тэц

Достаточно сформировать функцию входного сопротивления Zвх2 (p ) по найденной на этапе аппроксимации функции T ( p) и реализовать только вторую (правую) половину фильтра. Левая

часть достраивается, исходя из условия антиметрии. Порядок реализации:

1. По полученным корням полинома Гурвица определим:

M( p)+ jN (p ) = ( p − p1 )( p − p3 )…(p − p2k −1 ), или M ( p)− jN ( p) = ( p − p2 )( p − p4 )…(p − p2 k ).

2.Составим функцию Zвх2 (p ):

Zвх2 (p) = M (( p)) .

N p

3.Разложим полученную функцию в цепную дробь по Кауэру и построим схему правой части.

4.Достроим левую часть фильтра, исходя из условия антиметрии:

Zвх2 (p ) =Yвых1 (p).

Можно получить дуальную схему фильтра, используя соотношение:

Zвх2 (p) = N ((p )) .

M p

Необходимо выбрать более экономичную схему (с меньшим числом индуктивностей). Аппроксимация частотных характеристик дробями Золотарёва-Кауэра.

Когда требуется увеличить скорость нарастания ослабления в переходной области, фильтры

Баттерворта и Чебышёва использовать нецелесообразно, поскольку при их реализации

увеличивается число элементов.

В этих случаях используют фильтры, ослабление которых описывается:

Ap (Ω) =10 lg	1		a Ω2n + a Ω2n−2		+…+ a	n
		0		1
		=10 lg					.
	Hp2 (Ω)		(Ω∞2 1 −Ω2 )2	(Ω∞2 2 −Ω2 )2 …(Ω∞2 m −Ω2 )2

В качестве примера приведем схему ФНЧ Золотарёва-Кауэра пятого порядка:

L2

L4

C2

C4

C1

C3

C5

Представим график частотной зависимости рабочего ослабления:

	Ap
Amin
A
0	Ω	Ω	Ω∞4	Ω
		3	Ω
	2		∞2

Активные RC – фильтры

Элементной базой ARC-фильтров являются: резисторы, конденсаторы и активные элементы. Активные элементы: ИНУН, ИТУТ, ИНУТ, ИТУН, операционные усилители ОУ.

Синтез ARC-фильтров проводят по их передаточной функции, записанной в операторной

форме: H (p ) = U2 (( p)) ,

U1 p

где U2 (p) и U1 (p) – соответственно выходное и входное операторные напряжения.

Передаточные функции фильтров имеют вид дробно-рациональной функции комплексного

переменного p: H (p ) = W ((p)) ,

V p

где W (p ) – чётный или нечётный полином; V (p) – полином Гурвица.

ARC-фильтры на базе ИНУН и ОУ Уравнения, определяющие ИНУН:

U2 = kU1 ;

k

¹ ¥ ; I1 = 0 , Z вх = ¥ , Z вых

= 0 .

k > 0 – неинвертирующий усилитель, k < 0 –

инвертирующий.

+

±k

+

+

+

U1

U2

U2

U1

±kU1

-

-

-

-

Уравнения, определяющие ОУ:

U2 = mU1 ; μ = ∞ ; Z вх = ¥ ; Z вых = 0 .

Условное обозначение операционного усилителя (ОУ):

+					+				+					+
			+
													±m(U’ -U’’ )
								U2		1				1		U2
U’			U’’						U’	U’’
1			1						1	1
-			-						-					-

ARC фильтры второго порядка Рассмотрим схему активного ФНЧ второго порядка на базе ИНУН.

C1

R1

R2 a

k

U1( p)

b

U2( p)

C2

1

+ pC2

-

1

= 0 ,

1

+

1

+ pC1

-

1

= U1

1

+U2 pC1

Va

Vb

Vb

Va

R2

R1

R2

R1

R2

R2

Коэффициент усиления определяется как: k = U2 ((p)) .

