№31 - Оптимизация при проектировании РЭС

1

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой КИПР

______________В.Н. Татаринов

“___” ___________2012 г.

Лабораторная работа по дисциплинам «Информатика» для студентов специальностей 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств» (бакалавриат) и 162107.65 «Информатика и информационные технологии» (специалитет)

Разработчик:

Доцент кафедры КИПР

____________Ю.П. Кобрин

Томск 2012

			2
			Оглавление
1	Цели работы.....................................................................................................................			3
2	Порядок выполнения работы.........................................................................................			3
3	Контрольные вопросы.....................................................................................................			3
4	Защита отчета...................................................................................................................			4
5	Основы теории нелинейной оптимизации ...................................................................			4
	5.1	Постановка задачи....................................................................................................		4
	5.2	Основные понятия нелинейного программирования ..........................................		5
	5.3	Классификация методов оптимизации.................................................................		11
	5.4	Методы барьерных штрафных функций...............................................................		12
	5.5	Методы одномерной оптимизации......................................................................		14
	5.5.1		Постановка задачи ..........................................................................................	14
	5.5.2		Метод общего поиска .....................................................................................	14
	5.5.3		Метод золотого сечения .................................................................................	15
	5.6	Методы многомерной оптимизации ....................................................................		17
	5.6.1		Общие соображения .......................................................................................	17
	5.6.2		Метод покоординатного спуска (подъема) ..................................................	17
	5.6.1		Метод случайного поиска...............................................................................	19
	5.6.1		Градиентные методы ......................................................................................	21
6	Пример формирования целевой функции.................................................................			25
7	Индивидуальные задания ............................................................................................			27
8	Список литературы ........................................................................................................			30

3

1Цели работы

Входе данной работы предусматривается:

изучение методов решения задач оптимизации при проектировании радиоэлектронных средств (РЭС);

приобретение навыков в построении математических моделей РЭС, используемых для решения задач оптимизации;

приобретение практических навыков в работе с системой автоматизации науч- но-технических расчетов MathCAD [1] для решения задач оптимизации.

2Порядок выполнения работы

1)Перед выполнением этой работы следует ознакомиться с теоретическим материалом, а также с примерами решения типовых задач оптимизации, представленными в разделе 5. Дополнительные сведения по методам оптимизации можно получить из [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

2)Используя [1] [9] [10] [11] овладеть важнейшими приемами работы в системе MathCAD по решению задач оптимизации.

3)Ответить на контрольные вопросы.

4)Составить целевую функцию для решения задачи по своему варианту.

5)Составить программу минимизации целевой функции в системе MathCAD, предусмотрев графический показ целевой функции на экране.

6)Выбрать начальное приближение и провести оптимизацию. Оценить результаты оптимизации, представив в масштабе эскиз разработанной конструкции.

7)Оформить и защитить отчет по лабораторной работе у преподавателя.

3Контрольные вопросы

Ответьте на следующие контрольные вопросы:

1)Как формулируется задача оптимизации?

2)Какими подходами можно решить задачу оптимизации?

3)Что называется целевой функцией?

4)Что называется проектными параметрами?

5)Какое различие между методами условной и безусловной оптимизации?

6)В чем сущность метода штрафных функций?

7)Всегда ли оптимальные значения целевой функции совпадают со значениями глобальных экстремумов? А со значениями локальных экстремумов?

8)В чем сущность метода общего поиска?

9)В чем сущность метода золотого сечения?

10)В чем сущность методов координатного спуска (подъема)?

11)В чем сущность методов градиентного поиска?

12)В чем сущность методов случайного поиска?

4

4 Защита отчета

Отчет должен состоять из следующих разделов:

Тема и цель работы.

Индивидуальное задание

Ответы на контрольные вопросы

Тексты программ вместе с вводимыми исходными данными и ограничениями

Результаты выполнения оптимизации

Выводы

Для получения зачета при защите отчета по работе студент должен:

обосновать избранные математические модели и ограничения;

обосновать избранные математические модели и ограничения;

проявить знание использованных методов оптимизации и их работоспособность на своих примерах;

продемонстрировать навыки работы в среде MathCAD

5 Основы теории нелинейной оптимизации

5.1 Постановка задачи

В подавляющем большинстве случаев одна и та же техническая задача может быть решена несколькими способами, приводящими не только к различным выходным характеристикам, схемам и конструкциям, но даже и к физическим принципам, положенным в основу построения объекта. Вследствие этого на разных этапах проектирования РЭС почти всегда у проектировщиков возникает необходимость выбора из множества допустимых проектных решений наилучшего (оптимального) варианта конструкции РЭС или технологического процесса его изготовления, удовлетворяющих предъявленным требованиям.

Очевидно, что изделие или технологический процесс, выгодно отличающееся от аналогичных изделий и процессов, будет пользоваться на рынке большим спросом. В этом и состоит смысл поиска оптимальных решений.

Оптимальное решение при проектировании - лучшее в том или ином смысле

проектное решение, допускаемое обстоятельствами.

5

Оптимальное решение может быть получено с помощью разных подходов.

1.Следование установленным нормативам и стандартам, в которых заложен опыт «предыдущих поколений». Эти источники создавались всевозможными путями: систематизацией опыта, экспериментальной отработкой. Конечно, не исключены случаи, когда мотивы разработчиков стандартов не очень то и легко понять. Тем не менее, в подавляющем большинстве случаев соблюдение нормативов есть один из наиболее надежных путей проектирования.

2.Использование конструкторами инженерной интуиции, практических навыков, опыта предыдущих разработок. Иногда этот путь дает неплохие результаты, особенно когда решаются концептуальные вопросы. К сожалению, алгоритмы генерации новых знаний, несмотря на определенный прогресс в деталях, до сих пор не созданы.

3.Использование алгоритмов математического нелинейного проектирова-

ния, основанных на использовании математических моделей проектируемых объектов и соответственных им методов оптимизации.

Первые два подхода требуют экспериментальной проверки (обычно вручную) большого числа вариантов, что весьма трудоемко, требует значительных затрат времени

ичаще всего экономически нецелесообразны. Нередко экспериментальное исследование объекта проектирования приводит к его разрушению. Кроме того, невозможно с уверенностью сказать, что полученное экспериментальными способами проектное решение действительно оптимально.

Наиболее продуктивным способом проектирования оптимальных РЭС являются методы оптимизации на основе нелинейного математического программирования,

позволяющие получить за короткое время наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов. Безусловно, результаты будут еще лучше, если они будут разумно дополнены позитивными качествами первых двух подходов.

5.2 Основные понятия нелинейного программирования

Для проведения оптимизации необходимы математическая модель объекта, целевая функция и оптимизационный алгоритм.

При математическом моделировании на компьютерах исходный объект заменяют его

«образом» — математической моделью. Для работы оптимизационных алгоритмов необходима математическая модель, представленная в виде целевой функции (функции качества), позволяющей количественно сравнить два альтернативных решения.

Целевая функция (критерий качества) F(X) - это выражение, характеризующее

качество проектируемого объекта, значение которого нужно минимизировать или максимизировать, подобрав необходимую совокупность проектных параметров:

{}.

6

Качество проектируемого РЭС может характеризоваться такими количественными показателями, как:

стоимость,

масса,

габариты,

коэффициент полезного действия,

потребляемая мощность,

прочность,

надежность,

технологичность и т.п.

Целевая функция часто может приобретать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица справочных технических данных (например, зависимости некоторого параметра от времени, температуры и т.п.) или потребуется провести эксперимент.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Часто одна из них оказывается несовместимой с другой. Примером служит проектирование бортовой радиоаппаратуры, когда одновременно требуется обеспечить максимальные прочность и надежность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктору необходимо ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате формируется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Проектными параметрами называются независимые переменные величины, которые полностью и однозначно количественно описывают объект проектирования. Значения проектных параметров определяются в процессе оптимизации.

В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания оптимизируемого объекта. Например, это могут быть неизвестные значения:

размеров объекта,

параметров электрорадиоэлементов,

токов и напряжений в схеме электрической принципиальной,

времени,

температуры,

концентрации веществ и т.п.

Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через n, а сами проектные параметры представляют собой вектор

X x1, x2 , ..., xn .

7

Отметим, что целевая функция и проектные параметры обязательно должны иметь количественные значения. В то же время многие показатели качества и проектные параметры (например, надежность, эстетические и эргономические характеристики, удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель и т.п.) количественно охарактеризовать очень непросто.

Проектные параметры не могут принимать произвольные значения, так как всегда есть ограничения на их физическую реализацию, условия эксплуатации и т.п.

В ряде случаев проектные параметры принимают только дискретные или целые значения. Примерами могут служить дискретность номинальных значений параметров радиокомпонентов, выпускаемых промышленностью, количество людей для выполнения какой-нибудь работы, число крепежных болтов и т.п. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет

Область, в которой все параметры проектирования принимают допустимые значения, называется пространством проектирования. Пространство проектирования обычно ограничено рядом усло- вий-ограничений, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть настолько сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения.

Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

Под задачей оптимизации обычно понимают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное значение вектора X* из множества X допустимых решений, которому соответствует минимальное (или максимальное) значение целевой функции. И хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего, т.е. «оптимального», решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до безупречности. Поэтому под оптимизацией подразумевают скорее стремление к совершенству, которое, может быть, и не будет достигнуто.

Задача поиска минимума и максимума целевой функции F(X) называется задачей поиска экстремума.

Локальный оптимум (экстремум) - точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее (или наименьшее, если целевая функция минимизируется) значение по сравнению со значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности.

Глобальный оптимум – это оптимальное решение для всего пространства проектирования.

