)в полярных координатах.

2)Найти длину первого витка спирали Архимеда = a'.

7

3) Найти длину кардиоиды = a(1 + cos ').

4 Эквивалентность кривых

Очевидно, что среди различных вектор-функций (кривых) есть много с одинаковыми Ë3 образами. Их точки проходят этот образ с разными скоростями. Здесь мы попробуем

разбить множество всех кривых на классы, имеющие одинаковые образы.

= '

O. Пусть : I ! Rm, : J ! Rm две гладкие кривые,

заданные на соответствующих интервалах. Тогда кривая

( )

получается из кривой

заменой параметра

', если 9 гладкое

I

отображение ' такое, что:

'

1.

' : J ! I, т.е. ' - сюръекция (образ J есть все I)

I

J

2.

'( ) 6= 0 8 2 J

3.

( ) = ('( )) 8 2 J

T. Бинарное отношение между кривыми быть связанной заменой параметра является отношением эквивалентности (т.е. рефлексивно, симметрично, транзитивно). Доказательство:

рефлексивность

íà

очевидна: ' : I ! I, где '( ) = тождественное отображение, ' = 1

симметричность '( ) 6= 0 ) '( ) - монотонна ) отображение ' биективно ) 9 = ' 1, производная

_= '1 6= 0 и конечна

транзитивность

'

K ! J ! I, '( ( )) - биективное отображение.

O. Кривые, связанные заменой параметра, называются эквивалентными кривыми Соответственно, классы эквивалентных кривых иногда называют "непараметризированными кривыми а конкретные вектор-функции (которые мы называем "кривыми"), "пара-

метризированными кривыми".

O. Две кривые : I ! Rm, : J ! Rm называются положительно эквивалентными ,

если они связаны заменой параметра ' : J ! I и '( ) > 0 8 2 J (другими словами - если замена сохраняет направление движения).

Пример. Три кривые (t); ( ); ( ) : (0; 1) ! R2, определенные на одном и том же

интервале (0; 1):

~

1)

(t) = (t;3t)

T ,

T

,

2)

3 (t) = (1; 1)2

6=20T8t 2 I

,

, _

~

3)

( ) = ( ; )

( ) = (3 ; 3 ) 6= 0 T8 2 J

.

( ) = (1 ; 1 )

,

( ) = ( 1; 1)

~

8 2 K

36= 0

( ) = 1 , : K ! I. Первые

Кривые эквивалентны: t = '( ) = , ' : J ! I;2 t =

две кривые положительно эквивалентны: '( ) = 3 > 0,

_( ) = 1 < 0.

T. Свойство регулярности и длина кривой инвариантны относительно замены параметра.

Доказательство:

8

регулярность Пусть ('( )) = ( ), - регулярна (т.е. 6= 0) )

_	) ( ) - регулярна.
( ) = ('( )) '( ) 6= 0

длина

: [a; b] ! Rm

: [a0; b0] ! Rm

'(a0) = a '(b0) = b

b0	b0			b0	b
`[ ] = aR0	j _( )jd = aR0	j	d	( ('( )))jd = aR0	j ('( ))j'( )d = Ra	j (t)jdt=`[ ]
			d

5 Кривые единичной скорости

Итак, мы установили, что множество всех кривых разбивается на классы положительно эквивалентных кривых. Каждый представитель класса имеет один и тот же образ. Теперь мы выберем из каждого класса по одному представителю, а именно, кривую, у которой

точка равномерно движется по образу кривой.

O. Кривая : I ! Rm называется кривой единичной скорости, если j j 1 на I.

Наглядный образ отображения, отвечающего кривой единичной скорости: вкладываем гибкий (но нерастяжимый!) шнурок в Rn.

Свойства кривых единичной скорости

1.регулярность j j 1 6= 0

2.•? т.к. j j = const (а производная вектора постоянной длины ему ?)

a+s	a+s	1dt = tjaa+s = s
3. `[ ] = R	j jdt = R

aa

T.Всякая регулярная кривая положительно эквивалентна некоторой кривой единич-

ной скорости.

Доказательство: Пусть (t) : I ! Rm регулярна и t0 2 I.

