государственныйш

информатики

и

Лекция 8

й

и

е

к

Числовые характеристики скалярных случайных величин

радиоэлектроники

с

M (x) =

∑xi

pi = mx ,

е

среднимБелорусскийзначением

с.в.

X называется число

университет

ы

∞

x1

,

x2 , .... с вероят-

Пусть X – дискретная си.в., принимающая значения

1

2

В

т

государственный∞

ш

ностями

p , p

, ....

соответственно.

Математическим

ожиданием

(м.о.)

или

а

и

в предложении, что этот ряд сходится абсолютно. Если же рядинформатикиx p расхо-

м

й

е

д

е

i=1

к

радиоэлектроники

с

ф

т

Белорусский

∑ i

1

а

университет

i=1

ы

и

определяется интегралом

В

т

К

а

дится, то говорят, что с.в. X не имеет конечного м.о.

f (x) ,

Если X

- непрерывная с.в. с плотностью вероятностей

то ее м.о.

м

а

∞

д

м

M (x) = ∫xf (x) dx ,

е

е

−∞

ф

т

при условии, что он сходится абсолютно.

а

Если

Y =ϕ(x)

аргумента,

то

очевидно

- функция случайного

∞

К

а

M ( y) = ∑ϕ(xi ) Pi -

для дискретной случайной величины X.

i=1

м

∞

ϕ(x)

f (x) dx для непрерывной с.в. X.

M ( y) = ∫

государственныйx

ш

−∞

Выясним основные свойстваи

математического ожидания.

1.

информатики

й

равно с.

М.о. постоянной неслучайной величины с

■ M (c) = c 1 = c .

е

и

2.

M (x + c) = m + c .

с

к

радиоэлектроники

Белорусский

∞

ы

и

∞

∞

государственный

м

−∞

университет

∫

∫

∫

x

■ M (x + c) =

(x + c) f (x)

dx

=

xf

(x) dx + c

f (x) dx = m

+ c .

−∞

В

т

−∞

−∞

информатики

и

й

д

3. M (cx) = cM

(x) .

∞

а

ш

е

■ M (cx) = ∫c x f (x) dx = c mx .

радиоэлектроники

с

к

м

а

4.

е

е

и

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их

ф

т

университет

ы

математических ожиданий:

В

К

а

M (x + y) = M (x) + M ( y) .

т

Докажем для дискретных случайных величин. Пусть x1

, x2 ,а....xn ,...

воз-

м

можные значения величины

x,

а

p1 , p2 , ....pn ,... вероятности этих значений;

y1 ,

y2 , ....yk ,...

возможные значения величины Y и

′

′

′

вероятно-

p1 ,дp2

, ....pk ,... -

сти этих значений. Обозначим через

Pnk

е

е

x

примет зна-

вероятность того, что

чение xn , а Y значение Yk .

а

ф

т

К

м

а

и

и

государственныйш

′

∞

∞

и

∞

∞

∞

∞

информатики

n=1

йk nk

n=1

n

∑

nk

∑ k

∑

nk

M ( X +Y ) =

∑∑

(x

n

=

∑

X

+

.

+ y )P

P

Y

P

n=1k =1

∞

е

и

n=1

k =1

k =1 n=1

с

P к= P

∞

P

= P .

радиоэлектроники

M

(x + y) = M (x)

+ M ( y) .

е

Белорусский

∑

nk

n

∑

nk

k

n=1

и

k =1

университет

ы

Тогда

В

государственныйш к

этих с.в.

е

е

∞

т

∞

∑X n Pn = M (x) /

∑Yk Pk′ = M (Y ) .

и

а

информатики

й

м

5.

д

и Y

равно произведению м.о.

М.о. произведения независимых с.в. X

радиоэлектроники

с

ф

т

Белорусский

ы

и

M ( XY ) = M (x) M ( y) .

а

университет

В

т

К

а■ Так как X и Y независимы,

f (x, y) = f x (x) f ( y) .

м

∞

∞

∞

M (xy) = ∫

∫xyf (x, y) dx dy = ∫ yf y ( y)dy = M (x) M ( yа) .

6. Пусть

−∞ −∞

−∞

д

f (x, y) совместная плотность вероятностей с.в. Xми Y. Тогда

е

е

∞ ∞

∞

∞

mx = ∫ ∫x f (x, y) dx dy;

ф

my =

∫ ∫

y f (x, y) dy .

−∞ −∞

а

−∞ −∞

т

Эти свойства вытекают из равенств

К

а

∞

м

∞

f

x

(x) =

∫

f (x, y) dy,

f

y

=

∫

f (x, y) dx .