Если существует только один проектный параметр, который характеризует качество РЭС, то формируется однокритериальная (одномерная) целевая функция, зависящая от этого параметра. При этом другие параметры подпадают под категорию ограничений.

8

Однокритериальную целевую функцию можно представить кривой на плоскости

(Рис. 5.1).

Рис. 5.1 - Одномерная целевая функция:

xmax* , xmin* - оптимальные значения проектного параметра целевой функции, xmax* - если ищется максимум и xmin*, если ищется минимум;

Лmax, Лmin - локальные максимумы и минимумы;

Гmax, Гmin - глобальные максимумы и минимумы;

а, b - границы интервалов неопределенности.

На этом рисунке пространство проектирования определено двумя участками {a1, b1} и {a2, b2}. Заметим, что глобальные экстремумы (максимум и минимум) в данном примере вообще находятся вне пространства проектирования и не могут таким образом быть оптимальными решениями.

Пространство проектирования может содержать множество локальных оптимумов. Следует заметить, что нередко из-за ограничений оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент и лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования. Нужно соблюдать осторожность, чтобы не принять первый же локальный оптимум за оптимальное решение задачи.

В приведенном примере оптимальные решения xmax* Л2max или xmin* Л1min. Целевая функция F(X) может зависеть от нескольких проектных параметров. В этом

случае ее можно представить некоторой (n+1)-мерной поверхностью (n – число проектных параметров).

Если проектных параметров два (x1 и x2), то целевая функция будет изображаться поверхностью в трехмерном пространстве (Рис. 5.2). Линии на поверхности, моделирующей

целевую функцию, являются ее сечениями. Они показаны исключительно для наглядности и функционального значения не имеют.

При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами.

9

Рис. 5.2 – Поверхность отклика двумерной целевой функции

Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Например, целевая функция F на Рис. 5.2 состоит из трех участков. Они образуют зону, в которой функция является негладкой, а также имеет разрыв. Там же показаны три типа ограничений-неравенств.

Первая группа ограничений определяет интервалы изменения переменных x1

иx2. Это вертикальные стенки, имеющие в основании прямоугольник.

Вторая группа ограничений состоит из единственного линейного ограничения (вертикальная неортогональная стенка).

Третья группа также представлена единственным нелинейным ограничением (вертикальная криволинейная стенка).

В пространстве проектирования может быть один или несколько экстремумов.

Унимодальная целевая функция - в пространстве проектирования существует лишь один экстремум, определяемый в ходе оптимизации.

Неунимодальная целевая функция - в пространстве проектирования существует несколько экстремумов, и в ходе оптимизации необходимо определить какой из них оптимальный.

В нашем примере (см. Рис. 5.2) в пределах пространства проектирования целевая функция имеет несколько минимумов, следовательно, она неунимодальная. Тот, где функция имеет наименьшее значение - глобальный. Остальные минимумы являются локальными. При этом один из них расположен на границе допустимой области, в месте пересечения двух ограничений.

10

Чаще всего целевую функцию отображают в виде карты линий уровня, которые представляет собой проекцию трехмерной поверхности на двухмерную плоскость. Карты линий уровня изображаются в виде семейства линий, получающихся в результате сечения поверхности горизонтальными плоскостями.

Если необходимо быстро представить себе общую трехмерную картину данных, этот способ, вероятно, будет менее нагляден, чем график поверхности. Тем не менее, с помощью карт линий уровня удобно детально исследовать характерные особенности формы поверхностей целевых функций, например таких, как многоэкстремальность, разрывность, овражность1, наличие седловых точек (Рис. 5.3) и т.п.

На Рис. 5.4 та же целевая функция (см. Рис. 5.2) представлена с отображенными линиями равного уровня. Эти линии получаются при пересечении поверхности отклика функции двух переменных F(x1, x2) плоскостью, параллельной плоскости координат (x1, x2). На рисунке видно, что в гладкой части функции имеется зона перегиба - это следствие того, что функция является знакопеременной по второй производной, т. е. имеет как выпуклые, так и вогнутые участки.

Вид целевой функции сверху в виде карты линий одного уровня показан на Рис. 5.5. Это «каноническая» картина для задачи оптимизации.

На приведенных рисунках совершенно намеренно не представлены ограниченияравенства, фигурирующие в общей постановке задачи минимизации. Попытка задать их в программе существенно усложняет как сам алгоритм, так и процесс его эксплуатации. Если какое-либо из этих ограничений-равенств можно разрешить относительно одного из проектных параметров, то стараются исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи.

Рис. 5.3 - Седловая точка

Рис. 5.4 - Линии уровня целевой функции

Рис. 5.5 – Карта линий уровня двумерной целевой функции

1 Рельеф такой целевой функции похож на овраг. Склоны оврага крутые (частные производные характеризующие их велики), а дно имеет незначительный протяженный наклон (частные производные характеризующие его на порядок меньше)