Va p

Операторное выражение для передаточной функции:

H (p ) =	U	2	(p )	=								k						.
	U		(p)		R R C C				p2	+ (R C + R C				+ R C
													2		2	- kR C ) p +1
		1			1	2	1	2		1	1	2		1		1	1

Введём обозначения:

b0

= 1,

b1 = R1C1 + R2C2 + R1C2 - kR1C1 , b2

= R1R2C1C2 , тогда:

H ( p) =

1

.

b p

2 + b p + b

2

1

0

Основные характеристики ARC ФНЧ второго порядка:

b0b2

Q =

–

добротность полюса; w =

b0

–

частота полюса (резонансная).

b1

0

b2

dW

Классическая чувствительность: SxW ( p, x) =

x

×

dW

, где

W

=

dx

W ( p )

dx

x

W ( p, x) – функция цепи (добротность полюса, частота полюса),

x –

параметр, влияющий на функцию цепи (ёмкость, сопротивление, коэффициент усиления).

Например, определим чувствительность частоты полюса при изменении параметра R1

и k.

ω

R

d

1

1

ω

k

d

1

SR 0

=

1

×

= -

, Sk 0 =

×

= 0 .

1

w

dR

R R C C

2

w

dk

R R C C

0

1

0

1 2 1 2

1 2 1 2

Рассмотрим схему активного ФВЧ второго порядка на базе ИНУН.

G1

+

C1

C2

a

k

+

b

G2

U2( p)

U ( p)

1

-

-

(G2 + pC2 )Va ( p ) - pC2Vb ( p) = 0 , (G1 + pC1

+ pC2 )Vb ( p) - pC2Va ( p ) = U1 ( p) pC1 +U2 ( p)G1 .

U

( p)

Определим операторную передаточную функцию с учётом того, что k =

2

:

V

( p)

a

H ( p )

U2

( p )

kp

=

=

.

U1

( p)

p2 + (G1C1−1 + G2C2−1 + G2C1−1 - kG1C1−1 ) p + G1G2C1−1C2−1

Введём обозначения:

c = k , a = G G C −1C −1 ,

a = G C

−1

+ G C −1

+ G C −1

- kG C−1

,

a =1, тогда H ( p) =

c1 p

.

a

p2

+ a p + a

1

0

1 2 1

2

1

1 1

2 2

2 1

1 1

2

2

0

1

Резонаторные фильтры (пьезоэлектрические, магнитострикционные, электромеханические). Резонаторные фильтры в отличие от LC-фильтров имеют очень высокую добротность,

избирательность.

В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет пластинка из материала, обладающего пьезоэлектрическим эффектом (кристалл кварца). Пьезоэффект кварцевой пластинки заключается в появлении на её поверхности зарядов при механическом воздействии. Обратный пьезоэффект – возникновение механических колебаний пластинки при помещении её в переменное электрическое поле.

При совпадении частоты механических колебаний и частоты переменного напряжения возникает резонанс, амплитуда тока достигает максимального значения.

Механический резонанс в кварцевой пластинке подобен резонансу напряжений в последовательном колебательном контуре.

L C

Q=10000...20000

Ck

Ck – ёмкость кварцедержателя.

Магнитострикционные фильтры строятся на основе резонаторов из ферромагнитного материала, обладающего магнитострикционным эффектом (сплав никеля с кобальтом). Магнитострикционный эффект состоит в том, что стержень из ферромагнетика, помещенный в переменное магнитное поле, изменяет свои геометрические размеры. Обратный эффект – изменение магнитной проницаемости стержня при механическом воздействии на него.

Механический резонанс магнитострикционного стержня подобен резонансу токов в параллельном колебательном контуре.

L0 L

Q=5000...10000

C

Пьезоэлектрические и магнитострикционные фильтры строятся по мостовой схеме.

В электромеханических фильтрах резонаторами являются металлические тела (диски, пластинки, стержни), соединенные металлическими связками. Представим трехрезонаторный стержневой электромеханический фильтр.

