eltsov

1. Неопределенный интервал

Jn

dx

может быть найден или по рекуррентной фор-

(x

2

2 n

a )

муле (1.1) J

1

1

x

2n 1 J

n

, полученнойвыше

n

2na2 (x2

a2 )n

2na2

интегрированием Jn

по частям, или с помощью таблиц [5, 7].

Интегралы

dx

,

dx

в случае, когда

x

2

(x

2

n

px q

px q)

знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант

D p2

4q 0 ), сводятся с помощью выделения полного квад-

рата к интегралам

dt

dt

p

,

заменой x

t .

2

2

(t

2

a

2 n

2

t

a

)

Mx N

Наконец, какэтоуказывалосьранее, интегралы

dx ,

x2 px q

Mx N

dx выделением в числителе дифференциала вы-

(x

2

px

q)

n

x

2

px q сводятся

к интегралам

dx

ражения

,

x2 px q

dx

.

(x

2

n

px q)

Таким образом, осталось научиться раскладывать правильные рациональные дроби на сумму простейших.

По основной теореме алгебры [6] любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен

n

ввиде Q(x) an (x x1)(x x2)...(x xn ) an (x xl ) , где xl —

l 1

действительные или комплексные корни полинома Q(x), повторенные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1,x2,...,xn .

Тогда правильная рациональная дробь может быть представле-

на в виде	P(x)		A1		A2	...	An	, где A , A ,..., A
	Q(x)		x x1		x x2		1 2		n
							x xn

— числа, подлежащие определению. Если xl — корень крат- н-сти то ему в разложении на простейшие дроби соответст-

вует слагаемых	A1		A2	...	A	. Если xj —
	x xl		(x x )2		(x x )
			l		l

3 1

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

комплексный корень кратности полиномас действительными коэффициентами, то комплексно-сопряженноечисло xj — тоже корень кратности этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплекснымичисламипри интегрированиирациональныхдробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парамкомплексно-сопряженных корней, объе-

Mx N

диняют и записывают одним слагаемым вида x2 px q , если

xj, xj — корни кратности 1. Если xj, xj — корни кратности , то им соответствует слагаемых, и соответствующее разложение имеет вид

M x N				M x N						M x N
		1 1				2	2		...						.
x	2			(x	2			2		(x	2	px q)
		px q				px q)

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, рассмотренных выше.

Одним из способов нахождения коэффициентов Aj, Mj, Nj в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj, Mj, Nj приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.

П р и м е р 1. Найти x2 x 1 dx . x3 3x 2

Корни знаменателя — x1 2 кратности 1 и x2 1 кратности 2.

Поэтому x3 3x 2 (x 2)(x 1)2 , и подынтегральная функция может быть представлена в виде

x2 x 1				A		A		A
				1		2		3	.
x3	3x 2							(x 1)2
				x 2		x 1

Приводя к общему знаменателю, получаем

3 2

1. Неопределенный интервал

x2 x 1			A (x 1)2	A (x 1)(x 2)	A	(x 2)
			1	2	3
x3	3x 2			x3 3x 2

(A1 A2)x2 ( 2A1 A2 A3)x (A1 2A2 2A3) . x3 3x 2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

							A1								A2														1,
															A2 A3												1,
			2 A1
							A1 2 A2 2 A3 1.
Решая эту систему,							находим A															7				, A					2	, A						1	.
																																				3
													1							9						2			9								3
Таким образом,
	x2 x 1								7 dx											2 dx 1																		dx
				dx
	x3 3x 2								9						x 2					9							x 1						3				(x 1)2
		7	ln			x 2								2		ln		x 1											1						C.
9													9															3(x 1)
П р и м е р 2. Найти								2x2 2x 2													dx .
								x3					2x 4

Корни знаменателя — x1 2 кратности 1 и два комплексных кор-

ня x2,3 1 i . Поэтому x3 2x 4 (x 2)(x2

2x 2) , и подынтег-

ральная функция может быть представлена в виде

2x2 2x 2

A

Mx N

.

x3 2x 4

x 2

x2 2x 2

Приводя к общему знаменателю, получаем

2x2 2x 2

A(x2

2x 2) (Mx N)(x 2)

x3 2x 4

x3

2x 4

(A M)x2

(2A 2M N)x (2A 2N)

.

x3

2x 4

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

A M

2,

2A 2M N 2,

2A 2N	2.

3 3

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Решая эту систему, находим

A 1, M 1,

N 2.

Таким образом,

2x2 2x 2

dx

dx

x 2

dx

dx

x3 2x 4

x 2

x2 2x 2

x 2

x 1 1

dx

x 1

1

dx

dx

dx

x2 2x 2

x 2

x2 2x 2

x2 2x 2

ln

x 2

1

ln(x2 2x 2) arctg (x 1) C.

2

14x2 54x 43

П р и м е р 3. Найти

dx .

