Синтез одноразрядного комбинационного вычитателя

Пусть имеется два числа:

A=a₁a₂ . . . a _i-1a _ia _i+1 . . . a_n,

B=b₁b₂ . . . b _i-1b_ib _i+1 . . . b_n.

В зависимости от значений аргументовa_i, b_i, z_i(заем изi-го разряда) формируется значение булевых функцийР_i, и З_i. Введем следующие обозначения.

a_i  x Р_i  Р , где Р_i – значение разности в разряде i

b_i  y З_i  З З_i – значение заема в разряд i

z_i  z - заем из i-го разряда

Таблица истинности, соответствующая устройству, выполняющему операцию вычитания, имеет следующий вид (табл. 25).

Таблица 25

	x	y	z	Р	З
	0	0	0	0	0	(Выполним склеивания 1 и 3, 2 и 3, 3 и 4 наборов)
	0	0	1	1	1	.
	0	1	0	1	1	.
	0	1	1	0	1	С.
	1	0	0	1	0	Как видно, функции разности Pи суммы С
	1	0	1	0	0	совпадают (функция С была получена ранее).
	1	1	0	0	0
	1	1	1	1	1

Объединенная схема одноразрядного комбинационного сумматора-вычитателя

Для системы булевых функций C,P, П и З, полученных выше, может быть построена логическая схема (рис. 34) на элементах И, ИЛИ и НЕ.

Триггер со счетным входом как полный одноразрядный сумматор

Триггером называется устройство, имеющее два устойчивых состояния и способное под действием входного сигнала скачком переходить из одного устойчивого состояния в другое. Триггер – это простейший цифровой автомат с памятью и способностью хранить 1 бит информации.

Триггер со счетным входом (Т-триггер) может быть рассмотрен как полный сумматор, работающий в три такта. В основе работы этого устройства лежит операция ”сумма по модулю 2”.

Первый такт.

1) τ(t-1)=0 – триггер находится в исходном состоянии.

2) Т=xпервое слагаемое подается на вход триггера

,

следовательно, после первого такта содержимое триггера будет соответствовать его входному сигналу.

Второй такт. Во втором такте на вход триггера подается второе слагаемоеy.

,

на выходе триггера формируется сумма по модулю 2 слагаемых xиy.

Третий такт. В третьем такте на вход триггера поступает значение, соответствующее третьему слагаемому –z.

.

Из полученной функции видно, что на выходе T-триггера получена полная сумма трех слагаемых и, следовательно, триггер со счетным входом является полным сумматором, работающим в три такта.

Введение в теорию конечных автоматов Основные понятия теории автоматов

Все рассмотренные выше устройства относятся к классу комбинационных схем, то есть дискретных устройств без памяти. Наряду с ними в цифровой технике широкое распространение получили последовательностные автоматы, или, иначе, комбинационные схемы, объединенные с элементами памяти.

Под термином автоматможно понимать некоторое реально существующее устройство, функционирующее на основании как сигналов о состоянии внешней среды, так и внутренних сигналов о состоянии самого автомата. В этом плане ЭВМ может быть рассмотрена как цифровой автомат. Под цифровым автоматом понимается устройство, предназначенное для преобразования цифровой информации. С другой стороны, под терминомавтоматможно понимать математическую модель некоторого устройства. Общая теория автоматов подразделяется на две части:абстрактнуюиструктурнуютеорию автоматов. Различие между ними состоит в том, что абстрактная теория абстрагируется от структуры как самого автомата, так и входных и выходных сигналов. В абстрактной теории анализируются переходы автомата под воздействием абстрактных входных слов и формируемые на этих переходах абстрактные выходные слова.

В структурной теории рассматривается структура как самого автомата, так и его входных и выходных сигналов, способы построения автоматов из элементарных автоматов, способы кодирования входных и выходных сигналов, состояний автомата.

В соответствии с этим принято различать две модели автоматов: структурную и абстрактную. Абстрактная модель применяется при теоретическом рассмотрении автоматов. Структурная модель служит для построения схемы автомата из логических элементов и триггеров и предназначена для выполнения функции управления.

Абстрактный автомат– это математическая модель цифрового автомата, задаваемая шестикомпонентным векторомS=(A,Z,W,,,a₁), где А={a_a,…,a_m} – множество внутренних состояний абстрактного автомата;Z=[z₁,…,z_k} иW={w₁,…,w_l} – соответственно множества входных и выходных абстрактных слов;- функция переходов;- функция выходов; a₁– начальное состояние автомата. Абстрактный автомат может быть представлен как устройство с одним входом и одним выходом (рис. 35), на которые подаются абстрактные входные слова и формируются абстрактные выходные слова.

Понятие состояние автоматаиспользуется для описания систем, выходы которых зависят не только от входных сигналов, но и от предыстории, то есть информации о том, что происходило с автоматом в предыдущий интервал времени. Состояние автомата позволяет устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы как функцию состояний и входных сигналов.

По виду функции выходов все множество автоматов можно подразделить на два класса: автоматы Мили и автоматы Мура.

Автоматами Мура,или автоматами первого типа, называют автоматы, для которых абстрактное выходное словоw(t) не зависит явно от входного словаz(t), а определяется только состоянием автомата в момент времениt. Закон функционирования автомата Мура может быть описан системой уравнений:

К автоматам второго типа, или автоматам Мили, относятся автоматы, поведение которых может быть описано системой уравнений:

Следовательно, в отличие от автомата Мура для автомата Мили выходной символ w(t) зависит не только от текущего состояния, но и от входного символа.

Между моделями автоматов Мили и Мура существует соответствие, позволяющее преобразовать закон функционирования одного из них в другой.

Совмещенная модель автомата (С-автомат).Абстрактный С-автомат – математическая модель дискретного устройства, определяемого векторомS=(A,Z,W,U,,₁,₂,a₁), где А,Z,и а₁ определены выше, аW={w₁,…,w_l} иU={u₁,…,u_l} – выходной абстрактный алфавит автомата Мили и Мура соответственно,₁и₂- функции выходов. Абстрактный С-автомат может быть представлен как устройство с одним входом, на который поступают слова из входного алфавитаZ, и двумя выходами (рис. 36), на которых формируются абстрактные выходные слова из выходных алфавитовWиU.

Отличие С-автомата от моделей автоматов Мили и Мура заключается в том, что он одновременно реализует две функции выходов ₁и₂, каждая из которых характерна для одной из двух моделей.

Автомат Sназываетсяконечным, если конечны множестваA,ZиW, идетерминированным, если, находясь в некотором состоянии, он не может перейти более чем в одно состояние под действием одного и того же входного символа. Если в автомате выделено начальное состояние а₁, то он называетсяинициальным. Состояние а_sназываетсяустойчивым,если для любогоz_kZ, такого что a_s=(a_m,z_k), a_s=(a_s,z_k), то есть если автомат из состояния a_m в перешел в состояние a_s под действием входного слова z_k , то выйти из этого состояния он может только под действием другого входного слова. АвтоматSявляетсяасинхронным,если каждое его состояние устойчиво, иначесинхронным. Автомат называетсяполностью определенным, если область определения функциисовпадает с множеством пар(a_m,z_k), а функции для автомата Мили − с множеством пар(a_m,z_k), Мура − с множеством a_m. Участичногоавтомата функциииопределены не для всех пар.