					Стержни
	МСП1								МСП2
	NS				Связки				SN
	вход					выход

Колебания возбуждаются с помощью МСП1; снимаются колебания с выхода с помощью МСП2. Имитационные фильтры

В фильтрах данного типа имитируется индуктивность с помощью гиратора – необратимого четырёхполюсника, описываемого уравнениями:

U 1 = I 2 RГ , I1 =U 2GГ .

Матрица A-параметров:
0	RГ		, GГ	=	1	.
	0
GГ					RГ

I1

I2

U2

I1

I2

U1

L

U1

U2

С

Гиратор

Входное сопротивление:

(p )

(p)RГ

Z (p )=

U1

= pL =

I2

= R2 pC .

I1

(p )

вх

U2

(p )GГ

Г

Отсюда видно, что L = RГ2C .

Использование гираторов с большим значением RГ позволяет из небольших ёмкостей моделировать большие значения индуктивности. Важным свойством гиратора является то, что он не потребляет энергию цепи, то есть ведет себя как пассивный элемент без потерь.

Анализируя схемы реактивных фильтров, видно, что встречаются индуктивности двух типов:

1.«заземлённая» индуктивность – один из её выводов подключен к общему зажиму.

2.«незаземлённая» индуктивность – ни один из её выводов не подключен к общему проводнику.

По предыдущей схеме видно, что более просто имитируется «заземлённая» индуктивность. Для имитации «незаземлённой» индуктивности используется цепь с двумя гираторами.

L

U1

U2

U1

С

U2

Гиратор

Гиратор

Представим схемы имитационных фильтров нижних и верхних частот:

Схема ФНЧ

U1

C1

U2

C2

Гиратор

Гиратор

C1

Схема ФВЧ

C2

U2

U1

Гиратор

Лекция 13

Корректирование амплитудно-частотных искажений.

Искажение сигнала – изменение его формы на выходе цепи по сравнению с формой сигнала на входе цепи.

Амплитудно-частотные искажения связаны с непостоянством АЧХ.

		T(ω)				A(ω)
		1
uвх(t)	ЛЭЦ	uвых(t)
		0	ω1	2ω1	ω	0	ω1	2ω1	ω
	uвх(t)			uвых(t)
	сигнал			сигнал

0

t

0

t

Для устранения амплитудно-частотных искажений применяют амплитудный корректор – четырёхполюсник, включаемый каскадно в цепь с целью дополнения АЧХ до постоянной величины.

R1

E

Цепь

U2

R2

Hц (w) =

2U2

R1

.

E

R2

R1

E

Цепь

U2

Корректор

U’2

R2

Zвх=R2

H0 (w) =

Hк (w) =

A0 (w) =

2U2¢

2U2

×

U2¢

= Hц (w)Hк (w)

R1

.

H0

(w) =

R1

E

R2

E R2

U2

U2′ – коэффициент передачи корректора.

U2

	1		1	1			A0 (w) = 20 lg	1		1	= Aц(w)+ Aк(w).
20 lg		= 20 lg		×		,			+20 lg
	H0 (w)		Hц (w)		Hк (w)			Hц(w)		Hк(w)

A(ω)

A0(w)

0 w1		w2 w

Амплитудные корректоры

Первый тип корректора

Z1

R0

R0

Z11

Z11

U1

Z2

U2

R0

U1

Z22

R0

U2

Z2

= R2 .

Реактивные сопротивления дуальные: Z

1

Z

2

0

Определим входное сопротивление:

Z вх = Z11

+

(Z11 + Z 2 )(Z11 + R0 )

= R0 , где

Z11 =

R Z

1

Z 22 =

R2

0

,

0

Z11

+ Z 22 + Z 2 + R0

Z1 +

2R0

Z1 + 2R0

Определим передаточную функцию:

U

2

(w)

(Z 22 + Z 2 )R0

R

к (p) =

R

H к (w) = U

(w) =

Z

(Z + Z

+ Z

+ R )

=

R + Z

, или H

R + Z

(p) .

0

0

1

вх

11

22

2

0

0

1

0

1

Определим ослабление, вносимое корректором:

Aк (w) =

1

= 20 lg

1+

Z

20 lg

1

.