(x2 2x 2)(x 5)2

Корни знаменателя — x1,2 5 кратности 2 и пара комплексносопряжённых корней x3,4 1 i кратности 1. Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде

							14x2 54x 43								A				A			Mx N
															1				2							.
							(x	2	2x 2)(x		5)		2		x 5				2		x	2	2x		2
																			(x 5)
Приводя к общему знаменателю и подобные, получаем
		14x2 54x 43										(A M)x3						( 3A A 10M N)x2
													1						1		2
	(x			2					2						(x			2					2
						2x 2)(x 5)													2x 2)(x 5)
			( 8A1 2A2 25M 10N)x ( 10A1 2A2																		25N)			.
									(x2		2x 2)(x 5)2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

A1

M

0,

3A1

A2

10M

N 14,

8A1

2A2

25M 10N

54,

10A

2A

25N

43.

1

2

Решая эту систему,

находим A1 2, A2 1,

M 2, N 1 .

Таким образом,

14x2 54x 43

dx

dx

2x 1

dx

2

dx

(x2 2x 2)(x 5)2

x 5

(x 5)2

x2 2x 2

2ln

x 5

1

ln(x2 2x 2) arctg(x 1) C.

x 5

3 4

1. Неопределенный интервал

2x3 6x2 4

П р и м е р 4. Найти (x2 1)2(x 1) dx .

Корни знаменателя — x1 1 кратности 1 и два комплексных кор-

ня x2,3,4,5 i кратности 2. Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде

2x3 6x2 4		A			M x N			M x N
					1	1		2	2	.
x2 1 2 (x 1)
		x 1			x2 1			x2 1 2

Дальнейшие вычисления предлагается проделать самостоятельно.

Задание 1.4 1. Вычислить интегралы:

а)

x3 9x2 22x 79

б)

2x3 5x2 12x 49

dx .

dx ;

2

26)(x

3)

2

2

6x 25)(x 1)

2

(x 2x

(x

2. Написать разложение рациональной дроби на элементар-

ные (не находя коэффициентов):

а)

3x2 4x 8

;

б)

x3 4x2 9

.

x2 1 3 (x 2)2 (x 3)

x2 2x 10 2 (x 1)3(x 1)

Ответы:

1. а)

ln(x2 2x 26) 1 arctg x 1

ln

x 3

1

C ;

x 3

5

5

2

б)

2

7

x 3

.

ln(x

6x 25) 4 arctg

4

x 1

C

2.

а)

M1x N1

M2x N2

M3x N3

A1

A2

A3

;

x2 1 3

x2 1 2

x2 1

(x 2)2

(x 2)

x 3

б)

M1x N1

M2x N2

A1

A2

A3

A4

.

x2 2x 10 2

x2 2x 10

(x 1)3

(x 1)2

x 1

x 1

3 5

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

1.2.5.Интегрирование простейших иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции

Рациональнойфункциейпеременных x1,x2,...,xn назовёмотношение двух полиномов от этих переменныхили, что то же самое, отношение двух линейных комбинаций всевозможных произведений целыхстепеней этих переменных.

Пусть R x,r1x,r2x,...,rnx — рациональная функция от

x,r1x,r2x,...,rnx. Эта функция, а следовательно и интеграл от неё рационализируются подстановкой x tr , где r — наименьшее общее кратное чисел r1,r2,...,rn . Тогда dx rtr 1dt , и под интегралом стоит рациональная функция от t. Аналогично, если подынтегральное выражение

r ax b

r ax b

r ax b

R x, 1

, 2

,...,

n

cx d

cx d

cx d

есть рациональная функция от

r

ax b

r

ax b

r

ax b

x, 1

,

2

,..., n

,

cx d

cx d

cx d

то подынтегральная функция рационализируется подстановкой

ax b tr , где r — наименьшееобщеекратное чисел r1,r2,...,rn . cx d

Тогда x dtr b . Подставляя в исходное выражение, полу-

ctr a

чаем рациональную функцию от t.

x

П р и м е р 1. Вычислить x 3 x2 dx.

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому делаем

замену x t6.

Тогда dx 6t5dt , и

t36t5dt

t4

t4 1 1

x

dx

6

dt 6

dt

x 3

t6 t4

t2 1

t2 1

x2

2

dt

2

dt

dt

6 (t

1)dt 6

6 (t

1)dt 3

3

t2 1

t 1

t 1

3 6

1. Неопределенный интервал

2t3 6t 3ln t 1 3ln t 1 C 2t3 6t 3ln t 1 C

t 1

1

2

6

6

3ln

6

x

C.

x

x

6 x 1

П р и м е р 2. Вычислить

5 (x 2)3

dx .

5

(x 2)8

x 2

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 5 равно 10. Поэтому делаем замену x 2 t10. Тогда dx 10t9dt , и

5 (x 2)3

dx

t610t9dt

10

t10

dt

5

t5 t16

1 t11

(x 2)8

x 2

10 ln

10 ln

11

1 t11

C

1 (x 2)

10

C.

11

11

4

1

П р и м е р 3. Вычислить

x 1

dx.

4 (x 1)3

x 1

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 4 равно 4. Поэтому делаем

замену x 1 t4. Тогда dx 4t3dt , и

4

1

(t 1)4t3dt

x 1

dx

4 tdt 2t

2

C

t2 t3

4 (x 1)3

x 1

2x 1 C.

Для интегрирования рациональных функций вида

R(sin x,cosx) применяют подстановку t tg x , которая назы- 2

вается универсальнойтригонометрической подстановкой. Тогда

x 2arctgt,	dx	2dt	, sinx	2t	, cosx	1		t2	. К сожа-
		2		2		1		2
		1 t		1 t				t

лению, универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому по возможности пользуютсяследующими подстановками. Если R( sin x,cosx)R(sin x,cos x) , то делают замену cos x t , и тогда sin xdx

dt. При R(sin x, cosx) R(sin x,cosx) полагают sin x t ,

3 7

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

при этом cosxdx dt, а в случае R( sin x, cosx)R(sin x,cosx) делаютзамену tg x t , при которой x arctg t ,

dx

dt

,

sin x

t

, cos x

1

, или ctg x t . Про-

1 t2

1 t2

1 t2

иллюстрируем сказанное примерами.

П р и м е р 4.

Вычислить интеграл

cos4 x sin3 xdx .

Делаем замену cos x t .

Тогда

4

3

4

2

t7

t5

cos7 x

cos5 x

cos

x sin

x dx t

1 t dt

C

C.

7

5

7

5

cos3 x

П р и м е р 5.

Вычислить интеграл

dx .

sin4 x

Делая замену sin x t , получаем

cos3 x

1 t2 dt

dt

dt

1

1

dx

C

sin4 x

t4

t4

t2

3t3

t

1

1

C.

3sin3 x

sin x

П р и м е р 6. Найти интеграл

1

dx .

sin4 x

Делаем замену tgx t. Подставляя,

получаем

1

dx

1 t2 2 dt

1 t2 dt

sin4 x

t4 1 t2

t4

dt

dt

1

1

1

C

ctg3x

ctgx C.

t4

t2

3t3

t

3

Заметим, что в данном примере лучше было сделать замену ctg x t , так как эта подстановка быстрее приводит к цели.

Действительно, тогда dx	dt	, sin x		1	, cosx		t	,
	1 t2
			1 t2			1 t2
и поэтому

3 8

1. Неопределенный

интервал

1

dx

1 t2 2 dt

1 t

2

dt

t3

t C

sin4 x

1

t

2

3

t3

t C

1

ctg3x ctgx C.

3

3

П р и м е р 7.

Вычислить интеграл

cos3 x sin8 xdx .

Делаем замену sin x t . Тогда

3

8

8

1

2

dt

t9

t11

sin9 x

sin11 x

cos

x sin

xdx t

t

C

C.

9

11

9

11

П р и м е р 8.

Вычислить интеграл

cos3 x

dx .

1 sin2 x

Делая замену sin x t , получаем

cos3 x

dx

1 t2 dt

2 t2

1

dt

1 sin2 x

1 t2

1 t2

2arctg t t C 2arctg sin x sin x C.

П р и м е р 9.

Найти интеграл

1

dx .

cos6 x

Делаем замену tgx t.

Подставляя, получаем

1

1 t2 3 dt

2

2

dx

1 t

dt

cos6 x

(1 t2)

2

4

2t3

t5

2tg3 x

tg5 x

dt 2t dt

t

dt

t

C tg x

C.

3

5

3

5

Для интегрирования рациональных выражений вида

	R x,		a2 x2		применяют замену x a sin t или x a cost ,
									a	или
	выражений вида R x, x2 a2						— подстановку x
								cost
			a
	x			, а для интегрированиявыражений вида R x,					a2 x2
		sint
	применяют замену x a tg t						или x a ctg t . Можно в этих

3 9

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

случаях пользоваться также заменами с гиперболическими функциями.

П р и м е р 10. Для вычисления интеграла

dx

воспользу-

x2

4 x2

емся заменой

x 2sin t . Тогда

dx 2cos tdt,

4 x2

4 sin2 t

2cos t , и исходный интеграл равен интегралу

2cos tdt

. Тогда

4sin2 t 2cos t

2 cos t dt

dt

1

ctg t C.

Делая обратную

замену

4sin2 t 2 cos t

4 sin2 t

4

x

dx

1

x

t arcsin

, получаем

ctg arcsin

C . После пре-

2

x2 4 x2

4

2

dx

4 x2

образований получаем

C .

x2

4x

4 x2

П р и м е р 11. Для вычисления интеграла

dx

воспользу-

x2

1 x2

емся заменой x tg t . Тогда dx

dt

1

,

1 x2

1 tg2t

, и

cos2 t

cos t

cos tdt

cos tdt

исходный интеграл равен интегралу

.

Тогда

sin2 t

sin2 t

d(sin t)

1

C.

Делая обратную замену t

arctg x ,

получа-

sin2 t

sin t

ем

dx

1

C . После преобразований

получаем

x2

sin (arctg x)

1 x2

dx

1 x2

C .

x2 1 x2

x

Задание 1.5. Вычислить интегралы:

4

1

1)

x 3

dx ;

2)

x 2

dx ;

x

3

3

(x 3)

2

x

2

4

(x 2)

3

4 0