Типовой расчет для матана 2 курс 3 семестр

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)\

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III семестр

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов вечернего и заочного отделений

МОСКВА 2010

Составители: Е.В.Абрамова, С.А.Унучек

Редактор

Н.С. Чекалкин

Контрольные задания содержат типовой расчет по математическому анализу. Представлены все основные типы задач, связанных с векторным анализом, вычислением кратных интегралов, исследованием сходимости числовых и степенных рядов.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: А.М. Мнацаканов, В.П. Барашев

c МИРЭА, 2010

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать 00.00.2010. Формат 60 x 84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 00,00. Усл.кр.-отт. 00,00. Уч.изд.л. 00,00. Тираж 100 экз. С 000

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)\ 119454, Москва, пр.Вернадского, 78

3

III семестр

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задача 1.

1. В двойном интеграле

f(x; y) dx dy расставить

D

пределы интегрирования двумя

способами.

∫∫

№

D

№

D

1

y = x2 − 1

17

y = 2 − x2

y = x + 5

y = x

−

−

y =

√

1

x2

y =

√

9

x2

− −

−

2

y = x 1

18

y = x 3

2

x = 0

x = 0

3

y = x

|

19

y = x

−

1

|

y = 3

y = 2x + 2

x =

y =

√

1 y2

9 x2

4

−√ −

20

−

−

−

y = x + 1

y = x 3

2

2

x = 0

y = 0

5

y = x

−

1

21

y = 1

−

x

y = x + 1

y = x − 1

−

− −

y = 1

y =

1

6

y = 0; 5x + 1

22

y = 1 x

y = x

y = 5 − 2x

4

− −

− y2

−

4 − y2

x =

−

9

x =

−

√

√

7

23

y = x 3

y = x + 2

2

2

x = 0

y = 0

8

y = 4

−

x

24

y = x

−

4

y = −x − 2

y = x − 2

−

−

−

2

x = 2

x =

9

y = 2x 6

25

y = x

2

2

y = x

y = −0; 5x + 3

y = √

x =

1 x

9 y

10

−

26

− −

√

−

y = x

y =

x

3

2

2

x = 0

y = 0

11

y = x

−

2

27

y = 2

−

x

y = x

y = 3x + 2

−

−

1

x = 1

x =

12

y = 2x 1

28

y = 8 + x

2

2

y = 11 − x

y = −2x − 1

x =

y = √

4 y

4 x

13

−

29

− −

√ −

−

y =

x

y =

x

2

2

x = 0

x = 0

14

y = 2x

|

30

y = x

−

2

|

−

2

y = 6

y = 3x

5

−

y = 1

y =

−1

15

y = x

31

y =

x

2

y = 6 − x

y = 2x − 6

16

y =

x

32

y = (x

−

1)

−| |

−

4

y =

y = x + 5

Задача

1. 2. В двойном интеграле

f(x; y) dx dy расставить

D

пределы интегрирования двумя

способами. Вычислить площадь

∫∫

фигуры, образованной указанными кривыми.

№

D

№

D

y = x

y = arctg x

1

y = 2x

17

x = 0

y = 1=x

x = 1

2

3

x > 0

y = =2

−

2

−

y = 2x + 3

y = x

2

y = x + 2

18

y = 1

2

2

x = 0

x = 3

√x

x + y = 10

y =

3

y = 3=x

19

y = 2√

x

x > 0

2

x = 4

2

y = 4x

y = x + 2x + 1

4

|

|

20

−

2

x

y =

x

y = 5

6

5

x2 + y22 = 6

21

y = 2=x

y = x

y = −x + 3

y = (x + 2)2

y = x3

1

6

2

+ 3x + 4

22

2

−

y = −x

y = x

− 1

x

−

1

y = ex

y = tg x

7

y = e−

23

y = 0

3

2

x = 2

x = 0

y = 4x

y =

x + 6x + 8

8

24

−2

− 4x + 4

y = x

y = x

y = sin x

x2 + y2 = 5

9

y = 0

25

y = 2=x

x = =2

x > 0

|

|

y = x3

10

26

y = 2 x

y =

x

|

y = x + 3

|

7

Задача 1. 3. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью ax + by + cz + d = 0.

