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U ( x, y, z) = C ,	(2.1.1)

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∂U

,

∂U

∂x

∂y

∂z

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∂U r

∂U r

∂U r

grad U=

i +

j +

k.

(2.1.2)

∂x

∂y

∂z

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grad U =

∂U

,

grad U =

∂U

,

grad

U =

∂U

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x

∂x

y

∂y

z

∂z

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U

2

∂

U

2

∂

U

2

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+

+

grad U

.

∂x

∂y

∂z

(2.1.3)

(2.1.4)

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grad(U1 + U2 ) = gradU1 + gradU2 , grad(U1 U2 ) = U 2 gradU1 + U1 gradU 2 , grad(ϕ(U )) = ϕ′(U )gradU.

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# (ρ,φ,z)

∂U

r

1

∂U

r

∂U

r

gradU =

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+

eϕ

+

ez

,

∂ρ

ρ

∂ϕ

∂z

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∂U

r

1

∂U

r

1

∂U

r

gradU =

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+

eθ

+

eϕ

,

∂r

r

∂θ

∂ϕ

r sin θ

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U=f(x,y,z)

-

r

r

l

= cos α i

+ cos β

j + cos γ k

!

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l , .

+ -:

∂U

= lim

U

=

∂U

∂x

+

∂U

∂y

+

∂U

∂z

=

∂U

cosα +

∂U

cosβ +

∂U

cos γ.

∂l

l →0

l ∂x ∂l ∂y ∂l

∂z ∂l ∂x

∂y

∂z

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. ! :

∂U

r

= gradU l .

∂l

(2.1.5)

8

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. . 4 l

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∂U

∂l

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			r
=	grad		rU l	.
					(2.1.6)
			l

+ . .

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$

1

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# & . ! 1 # # & #

! A(2;0;-2/ 3 )?

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z

x 2 + y 2 + z 2

= C.

4 # % # ! A,

C =				− 2 / 3							= −	1	,
2			2	+ 0	2	+ (−2 /	3)		2	2

:

						2	+ y	2	= 3z	2
	z		= −	1	x
							z < 0			.
	x 2 + y 2 + z 2	2

# % . . . , , ! #

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9

2

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. 1 &

' $ M0(x0;y0;z0). . %?

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) ' (2.1.2), (2.1.4),

s

r

r

gradU

= y

0

z

i + z

0

x

0

j + x

0

y

0

k ,

gradU

=

( y

0

z

0

) 2 + ( z

0

x

0

) 2

+ ( x

0

y

0

) 2 .

M 0

0

M 0

3

%

! - ' $

U=(x2+y2+z2)1/2

r

r

M(2;-1;-2), l = 4i − 2 j − 4k .

,.

3(+ " . & ' $ :

r

r

r

gradU = −

x

i + y

j + z

k

.

x 2 + y 2 + z 2

2 . M(2;-1;-2):

r

r

r

r

r

r

gradU

M = −

2 i + (−1) j + (−2)

k

=

2i − j − 2k

.

22 + (−1)2 + (−2)2

3

- ! - M - l #

' (2.1.6):

∂U		M	=	1		2 4 +	(−1) (−2) + (−2)	(−4)	= 1.
∂l
			3				42 + (−2) 2 + (−4) 2

10

2.3.% ! " ! & ' (

2.3.1.% & u=4-x2-y2.

2.3.2.% # &

u=ln(x2+y2 +z2).

2.3.3.% # &

u=ln(x2+y2 -4z-4).

2.3.4.% . " , -+ ! grad u

x

u = arcsin x + y ,

# M(1;1) N(3;4).

2.3.5.u=x2y+y2x v=x-6y+5xy. & . " gradu gradv M(2;-1;0).

2.3.6.& . , # %

. u=( x2+y2)3/2 2.

2.3.7.% , # .

		1
	u = ln x +
		y

	r	16 r
	i −		j.
		9

2.3.8.& ! - ' $ u=arctg(x+y) M(2;-1)

- ( . . ..

2.3.9.% ! - ' $ u=xyz+ (2 − 1) x

M(1;1;1)

-

a ,

-+ .

Ox, Oy Oz

., π/4, 2π/3 π/3.

2.3.10. & % . u=xy2z M(1;1;-2).

2.3.11. & ! ' $& - l M0 .

z = x3 y − 5xy2 + 8,

r

r

2.3.11.1.

l = i + j ,

M0 (1;1).

x

2

+ y

2

r

r

r

2.3.11.2.

z = ln

,

l

= 6i + 8 j ,

M 0 (1;2).

xy

z

r

r

r

r

2.3.11.3.

z = arccos

,

l = 2i

+ j + 2k ,

M 0 (1;1;1).

x 2 + y 2

11

2.3.12. % gradz		gradz		, z =		xy		,	M0 (0;3).
					x 2	+ y 2
							+ 1

2.3.13. % ! - ' $ u=ln(x2+y2+z2)

r

M0(1;2;1) - M0 M , . M(3;6;5).

	2.3.14. ) % # %			u =	x 2	+	y 2	+	z 2	,
					a 2		b 2		c 2
	% gradu M0(a;b;c).
	2.3.15. % gradz	gradz	M0 .

xy

2.3.15.1. z = x 2 + y 2 + 1 ,

2.3.15.2. z = ( x − y) 2 ,

2.3.15.3. u = x 2 + y 2 − z 2 , 2.3.15.4. u = 4 − x 2 − y 2 − z 2 ,

2.3.15.5. u = x 2 + y 2 + z 2 ,

	2.3.15.6. u =	x 2	−	y 2	+	z 2	,
		a 2		b 2		c 2

M0(0;3).

M0(1;1). M0(2;0;3). M0(3;2;1). M0(3;-1;2).

M0(a;b;c).

2.3.16.	%	gradz	M0(4;2), z 2 = xy.
2.3.17.	% ! - ' $ u = ln(e x + e y ) M0(0;0)

- ( % . . ..

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# x, y, z τ, $#

& - % x, y, z.

12