опред-интеграл-stud

è âû-

Глава III Интегральное исчисление.

6. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

I. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью OX, с боков прямыми x = a, x = b, сверху кривой y = f(x).

Поставим задачу найти площадь этой трапеции.

Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xi < xi+1 < : : : < xn = b. Для каждого i = 0; n 1 рассмотрим отрезок [xi; xi+1]. Длины этих отрезков xi = xi+1 xi. На каждом отрезке выберем точку i 2 [xi; xi+1], проведем через эту точку перпендикуляр к оси OX до пересечения с графиком функции y = f(x). Длины перпендикуляров равны f( 1); f( 2); : : : ; f( n).

На каждом участке построим прямоугольник с основанием xi

сотой f( i). Получили ступенчатую фигуру.

y

6

f( i)

-

a

xi i xi+1

b

x

Площади прямоугольников равны Si = f( i) xi. Поэтому площадь

n 1

P

полученной ступенчатой фигуры равна n = f( i) xi.

i=0

Обозначим = maxf x1; x2; : : : ; xng. Будем увеличивать число точек деления отрезка (n ! 1) так, чтобы ! 0.

За величину площади трапеции S принимают предел площади ступен- чатой фигуры при ! 0.

		n 1
S = lim n = lim		Xi
		f( i) xi:	(6:1)
!0	!0	=0

Рассмотрим площади еще двух ступенчатых фигур sn (фигура, вписан-

1

ная в трапецию) и Sn (фигура, описанная около трапеции). Имеем

(		i) =	n 1	n 1		n 6	n 6		n
			P	P
sn	= lim		f(ci) xi, Sn = lim f(di) xi, ãäå		f(ci) =			min f(x),
		!0 i=0		!0 i=0				x2[xi;xi+1]
f d			max	f(x). Тогда для данного разбиения	s				S . Кроме
		x2[xi;xi+1]		sn ! n, Sn ! n è Sn sn ! 0.
òîãî ïðè ! 0

II. Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный по оси OX на

отрезке [a; b]. Пусть (x) плотность стержня. Разобьем отрезок [a; b]

на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xi < xi+1 < : : : < xn = b. Äëÿ

каждого i = 0; n 1 рассмотрим отрезок [xi; xi+1]. Обозначим длину i-го отрезка xi = xi+1 xi. На каждом отрезке выберем точку i 2 [xi; xi+1], Будем считать, что на каждом из отрезков [xi; xi+1] плотность стержня постоянна и равна ( i). Масса i-того отрезка равна ( i) xi. Обозначим= maxf x1; x2; : : : ; xng. Будем увеличивать число точек деления

отрезка (n ! 1) так, чтобы ! 0. Тогда за массу стержня принимают

n 1

P

предел суммы n = f( i) xi ïðè ! 0:

i

=0
		n 1
M = lim n = lim		Xi
		f( i) xi:	(6:2)
!0	!0	=0

III. Пусть функция u = f(t) описывает изменение производительности труда с течением времени. Найдем объем продукции, произведенной за промежуток времени [0; T ].

Заметим, что если f(t) = const, то объем продукции u, произведенной за промежуток времени t вычисляется по формуле u = f(t) t, где (t 2 [t0; t0 + t]).

В общем случае приближенное равенство u = f( ) t ( 2 [t; t + t]) тем точнее, чем меньше t.

Разобьем отрезок [0; T ] на промежутки времени точками 0 = t0 < t1 < : : : < ti < ti+1 < : : : < tn = T . Объем продукции, произведенной за промежуток времени [ti; ti+1] равен приближенно ui = f( i) ti, ãäå

2

ti = ti+1 ti è i 2 [ti; ti+1]. Тогда

n 1 n 1

XX

u ui =	f( i) ti:	( )
i=0	i=0

Обозначим = maxf tig. Если ! 0, то равенство (*) становится все

i=1;n

более точным. Поэтому объем произведенной продукции

	n 1
	Xi
u = lim	f( i) ti:	(6:3)
!0	=0

IV. Пусть функция u = f(t) описывает постуаление денег в банк в момент времени t. Требуется определить количество денег D, поступивших в банк за промежуток времени [0; T ].

Если f(t) = c (c постоянная), то количество денег, поступивших в банк D = cT .

Пусть f(t) кусочно-непрерывная функция, определенная на отрезке

[0; T ].

