2.2.1. Представление функций при помощи вейвлетов

При рассмотрении рис.2.2 видно, что область построена из множества «колец», которые есть разность между двумя соседними пространствами. Эти разностные пространства обозначаются черези определяются как ортогональные дополнения областейдо:

. (2.29)

Пусть есть базисная функция. Так как, можно записать

(2.30)

для некоторой последовательности . По аналогии с ранее рассмотренным множеством функцийопределим семейство вейвлет-функций:

. (2.31)

Функции идентичны полученным в разделе 2.1 после дискретизации (выражение (2.8)). Параметрв (2.9) в данном случае равен 2. Эти функции образуют ортонормированный базис.

Существуют строгие зависимости между . Вначале получим формулу, аналогичную (2.22). Перепишем (2.30) для частотной области:

, (2.32)

заменим бесконечным произведением (2.22) и получим

. (2.33)

Отметим, что пропорционально бесконечному произведению, а не, так же, как и в (2.30), вейвлетбыл выражен в виде линейной комбинации масштабирующих функций.

Теперь получим выражения, связывающие последовательности и. Так какесть ортогональное дополнение, функцииидолжны быть ортогональны, и из (2.18) и (2.30) следует, что

. (2.34)

Легко увидеть, что выбор

(2.35)

будет корректен для всех . Эквивалент (2.35) в частотной области представляется в виде

. (2.36)

С учетом этого из (2.32) получим

, (2.37)

где без потери общности выбрано .

Наконец отметим, что и функция и последовательностьимеют нулевое среднее. Этот факт легко проверить, подставляяв (2.37) и (2.36) и используя свойство:

(2.38)

и

. (2.39)

Определение функций вейвлетов позволяет нам записать любую функцию в виде суммы проекций на:

, (2.40)

где

. (2.41)

Если осуществлять анализ функции вплоть до некоторого масштаба , тобудет представлена суммой ее грубой аппроксимациии множества деталей:

(2.42)

В качестве примера семейства вейвлет-функций, образующих ортонормальный базис пространства , на рис.2.4 показан вейвлет, соответствующий масштабирующей функции рис.2.3. Это семейство вейвлетов называется вейвлетами Хаара.

0.5

0

-0.5

Из теории известно, что в случае ортогональных вейвлетов последовательности ине могут быть симметричными, если длина каждой из них превышает 2. Однако во многих приложениях свойство симметричности является важным. В этом случае отказываются от требования ортогональности и на вейвлет-функции налагают менее строгое требование биортогональности. Выражения для биортогонального кратномасштабного анализа аналогичны выписанным выше и здесь не приводятся.

3. Вейвлет-ряды дискретного времени

В большинстве приложений мы имеем дело с дискретными сигналами. Поэтому с точки зрения практики представляют интерес дискретные аналоги CTWT и CTWS, которые преобразуют дискретный сигнал в непрерывный и дискретный сигналы, соответственно. К сожалению, формулы для вейвлет-преобразования и рядов вейвлетов дискретного времени (DTWT и DTWS) нельзя получить простой дискретизацией соответствующих формул для непрерывного времени. Также невозможно определить кратномасштабный анализ для дискретных сигналов, так как не существует базисных функций, масштабированные и смещенные версии которых давали бы нам базис пространства , пространства квадратично суммируемых последовательностей бесконечной длины.

Попробуем вывести формулы для DTWS из формул кратномасштабного анализа раздела 2.2. В приложении 1 обобщены все формулы для вейвлет-преобразований и рядов. Там же даны для сравнения аналогичные формулы преобразования и рядов Фурье.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция . Наш дискретный сигналпредставим как последовательность коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым раскладывается:

, (2.43)

где . Другими словами, мы интерпретируем наш сигнал как последовательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции. Тогда мы можем вычислить аппроксимации этой функции, принадлежащие пространствам. Пространстване имеют значения при данной интерпретации.

Согласно концепции кратномасштабного анализа функция декомпозируется на две функциии:

. (2.44)

Таким образом, получили две новые последовательности и. Этот процесс может быть продолжен по, и функция(а также и последовательность) будет представлена совокупностью коэффициентов.

Итак, концепция DTWS определена. Однако вычисления пока зависят от непрерывных функций и. Поэтому покажем, как вычисленияDTWS могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами.

С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, из (2.20) можно получить

(2.45)

Так что оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов ибез непосредственного использования функцийи. По аналогии с (2.44) можно записать для произвольного

(2.46)

(2.47)

получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности иназываются фильтрами. Отметим, чтоиимеют «половинную» длину по сравнению с(хотя, конечно, на данном этапе все последовательности бесконечны). Таким образом, не вводится избыточности.

Обратный процесс заключается в получении изи:

(2.48)

Отметим, что в данном случае суммирование производится по другим переменным по сравнению с формулами (2.45) и (2.46). Длина последовательности вдвое больше длины последовательностиили.

Подставляя (2.45) и (2.46) в (2.47), получаем следующие ограничения на фильтры и:

, (2.49)

, (2.50)

. (2.51)

Выражение (2.48) для временной области эквивалентно выражениям (2.26) и (2.36) для частотной. Равенства (2.49) и (2.50) уже появлялись ранее, но в менее общей форме ((2.24) и (2.34), соответственно).