Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ)
УТВЕРЖДАЮ
Зав.кафедрой АОИ,
Профессор
___________Ю.П.Ехлаков
___ _______ 2006г.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Методические указания к практическим работам
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 230102 – Автоматизированные системы обработки информации и управления
Разработчик
ст. преп. кафедры АОИ
___________ З.А.Смыслова
Томск -2012
СОДЕРЖАНИЕ
1 Основные понятия теории вероятностей…………………………..…3
1.1 Пространство элементарных событий……………………………....3
1.2 Понятие вероятности. Свойства вероятностей……………………..5
1.3 Правила сложения и умножения вероятностей……………………10
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса…………………..16
2 Задачи для самостоятельной работы…………………………………23
Список литературы………………………………………………………27
Приложение 1 Элементы комбинаторики……………………………..28
1 Основные понятия теории вероятностей
1.1 Пространство элементарных событий
Решение любой вероятностной задачи начинается с построения пространства элементарных событий Ω – множества всех возможных взаимоисключающих исходов эксперимента [1,3,4]. Например, эксперимент – бросание игральной кости, а наблюдаемый результат - количество очков, выпавших на верхней грани. Здесь Ω={1,2,3,4,5,6}.
Определив
пространство элементарных событий, мы
можем говорить о случайном событии –
подмножестве пространства элементарных
событий. Случайное событие A
– «выпало четное число очков» есть
множество элементарных событий
А={2,4,6}
Ω.
Случайное событие B
– «выпало число очков, меньшее четырех»
есть множество B={1,2,3}
Ω.
Элементарное событие
называетсяблагоприятствующим
событию А,
если при исходе
событиеА
происходит. Событию А
– «выпало четное число очков»
благоприятствуют исходы 2, 4, 6.
Событие, которому благоприятствует любой исход эксперимента, называется достоверным. Достоверное событие в результате эксперимента обязательно произойдет. В нашем примере достоверным является событие «выпало меньше 10 очков».
Событие, которому не благоприятствует ни один исход эксперимента, называется невозможным. Невозможное событие не произойдет в результате данного эксперимента. Например, при бросании игральной кости невозможным является событие «выпало отрицательное число очков».
Суммой событий А и В называется событие А+В, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие хотя бы одному из событий А или В.
Произведением событий А и В называется событие АВ – множество элементарных событий, благоприятствующих А и В одновременно.
Противоположным А называется событие Ā,, состоящее из элементарных событий, не благоприятствующих событию А.
Событие А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.
При построении пространства элементарных событий часто требуется определить, являются ли события равновозможными, т.е. одинаковы ли у них шансы на успех. Так, при бросании правильной монеты события Г – «выпал герб» и Р – «выпала решка» являются равновозможными; для неправильной (погнутой) монеты эти события не являются равновозможными.
Задача 1. Образуют ли данные события пространство элементарных событий описанного эксперимента, если да, то являются ли равновозможными; если нет – являются ли несовместными:: а) Эксперимент - бросание двух правильных монет; событие А – «выпало два герба», событие В – «выпало ровно одна решка»; б) Грани кубика окрашены в 3 цвета: шестерка – в красный, пятерка и четверка – в желтый, остальные – в зеленый цвет. Эксперимент – бросаем кубик и отмечаем цвет выпавшей грани.
Решение. а) Данные события не образуют пространства элементарных событий, так как не описан возможный исход эксперимента «выпало две решки». События А и В являются несовместными, так как не могут произойти одновременно. Для данного эксперимента можно построить пространство взаимоисключающих равновозможных исходов Ω={ГГ, ГР, РГ, РР}.
б) Пространство элементарных событий в этом случае состоит из трех взаимоисключающих исходов: Ω={К, Ж, З}. Эти исходы не являются равновозможными, т.к. желтых граней в два, а зеленых – в три раза больше, чем красных.