ALGEBRA

Алгоритм нахождения arg z :

Обозначим через Z1, Z2, Z3, Z4 четверти комплексной плоскости πR2z.

1.Найти ϕ0 = arctg ||xy||, 0 ≤ ϕ0 ≤ π2 ;

2.Изобразить число z = x + iy на комплексной плоскости;

3.Найти arg z по формулам:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.1 Если −π < arg z ≤ π, то

ϕ , если z

Z ;

0

1

π

ϕ ,

z

Z ;

−

0

2

если

arg z =

π,

z

если отрицательное вещественное число;

π + ϕ ,

z

Z ;

−

0

3

если

ϕ ,

z

Z .

−

0

4

если

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.2 Если же 0 ≤ arg z < 2π, то

0,

если z положительное действительное число;

ϕ ,

z

Z ;

0

1

если

arg z = π

−

ϕ ,

z

Z ;

0

2

если

π + ϕ ,

z

Z ;

0

3

если

2π

ϕ ,

z

Z .

−

0

4

если

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 45. Найти модуль и главное значение
аргумента числа z = −1 − i.			y
Решение. r	= |z| =
		πR2z
s(−1)2 + (−1)2 = √2,			ϕ	x
ϕ0 = arctg |−1|	= π.		r O
|−1|	4		z
T.к. z лежит в третьей
четверти (см. рис. 9),			Рис. 9
то arg z = −34π или
arg z = 5π.
4
	•First •Prev •Next	•Last	•Go Back	•Full Screen •Close •Quit

Операции над комплексными числами.

Определение 24. Комплексные числа x + iy и x − iy называются сопряжёнными (взаимно).

Сопряжённые числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси, и равны между собой только тогда, когда являются действительными числами. Если x + iy = z, то число, сопряжённое с ним, обозначается z¯ : x − iy = z¯.

Так как сопряжённое с x − iy есть x + iy, то

(¯z) = z.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть z = x + iy. Очевидны следующие свойства операции комплексного сопряжения:

z1 + z2 = z¯1 + z¯2, z1 · z2 = z¯1 · z¯2,

z + z¯ = 2Re z = 2x, z + (−1) · z¯ = 2iIm z = 2iy, z · z¯ = x2 + y2 = |z|2.

Заметим, что сумма и произведение двух сопряжённых комплексных чисел являются действительными числами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как операции обратные сложению и умножению.

Определение 25. Разностью z1 − z2 комплексных чисел z1 и z2 называется число z3, такое что z2 + z3 = z1.

Определение 26. Частным	z1	,	при z2	6= 0,
	z2

комплексных чисел z1 и z2 называется число z4, такое что z2 · z4 = z1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Нетрудно видеть, что если

zk = xk + iyk, k = 1, 2, 3, 4,

то

z3 = z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2)

и

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

z2 · z4 = (x2x4 − y2y4) + i(y2x4 + x2y4) =

						= x1 + iy1 = z1. (1.12)
Из (1.12) получаем систему уравнений
	x	x	4		y	y	4	= x	,
	2			−	2			1
										(1.13)
	y2x4 + x2y4 = y1.

Система (1.13) имеет единственное решение:

	x4	=	x1x2 + y1y2	; y4	=	x2y1 − x1y2	.
			x22 + y22
						x22 + y22

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Заметим, что на практике при делении комплексных чисел в алгебраической форме записи удобно домножать числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю:

z4	=	z1	=	z1 · z¯2	=	x1x2 + y1y2	+ i	x2y1 − x1y2	.
		z2
				z2 · z¯2		x22 + y22		x22 + y22

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit