|
|
|
|
государственныйш |
Введение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
информатики |
и |
|
Лекция 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
с |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||
|
Белорусский |
|
|
ы |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теория вероятностей возникла в 17 веке в работах Паскаля, Гюйгенса и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
В |
т |
|
|
|
|
государственныйш |
к |
||||||||||
Хинчиныме, Колмогоровыме |
и др. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ферма. Первые задачи теории вероятностей возникли из карточных игр. В 18 |
||||||||||||||||||||||
веке в связи с развитием естествознания появились задачи обработки наблюдеи |
- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
й |
|||||
ний. В работах Муаврааи Лапласа были разработаны аналитические методы их |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решения. В 19-20 веках основные работы по теории вероятностей были прове- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дены русскими и советскими учеными: Чебышевым, Марковым, Ляпуновым, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
|
и |
|
|||
|
Современнаят |
теория вероятностей полностью основана на аксиомах Кол- |
||||||||||||||||||||
К |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
В |
|
т |
|
|
|
||||
могороваа . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
м |
|
|
|
|
Элементы комбинаторики |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В комбинаторных задачах необходимо подсчитать число подмножеств |
|||||||||||||||||||||
данного конечного множества, которые удовлетворяюте определенныме |
услови- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ям. Для комбинаторных задач справедливы следующие правилат |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Правило суммы. Если некоторый элемента А можно выбрать из данного |
|||||||||||||||||||||
множества m способами, а другой элемент BКможно выбрать n способами, то |
||||||||||||||||||||||
выбрать либо А, либо B можно m + n |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
способами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2. |
|
Правило произведения. Если некоторый элемент А можно выбрать m |
способами и после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n спосо- |
|||||||||||||||
|
|
Число перестановокгосударственныйиз |
шn элементов равно n! |
|
|
||||||||||
бами, то пару объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать m n спосо- |
|||||||||||||||
бами. |
|
информатики |
и |
|
й |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n элементов называется располо- |
||||
|
|
Перестановки. Перестановкой |
P |
из |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
жение этих элементов в определенномипорядке. |
|
|
|||||||||||||
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|
к |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Белорусский |
|
ы |
|
|
|
и |
Pn = n! |
государственныйш |
|
|
||||
|
|
университет |
В |
|
т |
|
|
|
- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
Действительно, первый элемент можно выбрать n способами, второйи |
|||||||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
й |
|
(n −1) - способом и т.д. Тогда согласно правилу произведения Pn = n! |
е |
||||||||||||||
|
|
Размещения. Любойа |
выбор m элементов, взятых в определенном порядке |
из n элементов, называется размещением из n элементов по m и обозначается |
||||||||||||||||||||
Am . |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
к |
||||||
|
|
м |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а |
а |
|
е |
|
Белорусский(n −m)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
университет |
|
ы |
|
и |
|||||||
|
|
|
Справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ф |
|
т |
|
Am = n(n −1)...(n −m +1) = |
|
n! |
|
. |
В |
|
т |
|
|||||
К |
|
|
Действительно, существует |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|||||
|
|
|
n способов выбора первого элемента, …, |
|||||||||||||||||
n − (n −1) способов выбора m-го |
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
искомую |
|||||||||
элемента. В результате получаемм |
||||||||||||||||||||
формулу. |
|
|
|
n элементов в |
ф |
е |
т |
е |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Сочетания. Любой выбор из |
|
m |
без учета порядка выбора |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m!(n − m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатикиP |
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
называется сочетанием из n элементов по m и обозначается Cnm . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Докажем, что |
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
е |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
n(n −1)...(n − m +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
и |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
университет |
|
|
В |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
An |
возможностей выбора m элементов из n. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В самом деле, существует |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
- |
||||||||||||
Так как порядок расположения выбранных m элементов в сочетаниях несущеи |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ственен, то существуетаm! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
|
й |
|||||||||||||||||||||
|
|
перестановок, которые нельзя отличить от первона- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чально выбранной перестановки. Поэтому C |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. Более общей является за- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ф |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||||||||||||||||
дача подсчета числа способов разбиения множества из |
|
n |
|
элементов на фикси- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рованное число |
|
k групп, причем число элементов в каждой группеытоже фик- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
элементов, |
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
|
||||||||||||||||||||
сировано. Пусть в i-ой группе содержится n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1, 2, ..., k; |
n1 + n2 ) +... + nk |
= n . |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Покажем, что существует |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nд |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C 1 |
C |
|
2 |
|
|
...C |
|
|
k −1 |
−...еn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n−n |
|
|
|
|
|
n−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1! n2!...nk ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
е |
|
1 |
|
|
k −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
E1 , E2 ,...Ek , содержа- |
||||||||||||||||||||||
различных разбиений множества |
E |
на |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k подмножествф |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щих n1 , n2 ,...nk |
|
элементов соответственно. |
К |
м |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
элементов. Это можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Действительно, сначала образуем группу из |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сделать |
|
C n1 |
способами. Из оставшихся |
n − n |
|
|
|
элементов образуем группу из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n2 |
элементов. Это можно сделать Cnn−2n |
|
способами. |
|
|
Процесс продолжается до |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
тех пор, пока не выбраны всеимножества. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример. Курс охватывает 10 разделов теории вероятностей и 8 разделов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
других дисциплин. Экзаменационныйе |
билет состоит из 5 вопросов: три – по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теории вероятностей и два по другим дисциплинам. Сколькими способами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
билеты? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
можно составить экзаменационныес |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
= 3360 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числоБелорусскийвозможных экзаменационных билетов C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
университет |
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
■ Три вопроса по теории вероятностей из десяти разделов можно выбрать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||
|
способами, а два вопроса из 8 других разделов |
|
|
|
|
|
способами. Искомое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
а |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
информатики |
|
|
|
й |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|||||||||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Случайные события и их классификация |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
ы |
|
|
и |
|
|||||||||||||||||||
|
|
ф |
е |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
В |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пространство элементарных событий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
понятий, |
|||||||
случайных явлений. В ее основе лежит определение ряда основныха |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
таких как «событие», «случайная величина», «вероятность», а также исходная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
система аксиом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
д |
|
епонимать осуществ- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Под опытом, экспериментом, или испытанием будем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
результат нельзя точно предсказать до его осуществления завершения. Напри- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
м |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
если в результатегосударственныйопыта оно можетш кпроизойти, а может и не произойти. Собы- |
|||
|
и |
|
|
мер, пусть опыт заключается в подбрасывании монеты. Результат его - выпаде- |
|||
информатики |
|
й |
|
|
|
е |
|
ние герба (Г) или решки (Р) – нельзя предсказать заранее. Всякий результат |
|||
опыта или наблюдения называется событиеми |
. Событие называется случайным, |
|
радиоэлектроники |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||||||
условияхБелорусскийданного опыта не может произойти. Например, невозможно поразить |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях дан- |
|||||||||||||||||
|
университет |
|
|
одной годной детали из партии n годных дета- |
|||||||||||||
ного опыта. Например, выборы |
|||||||||||||||||
можно разложить на более простые, называются элементарнымигосударственный. Все остальш |
- |
||||||||||||||||
лей есть событие достоверноеВ т . Невозможным называется событие, которое в |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
ные события называются составными или разложимыми. Множествоинформатикивсех эле- |
|||||||||||||||||
одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах. |
|
|
|
|
|
|
й |
||||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
|
и составные события. События, которые невоз- |
|||||||||
|
Различают элементарныем |
||||||||||||||||
|
|
е |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
к |
|
событие А произошло, если исход опыта ω принадлежитрадиоэлектроникиА. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
ф |
|
т |
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
и |
|
||
подмножество А пространства |
Ω элементарных событийуниверситет. Будем говорить, что |
||||||||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
ментарных событий в условиях данного эксперимента называется пространсты |
|||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
событий и обозначается |
Ω , а сами элементарныеВ |
тсобытия |
||||||||||
вом элементарныха |
|||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
точками ω |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
(исходы опыта) – |
|
этого пространства. Событием является любое |
|||||||||||||||
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
е |
м |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Бросается монета до выпадения герба |
д(Г). Элементарными со- |
|||||||||||||||
бытиями при этом являются следующие: Г, |
РГ, РРГ, |
РРРГ, …, т.е. простран- |
|||||||||||||||
ство Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
элементарных событий в данном случаефсостоит из бесконечного, но |
|||||||||||||||||
счетного множества элементарных событий. |
К |
а |
а |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
События |
А и В называются несовместными, если появление одного из |
|||||||||||||||
них исключает появление другого события в условияхм |
одного и того же опыта. |
Например, пусть из урны в которой находятся белые, голубые и красные шары,
извлекается один шар. Тогда извлечение красного шара исключает появление |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Говорят, чтогосударственныйнесколько событийк |
в условиях данного опыта образуют пол- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
голубого или белого. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Событие |
|
информатики |
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A , которое обязательно произойдет, если не произойдет собы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тие А, называется противоположным событию А. Например, выигрыш и проиг- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рыш в лотерее – противоположные события. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ω есть событие. Невозможное событие не имеет |
||||||||||||||||||||||||||||
всякоеБелорусскиймножество А точек из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
университет |
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
||||||||||||||
одно из них. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
й |
||||||
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Алгебра событийВ. Пусть Ω - пространство элементарных событий. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
точек в Ω |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
Ø. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||
|
|
и обозначается |
|
Достоверное событие будем обозначатьΩ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А событие A |
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|
|||||||||||||
Противоположное событиюм |
состоит из точек |
ω Ω не принадк- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
е= Ω \ A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
|
и |
|||||||||
|
|
|
е |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
лежащих А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ф |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
||||
|
Говорят, что событие А влечет событие В и пишут A B , если А - под- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
В называются эквивалентными, если A B и |
|||||||||||||||||||||
множество В. События А |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
В этом случае пишут A = B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
B A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Суммой или объединением |
событий |
А и |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
В называется событие A U B , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
состоящее из всех исходов, составляющих |
А и |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
В несо- |
||||||||||||||||||||||
В. Если события А и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вместны, их сумма обозначается A + B . |
|
|
|
ф |
е |
|
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пересечением или произведением двух событий |
А и В называется со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
бытие |
A ∩ B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
состоящее из всех исходов, принадлежащих одновременно и А |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
м |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и В . Часто пересечение событий А и В обозначается АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Событие состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
А и В и обозначается A \ B . |
|
|
|
|
|||||||||||||
происходит называется разностью |
событийи |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Введенныегосударственныйоперации надшсобытиямик |
|
подчинены правилам операций над |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
множествами. |
|
информатики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ы |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Белорусский |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
т |
Вероятность события |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Для количественного сравнения событий по степени возможности их по-й |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
мера, которая называется вероятностью |
|
е |
|||||||||||||||||||||||||||
явления вводится определеннаям |
собы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйсобытий, их комбиш |
- |
|||||||||
тия. Цель теории вероятностей – вычисление вероятностей |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
к |
|||
наций и изучение свойств вероятностей. Математическая модельинформатикиопыта вклю- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ф |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||
чает: 1) описание возможных исходов; 2) описание событий; определениеы |
веро- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
|
||
ятностейанаступления этих событий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
К |
|
Если пространство |
элементарных |
событий состоит |
из конечного или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|||||
счетного числа элементарных событий, оно называетсяуниверситетдискретным. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим дискретное пространство Ω = |
{ωрадиоэлектроники} событий. Каждому эле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
д |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
ментарному |
событию |
|
|
|
поставим в |
соответствие |
|
|
|
|
|
|
|
число |
|||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
неотрицательное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p(ωi ) , такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
е |
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
p(ω |
) =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
К |
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где суммирование по i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
распространяется на все элементарные события из Ω . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Число p(ωi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
называется вероятностью элементарного события ωi . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Если A Ω - произвольное событие, то вероятностью события А назы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вается число P(A) = ∑ p(ωi ) , |
где суммирование по i |
распространяется на все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементарные исходы ωi |
, составляющие событие А. Вероятность события об- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ладает следующими свойствами.е |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1. |
|
Для любого события А 0 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
≤ P(A) ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
к |
события Ø |
равна нулю, а вероятность дос- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. Вероятностьинформатикиневозможногос |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
товерного события Ω |
и- единице, т.е. P( Ø) = 0, P(Ω) =1. Эти свойства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
следуют из определенияВ т |
вероятности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Белорусский3. Для любых событий А и В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|||||||||||||||||||
|
|
университет |
|
а |
|
|
|
|
|
A B P(A) ≤ P(B) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
■ Событие Вмвключает все элементарные события ωi , |
составляющие кА |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
|
|
|||||||
и, возможное , элементарныее |
|
события, не входящие в А. В силу неотрицательно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сти вероятности и следует неравенство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
ы |
|
|
и |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а |
ф |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4. |
|
Если А и В несовместны, т.е. |
|
A I B = Ø, то P( A + B) = P(A) |
+ P(B) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
К |
|
■ Событие A + B состоит из элементарных исходовуниверситетωi |
ωs |
из В, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
из А и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
причемм |
общих исходов А и В не имеют. Следовательнорадиоэлектроники, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A + B) = ∑P(ωi ) + ∑P(ωs ) = |
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дP(A) + P(B) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
s |
|
ф |
е |
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. P( |
|
) =1 − P(A) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
■ Действительно, |
A + A = Ω |
|
P(Ω) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для произвольных событий А и В имеет место |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( A U B) = P(A) + P(B) − P(A I B) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||||||
|
|
Действительно, в сумму P(A) + P(B) дважды включены вероятности |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
А и В, поэтому из этой суммы нужно вы- |
||||||||||||||||||
элементарных событий, общихидля |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|||||||||
честь вероятность P(A I B) общих элементарных событий. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
й |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
е |
д |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ф |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
|
и |
||||||
К |
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
В |
|
т |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
д |
е |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
|
и |
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
университет |
|
В |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
й |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
м |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ф |
е |
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
В |
ы |
|
|
и |
|
|||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
д |
е |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|