Разобьем отрезок [0; T ] на промежутки времени точками 0 = t0 < t1 <

: : : < ti < ti+1 < : : : < tn = T . Количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [ti; ti+1] равно приближенно Di = f( i) ti, ãäåti = ti+1 ti è i 2 [ti; ti+1]. Тогда

n 1 n 1

XX

D	Di = f( i) ti:	( )
i=0	i=0

Обозначим = maxf tig. Если ! 0, то равенство (**) становится все

i=1;n

более точным. Поэтому количество денег, поступивших в банк

	n 1
	Xi
D = lim	f( i) ti:	(6:4)
!0	=0

Заметим, что выражения (6.1), (6.2), (6.3) и (6.4) имеют одинаковую структуру. И это не случайно.

3

7. Определение определенного интеграла.

Пусть f(x) произвольная функция, определенная на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xi < xi+1 < : : : < xn = b. Для каждого i = 0; n 1 рассмотрим отрезок [xi; xi+1]. Длины этих отрезков xi = xi+1 xi. На каждом отрезке вы- берем точку i 2 [xi; xi+1], вычислим значения функции в этих точках

f( 1); f( 2); : : : ; f( n) и составим сумму

n 1
Xi
n = f( i) xi:	(7:1)
=0

n называется интегральной суммой.

Обозначим = maxf x1; x2; : : : ; xng. Будем увеличивать число точек деления отрезка (n ! 1) так, чтобы ! 0.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы n, если он не зависит от спосо-

ба разбиения отрезка и выбора точек, при единственном условии							!
0.
Z	b			n 1
		( ) = !0
			n	!0 i=0	i	i
a	f x dx lim			X	f( ) x :		(7:2)
				= lim

f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx подинтеграль-

ным выражением, x переменной интегрирования, a нижним пре-

делом, b верхним пределом интегрирования . Функция, для которой

определенный интеграл существует, называется интегрируемой. Рассмотрим еще две интегральные суммы sn è Sn

(	n 1	i	n 1
	i)P		P	f(di) xi,
sn = lim		f(ci) xi, Sn = lim
!0 i=0		!0 i=0
ãäå f c	=	min f(x), f(d ) =		max f(x).
		x2[xi;xi+1]		x2[xi;xi+1]

Суммы sn è Sn называют нижней суммой Дарбу è верхней сум-

мой Дарбу соответственно. Очевидно, что для заданного разбиения

sn 6 n 6 Sn.

4

Интеграл, определенный выше, называют интегралом Римана1. Доказано, что для существования определенного интеграла необхо-

димо и достаточно, чтобы при ! 0 разность Sn sn ! 0. Тогда
lim sn = lim n = lim Sn.
!0	!0	!0

Заметим, что несмотря на сходство в названии, обозначении и терминологии неопределенный и определенный интегралы это различные понятия. Определенный интеграл это число, неопределенный интеграл это семейство функций.

Не для всякой функции на заданном интервале существует определенный интеграл. Функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], если выпол-

няется одно из условий: a) f(x) непрерывна на [a; b]; b) f(x) ограничена и кусочно-непрерывна на [a; b] (f(x) имеет на [a; b] конечное число то- чек разрыва первого рода); c) f(x) определена и монотонна на [a; b]. Из

этих условий следует, что любая интегрируемая на отрезке [a; b] функция

ограничена на этом отрезке.

Из определения определенного интеграла получаем его геометриче- ский смысл: определенный интеграл от положительной функции f(x) на

отрезке [a; b] площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу

осью OX, с боков прямыми x = a, x = b, сверху кривой y = f(x).

Физический смысл определенного интеграла: масса неоднородного стержня с плотностью (x), расположенного вдоль оси OX на отрезке [a; b].

Экономический смысл определенного интеграла: если функция u =

f(t) описывает изменение производительности труда за промежуток вре-

мени [0; T ], то интеграл от функции f(t) по заданному промежутку равен

объему продукции, произведенной за промежуток времени [0; T ].

	b
Из определения интеграла вытекает, что	Ra	1dx = b a.

1Георг Фридрих Бернхард Риман (Georg-Friedrich-Bernhard Riemann) (1826-1866) немецкий математик, механик, физик. За свою короткую жизнь он преобразовал сразу несколько разделов математики. Исследования Римана относятся к теории функций комплексного переменного, геометрии, теории дифференциальных уравнений, математической и теоретической физике. Риман высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от тр¸хмерной евклидовой. Риман является создателем геометрического направления теории аналитических функций. Он вв¸л носящие его имя поверхности (римановы поверхности). Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и вв¸л сво¸ определение интеграла Римана, развил общую теорию тригонометрических рядов.

5

Задания для самостоятельного решения

Задание 7.1. Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислите

6	p			4		3
a) R6			dx;	á) R1		â) R1
		36 x2			(2x + 2) dx;		(11 2x) dx.

8. Свойства определенного интеграла.

1) Интеграл не зависит от буквы, которой обозначается переменная

интегрирования;

a

R

2)f(x)dx = 0;

a
b	a

RR

3)f(x)dx = f(x)dx, то есть при перестановке пределов интегри-

a

b

рования интеграл меняет знак (в самом деле, при перестановке пределов интегрирования приращения аргумента меняет знак x0 = x);

4)	b			b		c	fb		b	f(x)dx
			c 2 (a; b), òî Ra		fb(x)dx = Ra			(x)dx + Rc
	åñëè			= Ra		f(x)dx + Ra					;
5)	Rab	(f(x) + g(x)) b						g(x)dx
			dx						;

RR

6)	kf(x)dx = k f(x)dx;
a	a
	b

R

7) åñëè a < b è f(x) > 0, òî f(x)dx > 0;

a

bb

RR

8) åñëè a < b è f(x) > g(x), òî f(x)dx > g(x)dx;

a

a

9) (формула оценки интеграла) если a < b, то ab f(x)dx

6 ab

jf(x)jdx;

10) åñëè a < b è m

6

f(x)

6

M (функция f(xR) ограниченаR

íà [a; b]),

11) åñëè m

b

M, то существует

Raf(x)

[m; M] такое, что

òî m(b a) 6

f(x)dx

6 M(b

a);

b

6

6

2

Ra

f(x)dx = (b a);

6

12) (первая формула о среднем значении ) если функция f(x) непре-

рывна на отрезке [a; b], то существует точка c 2 [a; b] такая, что

Za	b
	f(x)dx = f(c)(b a);	(8:1)

Геометрический смысл формулы о среднем значении состоит в том, что существует точка c 2 [a; b] такая, что площадь прямоугольника с

основанием [a; b] и высотой f(c) равна площади криволинейной трапеции

с тем же основанием, ограниченной сверху графиком функции y = f(x).

1	b
öèè f(x) на отрезке [a;Rb]. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то
Величина f = b a	a	f(x)dx называется средним значением функ-

èз первой формулы о среднем вытекает, что среднее значение функции f = f(c) для некоторой точки c 2 [a; b].

13) если m 6 f(x) 6 M, то существует 2 [m; M] такое, что

b	14) (первая	b
R		R
	f(x)g(x)dx = g(x)dx;
a		a

обобщенная формула о среднем значении ) если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка c 2 [a; b] такая,

÷òî	b		b
	Za	f(x)g(x)dx = f(c) Za	g(x)dx;	(8:2)

15) (вторая формула о среднем значении или формула Боне ) если на отрезке [a; b] функция g(x) монотонна, функция f(x) интегрируема, то то существует точка c 2 [a; b] такая, что

	b	c	b
Za	f(x)g(x)dx = g(a) Za	f(x)dx + g(b) Zc	f(x)dx;	(8:3)

16) если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то функция jf(x)jr, где r любое положительное число, также интегрируема на этом

отрезке.

7

17) (неравенство Минковского) если положительные функции f(x) и

g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], то для любого числа p > 1 справедливо неравенство

ab(f(x) + g(x))pdx!1=p 6	ab fp(x)dx!1=p +		ab gp(x)dx!1=p ;
R18) (неравенство Гельдера)Rесли функции			R	è	g(x)	интегрируемы на
		f(x)

отрезке [a; b], то для любых чисел p > 1 и q > 1, связанных соотношением

1		1	= 1 справедливо неравенство
p	+ q					b jg(x)jqdx!1=q ;
	b	f(x)g(x)dx		6	b jf(x)jpdx!1=p
					R	R
R

a	19)	если функцияa f(x) нечетная,aòî		a	f(x)dx = 0;
				a Ra	a
	20)	если функция f(x) четная, то	Ra f(x)dx = 2 R0			f(x)dx.

9. Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a; x] [a; b]. Очевидно, что для раз-

личных значений x величина интеграла

x
(x) = Za	f(t)dt	(9:1)

будет различной. Введенную таким образом функцию (x) называют

интегралом с переменным верхним пределом .

y
6
S(x)
		-
a	x x + x b	x

Геометрически, если f(x) > 0, функцию (x) можно рассматривать как площадь S(x) криволинейной трапеции, построенной на отрезке [a; x].

8

Если функция f(t) непрерывна на [a; b], то она непрерывна на любом

отрезке [a; x] [a; b], поэтому (x) существует для всех x 2 [a; b], причем

a

R

(a) = f(t)dt = 0.

a

Рассмотрим свойства функции (x).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то функция (x)

1. непрерывна на отрезке [a; b]; 2. дифференцируема в каждой точке

интервала (a; b), причем производная интеграла по верхнему пределу равна значению подинтегральной функции в точке дифференцирования,

òî åñòü	0(x) =	0 x f(t)dt10		= f(x):	(9:2)
		Z	A
		@a

Доказательство. Пусть x и x + x 2 [a; b]. Найдем приращение (x): (x) =

	x+x	x	x	x+x			x			x+x
	R	R	R		R	R				R
(x+ x) (x) =	a	f(t)dt a f(t)dt = a f(t)dt+			x	f(t)dt a f(t)dt =				x	f(t)dt.
Применив вторую теорему о среднем, получим					= f(c) x, c		2	[x; x + x].
1. Докажем непрерывность функции. Вычислим					lim (x) =				lim f(c) x = 0
					x!0				x!0

(воспользовались ограниченностью непрерывной функции f(x) на [a; b]). По определению функция (x) непрерывна.

2. Из формулы (x) = f(c) x следует f(c) =

(x)

x

. Тогда

0(x) = lim

(x)

=

lim f(c) = f(x) (åñëè x

!

0, òî c

!

x).

0

x

x

!

x

!

0

Из доказанного утверждения получаем, что Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция имеет на этом отрезке первообразную.

10. Формула Ньютона Лейбница.

Вычисление определенных интегралов по определению достаточно сложно. Даже для простых функций эти вычисления приводят к длинным выкладкам и сложным доказательствам. Возникает задача найти простой и удобный способ вычисления определенного интеграла. Поворотным моментом в развитии интегрального исчисления явилось открытие связи между неопределенными и определенными интегралами.

9

Именно эта связь легла с основу метода вычисления определенных интегралов.

Теорема 10.1. (Ньютона-Лейбница.) Если функция f(x) непрерывна

на отрезке [a; b], функция F (x) ее первообразная на этом отрезке,
òî	Za	b
		f(x)dx = F (b) F (a):					(10:1)
[a; b]. По теореме о связи первообразных			x		(x) = F (x) + C. Òàê êàê (a) =
			R
Доказательство. 1 способ. Функция (x) =				f(t)dt первообразная для f(x) на
			a
			функции
a				b	[a; b]	F (x)
R2 способ. Пусть функция f(x) интегрируема				R
= a	f(t)dt = F (a) + C = 0, то C = F (a). Тогда a				f(x)dx = (b) = F (b) F (a):
				íà	è		ее первообразная.

Разобьем отрезок [a; b] точками a = x0; : : : ; xi; xi+1; : : : ; xn = b на части. На каж-

дом отрезке [xi; xi+1]

функция F (x) непрерывна, поэтому для нее выполнены усло-

n 1

n 1

n 1

iP

вия теоремы Лагранжа. Применив ее, получим F (b) F (a) =

=0 F (xi+1) F (xi) =

=

F 0( i) xi =

f( i) xi. Последняя сумма есть интегральная сумма для функ-

Pf(x)

P[a; b]

f(x)

i=0

i=0

öèè

на отрезке

, которая в силу интегрируемости

на этом отрезке при

! 0 стремится к интегралу.

b

Следовательно,

F b

F a

lim n 1 f x

f x dx:

( ) ( ) =

!

0

iP

( i) i =

Ra

=0

( )

Формулу (10.1) называют формулой Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к вычислению первообразной (неопределенного интеграла). Для удобства вычислений договорились записывать вид первообразной явно, то

b	b
есть писать a	f(x)dx = F (x) a = F (b) F (a):
R

11. Вычисление определенных интегралов.

I. Замена переменной.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a; b]. Рассмотрим

функцию x = '(t), удовлетворяющую следующим условиям:

10