30. Красно – черные деревья. Свойства. Вращение. Высота красно – черного дерева.

Красно-черные деревья пред­ставляют собой одну из множества "сбалансированных" схем деревьев поиска, ко­торые гарантируют время выполнения операций над динамическим множеством O(log₂n) даже в наихудшем случае.

Красно-черное дерево (red-black tree) - это двоичное дерево поиска, вершины которого разделены на красные (red) и черные (black). Таким образом каждая вершина хранит один дополнительный бит - её цвет.

При этом выполняются определённые требования, которые гарантируют, что глубины любых двух листьев отличаются не более чем в два раза.

Каждая вершина красно-черного дерева имеет поля color (цвет), key (ключ), left (левый ребенок), right (правый ребенок) и p (родитель). Если у вершины отсутствует ребенок или родитель, то соответствующее поле содержит NIL.

Двоичное дерево поиска называется красно-черным, если оно обладает следующими свойствами:

1. каждая вершина - либо черная, либо красная ;

2. корень дерева является черным;

3. каждый лист (NIL) - чёрный ;

4. если вершина красная, оба её ребенка чёрные ;

5. все пути, идущие вниз от корня к листьям, содержат одинаковое количество чёрных вершин.

Повороты

Операции над деревом поиска Tree_Insert и Tree_Delete, будучи приме­нены к красно-черному дереву с n ключами, выполняются за время O(log₂n). Поскольку они изменяют дерево, в результате их работы могут нарушаться крас­но-черные свойства. Для восстановления этих свойств мы должны изменить цвета некоторых узлов дерева, а также структу­ру его указателей.

Изменения в структуре указателей будут выполняться при помощи поворотов (rotations), которые представляют собой локальные операции в дереве поиска, сохраняющие свойство бинарного дерева поиска. На рис. показаны два типа поворотов - левый и правый (здесь - произвольные поддеревья). При выполнении левого поворота в узлех предполагается, что его правый дочерний узел у не является листом nil [T]. Левый поворот выполняется "вокруг" связи между х и у, делая у новым корнем поддерева, левым дочерним узлом которого становится х, а бывший левый потомок узла у - правым потомком х.

Операции поворота в бинарном дереве поиска

В псевдокоде процедуры Left_Rotate предполагается, что right [х] nil [Т], а родитель корневого узла - nil [T].

Left_Rotate(T, х)

1. у right[x] Устанавливаем у.

2. right[x] left[y] Левое поддерево у становится правым поддеревом х

3 if left[y] nil[T]

4 then p[left[y]] х

5. р[у] р[х] Перенос родителя х в у

6. if p[x] = nil[T]

7. then root[T] у

8. else if x = left[p[х]]

9 then left [p[x]] у

10 else right[p[x]] у

11. left[y] x x — левый дочерний у

12. p[x] у

31. Добавление вершины в красно – черном дереве.

Сначала выполняется обычная операция включения в двоичное дерево Tree_Insert и новая вершина помечается красным цветом. После этого восстанавливаются RB-свойства, если они нарушены путем перекраски вершин и вращений.

Рассмотрим случаи нарушения RB-свойств на примере включения в дерево:

При включении х нарушено третьеRB-свойство для вершины 5 (оба сына должны быть черные). Т.е. RB-свойство нарушается, если родитель нового узла красный.

Как можно восстановить его:

Случай 1: Если родитель красный, то родитель родителя – черный (в силу RB-свойства 2). Если у деда (7) второй сын – у ( дядя нового узла х) тоже красный, то можно перекрасить указанных предков: сделать деда красным, а родителя и дядю – черными. Это не изменит черную высоту дерева и восстановит третье свойство для родителя(5).

После перекраски!!!

Т.е. теперь 5 – черная вершина, которая может иметь и красного и черного сына. Но появился новый красный узел х(7). Теперь нарушено 3-еRB-свойство родителя узла 7 (2), т.к. этот узел тоже красный. К сожалению дядя (14) не красный и перекраску делать нельзя, не нарушив черной высоты. Тогда используем LL – поворот родителя х – (2).

Исправлено нарушение 3-го свойства для узла 2, но нарушено для узла 7.

Случай 3 отличается от случая 2 тем, что х является левым, а не правым сыном своего родителя. В этом случае делаем правый поворот родителя (11).

Красную вершину 7, оказавшуюся в корне, окрашиваем в черную, а вершины 2 и 11 – в красные. Это не нарушит RB-свойство 4).

RB_Insert (T, x)

1. Tree_Insert (T, x)

2. color [x] ← RED

3. while x ≠ root [T] and color [p[x]] = RED

4. dv if p[x] = left [p[p[x]]]

5. then y ← right [p[p[x]]]

6. if color [y] = RED

7. then color [p[x]] ← BLACK случай 1

8. color [y] ← BLACK случай 1

9. color [p[p[x]]] ← RED случай 1

10. x ← p[p[x]] случай 1

11. else if x = right [p[x]]

12. then x ← p[x] случай 2

13. Left_Rotate (T, x) случай 2

14. color [p[x]] ← BLACK случай 3

15. color [p[p[x]]] ← RED случай 3

16. Right_Rotate (T, p[p[x]]) случай 3

17. else (симметричный текст с заменой left ↔ right)

18. color [root[T]] ← BLACK

При включении, если выпадает случай 3, выполняется не более одного вращения, и в случае 2 – не более двух вращений.