( y)

−∞

−∞

и

Для дискретных с.в. двойные интегралы заменяются двойными суммами:

mx

∞ ∞

∞

∞

=

∑∑xi pi j ;

my = ∑∑ y j pij .

и

i=1 j=1

i=1 j=1

Пример.

Найти м.о. суммы йочков, которые могут выпасть при бросании

двух игральных костей.

е

и

■ Пусть Xгосударственныйи Y - числошвыпавших очков на первой и второй кости соот-

с

к

информатики

X и Y принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6

с одина-

ветственно. Дискретные с.в.

ы1

и

ковой вероятностью p =

. Тогда

и

Белорусский

В

6

т

й

а1

1

е

университетM (x + y) = 6 (1+

2 +3 + 4 +5 + 6) +

6 (1 + 2 +3 + 4 +5 + 6) = 7 .

радиоэлектроники

государственныйш

м

к

Дисперсия.

с

М.о. характеризует среднее значение с.в..

д

с.в.

информатики

Отклонениеме е

X от своего математического ожидания (среднего зна-

чения) называетсят

с.в. X ° =

X − M (x) . Часто величина X °

ы

и

называется центри-

ф

с.в. Дисперсией или рассеянием D(x)

В

т

рованнойа

с.в. X называется м.о. квадрата

К

а

Белорусский

а

x

от ее м.о.

университет

отклонения с.в.

м

2

2

∞

радиоэлектроники

D(x) = M (x°)

= M ( X − M (x))

=

∫

(x − m )

f (x) dx,

е

дx

е

−∞

σ

если этот интеграл существует. Средним квадратическим отклонением

x

с.в.

а

ф

т

К

а

м

и

государственныйш

и

дисперсии имеем

Из свойствинформатиким.о. и определенияс

x

называется

σ x

=

й

D(x) =σ x2 . Для дискретной случайной ве-

D(x) , так что

личины

n

(xi

− mx

2

pi

=

е2

и

D(x) = ∑

)

σ x .

i=1

к

радиоэлектроники

е

Белорусский

и

университет

2

2

2

2

2

D( X ) =

ыM ( X − M (x))

= M ( X

− 2M (x)x

+ M (x

)) =

е2

В

2

т

2

2

государственный

к

= M (x

2

)

(x) = M (x

) − M

2

(x) .

−

2M (x)M (x) + M

и

а

D(xе) = ∑xi

pi

∞

-

для дискретной с.в.

информатикис

й

− mx

Итак,

D(x) =

∫x f (x) dx − mx

- для непрерывной с.в.

и

д∞

м−∞

ш

радиоэлектроникиp =1− p .

■1M (x) = x p + x p

= 0,2x + 0,8x

= 3,8,

т.к.

ф

т

Белорусский

ы

и

p(x м= x ) =

0,2,

M (x) = 3,8,

D(x) = 0,16 .

университет

а

i

=1

В

т

аПример.

Дискретная с.в. может принимать два значения x

= x1

и x = x2 ,

xК< x .

Найти

закон

распределения

с.в.

x,

если

1

2

а

1

1

2

2

1

2

2

д2

1

м

2

2

2

2

2

е

2

2

D(x) = M (x

)

− M

(x)

= x

p

+ x

2

p

2

−(3,8)

= 0,2x

+ 0,8x

2

−3,8

= 0,16 .

1

1

ф

1

е

x1 + 4x2

=19

x

=

3

т

а

x2

+ 4x2

= 73

1

а

1

2

x

= 4.

x < x

К2

м

1

2

Искомый закон распределения имеет вид

x

3

4

1. D(C) =государственный0, где С - постояннаяш к

.

информатики

и

p

0,2

0,8

й

е

и

Установим свойства дисперсии.

радиоэлектроники

с

− M (CX )

= C M ( X ) −C M ( X ) =

Белорусский■ D(CX )

= M (CXа)

ы

и

государственныйш

■

D(C)

= M (C 2 ) − M 2 (C) = C 2

−C 2 = 0 .

университет

В

и

2. D(CX ) = C 2 D( X )т.

3.

Дисперсияд

суммы или разности независимых с.в.

Xинформатикии Y равнассумме

2

2

2

2

2

2

е

й

и

м

2 ( X )) = C

2 D( X ).

к

= C 2 (M ( X

2 ) − M

м= M ( X 2 ) + 2M ( X ) M (Y ) + M (Y 2 ) − M 2 ( X ) − 2радиоэлектроникиM ( X )M (Y ) − M 2 (Y ) =

а

е

Белорусский

е

университет

ы

и

дисперсий этих величин:

D(( X ±Y ) = D( X ) + D(Y ) .

т

то M ( XY ) = M ( X ) M (YВ) .

т

а

■фТак как X и Y независимых с.в.,

К

D( X +Y ) = M ( X +Y )

2

− M

2

( X

+Y ) = M ( X

2

+ 2XY

+Y

2

) −(Mа( X ) + M (Y ))

2

=

2

2

2

2

е

д

е

м

=

(M ( X

) − M

( X ))

+

(M (Y

) − M

(Y )) = D( X )

+ D(Y ) .

ф

= Dт( X ) + D(Y ) .

D( X _ Y ) = D( X ) + D(−Y ) = D( X ) + (−1)2 D(Y )

К

а

а

м

пределения с.в.

государственныймаксимальнаяш.

к

Мода и медиана с.в.

и

Модой дискретной с.в. называется ее наиболее веро-

информатики

й

е

ятное значение, т.е. значение, вероятность которого наибольшая. Модой непре-

рывной с.в. называется ее значение, прии

котором плотность вероятностей рас-

с

решениерадиоэлектроникиуравнения F(x) = 0,5. Медиана может быть не единственной. За мее-

Белорусский

ы

и

X через M o (x) .

Будем обозначать моду с.в.

то Me(x)

есть любое

Еслиуниверситетизвестна функция распределения F(x) с.в. x,

Медианой с.в.

В

т

для которого

называется такое ее значение Me(x)

диану принимают любую точку, для которой

государственныйш

P(x

≤ Me(x)

≥ 0,5;

P(x

≥ Me(x)) ≥ 0,5.

и

м

а

F(Me(x) + 0) ≥ 0,5 .

информатикис

й

F(Me(x)) ≤ 0,5.

е

д

е

радиоэлектроники

к

Аналогично медиану

Me

прямая

можно истолковать Белорусскийкак точку

в которой

а

ф

т

университет

и

Если с.в.

x является непрерывной, то геометрически мода Mыявляется

К

а

o

т

абсциссой той точки кривой распределения, ордината которойВмаксимальна.

м

а

x = Me(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распреде-

ления.

д

м

Найти моду и медиану дискретной с.ве., распределеннойе

Пример.

по зако-

ну

ф

т

x

10

20

30

а40

а

К

p

0,2

0,15

0,25

м0,4

■ Из таблицы видно, что наибольшую вероятность имеет значение x = 40,

т.е. M

(x) = 40

государственныйш

p(x ≤ 30) = 0,6 ≥ 0,5

o

и

Пусть X −

1.

Биномиальныйинформатикизаконс распределения P (m) = C m pm qn−m .

p(x ≥ 30)

й

≥ 0,5. Me(x) _ = 30 .

= 0,65

и

Математическое ожиданиееи дисперсия основных законов

распределения с.в.

к

государственныйш

Тогдарадиоэлектроникиm = M (S ) = M (x ) + M (x ) +... + M (x ) = n.p.

Белорусский

и

n

n

j

равно

университетS = x + x

+... + x .

С.в.

X j

е

число

успехов

в

j

-м

ыиспытании Бернулли.

имеет распределение

В

т

информатики

и

й

д

P( X j

= 0) = q =1− p,

P( X j =1) = p

.

Количество успехов при n

испытаниях

n

1

2

а

м n

n

к

м

x

1

2

радиоэлектроники

с

а

е

Белорусский

е

X , для которой M ( X ) = P .

ы

и

Найдем дисперсию с.в.

Необходимые дан-

ф

т

университет

В

т

ные сведем в таблицу

а

К

X j

0

1

а

Pj

q

p

м

X j − 4( X j )

0 - P= P

д

1 - P=q

( X j − M ( X j ))

2

p2

ф

е

т

е

q2

К

а

а

м

и

и

Итак, длягосударственныйбиномиальногошраспределения P (m) = C m pm qn−m имеет место

информатики

и

й

+ q) = pq.

D( X j ) = p2 q

+ q2 p = pq( p

и

D( X ) = Dе(x1 ) + D(x2 )

+... + D(xn ) = n p q .

радиоэлектроники

с

к

n

n

Pm = P( X = m) = λ

e−λ ,

m = 0,1, 2,... ,

и

е

Белорусский

ы

и

D(x) = n p q .