№	ax + by + cz + d = 0		№	ax + by + cz + d = 0
1	x − 2y + z − 2 = 0		17	2x − y + 2z − 4 = 0
2	x + 3y − 6z − 6 = 0		18	x − y − 3z + 3 = 0
3	2x + 3y − z + 6 = 0		19	x − 2y − 3z + 6 = 0
4	3x + y + 2z − 12 = 0		20	6x − y + z + 6 = 0
5	3x − y + 3z + 3 = 0		21	2x − y + 2z − 4 = 0
6	x − 2y − 3z − 6 = 0		22	x + y + 4z + 4 = 0
7	x − 2y + 4z + 4 = 0		23	2x + 3y + 6z − 6 = 0
8	3x − y − z + 3 = 0		24	x − 2y + 4z − 4 = 0
9	3x + 2y − 6z − 6 = 0		25	4x + 3y − 2z + 12 = 0
10	2x + 2y − z + 2 = 0		26	x + 3y − 3z − 6 = 0

8

Задача 1. 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

№					№
	5 6 z 6 9 − x2 − y2					2		2	6 z2 6 25
1					17		x 16+y
2		x2+y2	6 z2 6 4		18	4 6 z2 6 16 − x2 − y2
		9
3	9 6 z2 6 16 − x2 − y2				19	4 6 z 6 13 − x2 − y2
	7 6 z 6 16 − x2 − y2					2		2	6 z2 6 9
4					20		x 16+y
5		x2+y2	6 z2 6 9		21	9 6 z2 6 25 − x2 − y2
		4
6	16 6 z2 6 25 − x2 − y2				22	3 6 z 6 12 − x2 − y2
	4 6 z 6 5 − x2 − y2					2		2	6 z2 6 9
7					23		x 25+y
8		x2+y2	6 z2 6 4		24	1 6 z2 6 16 − x2 − y2
		4
9	1 6 z2 6 9 − x2 − y2				25	8 6 z 6 9 − x2 − y2
10	6 6 z 6 10 − x2 − y2				26		x2+y2		6 z2 6 16
							9

9

Задача 1. 5. Найти градиент скалярного поля U.

№

U

№

U

1

U = 4 ln(x) + x√

17

U = 3 cos(y + 2xz)

yz

2

U = 5x6y + 3y arctg z

18

U = x

+ y

y

z

3

U = 2 sin(z − 3xy)

19

U = tg x · z3 + ey · x2

4

U = e4xy2z

20

U = sin x · y2 − ln y · z3

5

U = arccos z

−

3 ln(x + y)

·

z

21

U = 2√

+ x arctg y

y + z

6

U = x2y2 − y arcsin z

22

U = 5 cos(x − 4yz)

7

U = 4 sin(2x + yz)

23

U = ex ln(y) − xyz3

8

U = y(ln z − z arctg x)

24

U = exy + x2√3

z2

9

U = x ctg z − 3z2 arccos y

25

U = √

xyz

10

U = 3 sin(2 + y) + x3z5

26

U = √

2x + 3y − z

10

Задача 1. 6. Найти производную скалярного поля U в точке A по направлению к точке B.

№	U	A	B
1	U = x2y + 2y2 + 3xyz2 − 2	A(−1; 1; 2)	B(0; 2; 1)
2	U = x2z + y3 − 4yz − 4	A(1; 2; 1)	B(1; 6; 4)
3	U = x2 − 2z + y2z + y3	A(0; 1; −1)	B(2; 3; −2)
4	U = y2 − 2xy + 3x2 − 3xz + 8	A(1; 0; 0)	B(3; −1; 1)
5	U = z2 − 2x3 + 3xy2z − 4z	A(1; 0; 1)	B(3; −2; 2)
6	U = 4x2y − 2xyz − y + 5	A(2; −1; 1)	B(4; −3; 2)
7	U = x2 + y2 + 5z3 − 3xz2 + xy2	A(1; 1; 2)	B(1; −3; 4)
8	U = x3 + 7y2 − 4xz3 + xy2z + 3	A(1; −1; 1)	B(3; −3; 2)
9	U = −x2y + y2z2 − 7xz − 20	A(−1; 1; 0)	B(3; 1; 3)
10	U = −5z2 + 2xz2 − xyz − 2x + 3	A(1; −1; −1)	B(3; 1; 0)
11	U = y2z + 2z3 − 7x2 + 4x2yz + y	A(1; 0; 0)	B(2; 2; −2)
12	U = x3 + xy + 3y2z − 2x3y2 − y	A(−1; 2; 1)	B(−4; 6; 1)
13	U = x2 + 2y3 − xyz2 + z3 − 10	A(−1; 1; 0)	B(−2; 3; 2)
14	U = −3z3 − 2xz + 5 − 7yz2 + y3	A(0; 0; 1)	B(1; −1; 3)
15	U = yz2 + 2x + 3x2y − 3x + 4y3	A(1; 0; −1)	B(2; 2; −3)
16	U = 2xy + y2 − 3z2 + 2yz − y4	A(1; −1; 0)	B(2; −3; 2)
17	U = x3 − y3 + 5z2 + 6xyz3 − 7	A(2; 1; −1)	B(4; 3; 1)
18	U = 2x2y − 3y3z + 4x2z − 1 + z	A(−1; 1; 1)	B(−2; 3; 3)
19	U = 6x2z2y − 1 + y2 + z2 − x	A(−1; 1; −1)	B(0; 1; −3)
20	U = 2xy2 − xyz2 + x − y3	A(0; −1; 1)	B(2; −2; 1)