2.2. Математическая модель

Расчёт основных характеристик интерференционного фильтра основан на теории Брегговского отражения и представляет собой типичный пример связи между противоположно направленными модами [1].

На каждой границе раздела, часть падающего светового пучка отражается, вследствие различия показателей преломления. Отраженные волны интерферирует с падающей волной и в зависимости от длины оптической волны, усиливаются либо подавляются (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Брегговское отражение

В математической модели интерференционного фильтра, предположим, что толщина всех слоев одинакова, а зависимость диэлектрической проницаемости от z имеет вид:

(2.1)

Нормальные моды невозмущенной среды представляют собой плоские волны e^-ikr с волновым числом, определяемым выражением:

(2.2)

В соответствии с состоянием поляризации эти плоские волны подразделяются на ТЕ- и ТМ-волны, между которыми нет связи, поскольку как возмущенная так и невозмущенная диэлектрические проницаемости являются скалярными величинами. Следовательно, связь между волнами может быть, толь­ко если они имеют одинаковые состояния поляризации. Это возможно лишь для случая противоположно направленных мод, поскольку для одинаково направленных мод условие фазового синхронизма вообще не выполняется.

Характер модовой связи как для ТЕ-, так и для ТМ-волн аналогичен. Отличие состоит только в том, что они имеют разные значения постоянной связи, которая вычисляется согласно выражениям:

(2.3)

Постоянные связи отличаются лишь направляющим множителем cos(2_TF), который равен косинусу угла между векторами поляризации ТМ-волн. Для ТМ-волн при  _TF =45°, постоянная связи обращается в нуль. Это соответствует нулевому отражению ТМ-волн при угле Брюстера.

Величина фазового рассогласования (λ) (определяет, при каком λ будет выполняться условие Брегга), определяется выражением:

(2.4)

В соответствии с этим выражением, брегговское отражение четных порядков отсутствует, поскольку при m=2,4,6, и т.д., k=0. Это соответствует случаю, когда толщина каждого слоя составляет целое число длин волн, что приводит к нулевому отражению.

Для того чтобы получить выражение для коэффициента отражения интерференционного фильтра, предположим, что для света, падающего при z=0, выполняются следующие граничные условия: А₁(0)=1, А₂(L)=0, где A₁ и A₂ – нормированные амплитуды падающей и отражённой волн.

Коэффициент матрицы передачи для i-ого канала демультиплексора (коэффициент отражения, аппаратная функция или спектр отражения) определяется следующим образом:

(2.5)

где A₁(0) и A₂(0) – амплитуды падающей и отражённой волн. Решая уравнения связанных мод, получим:

(2.6)

где s(λ) дается выражением .

Таким образом, аппаратная функция (коэффициент отражения) интерференционного фильтра рассчитывается по формуле (2.6). Она состоит из основного пика с отчетливым максимумом и ря­да побочных пиков.

Рисунок 2.8 – Типичный вид аппаратной функции интерференционного фильтра.

На рисунке 2.8, изображена аппаратная функция интерференционного фильтра, рассчитанного согласно выражению 2.6 со следующими параметрами: n₁=3.47, n₂=3.4704, L_TF=5.725мм, _TF=0˚, Δ_TF=0.220448мкм. По приведенному графику можно определить полосу пропускания канала (Δλ) – 0.14нм.