университет

В

т

M

(x) = n p,

m!

m

2. Найдем м.о. и дисперсию закона распределения Пуассона:

а

государственныйш

м

m=0

m!

m=1(m −1)!

информатикис

й

где λ - параметр распределения.

д

∞

λm

−λ

−λ

∞

λm−1

−λ

λ

е

еM (x) = ∑m e

=

λe

∑

= λe

e

= λ.

к

∞

D(x)

= M (x ) − M

∞

m

e

∞

радиоэлектроники

e

+

(x)

=

−

λБелорусский=

λ

и

а

ф

т

2

университетm!

ы

m!

Далее, с учетом равенства

m = m(m −1) + m получаем

В

К

м

а

∞

λm

∞ m(m −1)

т

2

2

2

−λ

2

а

∑

∑

m=0

m=0

м

λ

m

e−λ

−λ2 = λ2 e−λ

λ

m−2

+ λe−λ

λ

m−1

+

∑

m

∑

∑

− λ2

= λ2

+ λ −λ2 = λ .

m=0

m!

m=2

(m

− 2)!

m=1

(m −

1)!

е

ф

е

Итак,

выяснен

смысл

параметра

λ

распределеният

Пуассона:

M (x) = D(x) = λ.

а

а

3.

Для равномерного распределения с.вК. x

с плотностью вероятностей

1

м

f (x) =

,

a ≤ x ≤ b

b − a

0, x < a, x > b.

2

12

государственныйш

к

∫a b − a

и

∞

b

x dx

a +b

M

(x)

=

∫x f

(x) dx = ∫

=

.

информатики

−∞

й

a b

− a

2

2

е

b

2

dx

a

+b

2

(b − a)

2

2

иx

D(x) = M

(x

) − M

(x) =

−

=

.

радиоэлектроники

с

−( x−m)2

й

Белорусский

ы

государственныйш

университет

f (x)

=

σ

2π

e

.

с.в.

x с плотностью веро-

4.

Для нормального распределенияи

N (m, σ 2 )

ятностей.

В

т

и

д

а

1

1

xинформатики− m

е

2σ

м

2

2

с

к

м

∞

∞

радиоэлектроники

а а

(

еx) =

∞

−

2

∞

−

Белорусскийt

∞

−t

и

К

е M

∫ x f (x) dx

=

d t =

∫x e−( x−m) / 2τ

dx

=

∫t e

= t =

ф

=

∫(m +σt) e

2

∫e

университетd t +

d t .

т

−∞

σ

2π −∞

σ

В

ы

t

2

2

1

m

σ

2а

2

м

2π

−∞

2π

2π

−∞

−∞

∞

− 2

д е

t

2

е

∫e

d t = 2π

(интеграл Пуассона).

ф

т

−∞

а

а

К

м

и

и

государственный

к

1

x − m

t2

∫

информатики

и

й

∫

∞

−

2

∫t e

е

d t . Главное значение этого интеграла равно нулю. M (x) = m .

−∞

ш

и

2

2

∞

∞

радиоэлектроники

(x − m)2e−( x−m) / 2σ dx =

е

=

D(x)

=

(x − M (x))2

сf (x) dx =

σ

= t

Белорусский

σ

а

−

2

− 2

σ

− 2

2

−∞

ы

и

τ

2π

−∞

σ

университет= −

∫

td e

= −

t e

+

∫e

d t =σ

.

й

Итак, смысл параметров m

и

σ нормального распределениягосударственныйN (mш, σ

)

В

т

2

2

2

с.в. x следующийт

2 ∞

t

2

t

∞

2 ∞

t

и

m = M (x),

σ 2

= D(x) .

информатики

м

д

2π −∞

2π

−∞

2π −∞

е

е

радиоэлектроники

с

2

к

роятностей

−λx

∞

∞

f (x) =

Белорусский

а

и

ф

λ e

, x > 0, λ > 0.

университет

ы

а5.

а

В

т

К

м

0,

x < 0

м

1

M (x) = ∫

x f (x) dx = ∫

x e−λx dx

д=

.

−∞

−∞

е

λ

е

2

2

∞

2

ф−λx

т1

1

D(x) = M (x

)

− M

(x)

= λ∫x

e dx −

=

.

λ2

λ2

0

а

а

К

м

и

государственныйш

информатики

и

й

е

и

радиоэлектроники

с

к

Белорусский

ы

и

государственныйш

университет

В

т

д

а

информатики

и

й

е

и

м

к

радиоэлектроники

с

м

а

ф

е

т

е

университет

В

ы

и

а

т

К

а

е

д

е

м

ф

т

а

К

а

м