отображение s(t)	t		) 9s		= '(s) : J ! I; '(s(t)) = t,	dt	= ds s = 1.
	R
Длина дуги s(t) = t0		j ( )jd некоторая функция от t, s = j (t)j > 0 )
	взаимно однозначно			1		d'	d'

Рассмотрим замену параметра t = '(s) и новую кривую (s) = ('(s)), у которой параметр длина дуги s. 8s 2 J '(s) = d'ds = 1s = j 1(t)j > 0, т.е. (s) = ('(s)) положительно

эквивалентные кривые. Далее, j _(s)j = j ('(s))'(s)j = j (t)j 1(t)jj = 1, т.е. (s) кривая единичной скорости.

Итак, чтобы из регулярной кривой (t) получить кривую единичной скорости, надо

t

R

заменить ее параметр на длину дуги s(t) = j ( )jd .

t0

O. Кривая (s) называется натурально параметризованной , если параметром является длина дуги кривой, отсчитанная от некоторой точки этой кривой.

6 Касание плоских кривых

Выпишем здесь уравнения касательных при различном задании линии.

9

1.

Линия образ гладкой кривой (t) = (x(t); y(t))T .

Уравнение: p(u) = (t0) + u (t0) или в развернутой записи

x

= x0

+ u x(t0) ,

ãäå (t0) направляющий вектор касательной.

y

y0

y(t0)

2.

Линия график гладкой функции y = f(x), т.е. образ кривой (t) = (t; f(t))T .

x

x0

0)

1

y =f(x0)+(x

x0)f0(

Уравнение: y =

y0

+ u f0 (x0)

или, после исключения параметра u,

x .

3.

Линия прообраз нуля функции

F (x; y)

,

F (x; y)

гладкая и

grad F

в точках

6= 0

F 1(0).

Дифференцируем F (x(t); y(t)) 0, получаем Fx0 x + Fy0 y = 0 или, что тоже самое, < grad F; (t) >= 0, т.е. направляющий вектор касательной перпендикулярен гради-

åíòó.

Уравнение: Fx0(x0; y0)(x x0) + Fy0(x0; y0)(y y0) = 0.

O. Кривая (t) в т t0 2 I имеет с линией F 1(0) касание порядка k, если для функции f(t) = F ( (t)) выполнены условия:

f(t0) = 0; f0(t0) = 0; : : : ; f(k)(t0) = 0;			f(k+1)(t0) 6= 0:
O. Окружность, имеющая в некоторой точке (t0)			кривой (t) порядок касания не
ниже второго, называется соприкасающейся . Радиус окружности R называется радиусом
кривизны в точке (t0), а центр окружности центром кривизны в точке (t0).
Кривизна = 1=R.

	7 Репер Френе плоской кривой		Ë4
	Рассмотрим плоскую регулярную кривую (t). В каж-
	дой точке, определяемой значением параметра t, у нее
	есть единичный вектор касательной (t) и единичный		~(t)
	вектор нормали (t) (обозначения - от латинского tangential
		~(t)
	как при изменении параметра t пара ( ; ), образующая			r (t)
		kQ
	(касательный) и от normal). Можно представить себе,	Q	Q
	ортонормированный базис, ползет по кривой (отсюда
	часто употребляемый термин подвижный репер вдоль
		Рис. 4.: Репер Френе
	кривой ).

O. Репер ( (t); ~(t); ~(t)) называется репером Френе плоской регулярной кривой (t) :

I! R2, åñëè 8t 2 I:

1)~(t) сонаправлен с вектором скорости (t),

2)пара (~(t); ~(t)) образует ортонормированный базис положительной ориентации.

Пара (~(t); ~(t)) без начальной точки базис Френе, причем, согласно данному опре-

делению j~(t)j = j~(t)j = 1, < ~(t); ~(t) >= 0.				_
Для кривой единичной скорости (s) (s - длина дуги) имеем: ~(s) =~ (s) = (x(s); y(s)),
						y	x
(s) = ( y(s); x(s)), причем пара (~(t); ~(t)) положительно ориентирована:						x	y		=
x2 + y2 = = 1 > 0.
j j			2 - кривая единичной скорости. Тогда существует
T. Френе-Серре. Пусть (s) : I ! R
гладкая скалярная функция k(s) : I ! R такая, что 8s 2 I:
		(s) = ~(s)
	8~_(s) = k(s)~(s)
	>	_
	<~(s) = k(s)~(s)
	>
	:

10