H

к

(w)

R

0

Зная поведение Z1 на разных частотах, можно определить частотную зависимость ослабления!!!

Z1

Z1

R0

U1

Z2

U2

R0

U1

Z2

U2

R0

R

0

Zвх=R0

Второй тип корректора

Zвх=R0

Третий тип корректора

Амплитудные корректоры первого порядка.

R1

	C1
R0	R0	A (ω)
		к
	R2
	L2	0	ω

Определим операторное сопротивление:

R1

1

R1

1

Z

( p ) =

pC1

=

=

.

1

+

1

pR1C1

+1

1

R1

pC1

C1

p +

R1C

1

Определим передаточную функцию корректора:

p +

1

Hк ( p) =

R0

=

R0

=

R1C1

=

p + a1

.

R + Z ( p )

1

R0 + R1

p + a

0

1

2

R0 +

1

p +

R0 R1C1

C1 p +

R1C1

Hк2 (w) = H к (w) H *к (w) =

jw + a1

×

- jw + a1

=

w2 + a12

.

jw + a2

- jw + a2

w2 + a22

Определим ослабление корректора:

Aк (w) = 20 lg

1

= 20 lg

w2 + a22

= 10 lg

w2 + a22

.

Hк (w)

w2 + a12

w2 + a12

Определим максимальное значение ослабления:

A

= A

(0) = 10 lg a22

= 20 lg

a2

= 20 lg

R0 + R1

R C = 20 lg

R0 + R1

.

a

к max

к

a2

R R C

1 1

R

1

1

0

1

1

0

Определим частотную характеристику ослабления корректора, состоящего из параллельного

соединения R1 и L1 .

R1

	L1
R0	R0	A (ω)
		к
	R2
	C2
		0	ω

Определим операторное сопротивление:

Z (p) =

R1 pL1

.

1

R1 + pL1

Определим передаточную функцию корректора:

R1

R

(R + pL )

R0 L1

+ p

R

R

L

Hк (p) =

0

=

0

=

0

1

1

=

1

R + Z

(p )

R0 +

R1 pL1

R R + pL R + R pL

L1 (R0

R R

0

1

1

0

1

0

1

1

+ R1 )

+ p

R1 + pL1

1

0

L1 (R0 + R1 )

p + α1

H

(p) = K

, где K =

R0

, a =

R1

,

a

=

R1R0

.

к

p

+ a2

R0 + R1

1

L1

2

L1

(R0 + R1 )

Hк2 (w) = H к (w)H *к (w) = K 2

jw + a1

×

- jw + a1

= K 2

w2 + a12

.

jw + a2

- jw + a2

w2 + a22

Определим ослабление корректора:

= 10 lg

.

1

1

2

2

1

2

2

A

(w) = 20 lg

= 20 lg

w + a2

×

w + a2

H

(w)

K w2

+ a2

K 2

w2 + a2

к

к

1

1

Определим минимальное значение ослабления:

1

2

= 20 lg

1

a2

R0 + R1

R1R0

L1

A

= A (0) = 10 lg

× a2

×

= 20 lg

×

×

= 20 lg1 = 0 .

K 2

a

L

(R + R )

R

к min

к

a2

K

R

1

1

0

1

0

1

1

Определим максимальное значение корректора:

1

2

2

1

R0 + R1

R1

Aк max

= lim10 lg

×

w

+ a2

= 10 lg

= 20 lg

=

20 lg 1

+

.

2

2

2

2

ω→∞

K w + a1

K

R0

R0

Амплитудные корректоры второго порядка

Aк
0	ω1	ω

	Aк (w) = 20 lg			1	= 20 lg	1+	Z
Поскольку							1		,
		H	к	(w)			R
						0

	Aк
	0	ω2	ω
то	форма	частотной	зависимости	полного

сопротивления Z1 совпадает с формой частотной зависимости ослаблением корректора:

Z1
0	ω1	ω

Z1
0	ω2	ω

Представим графики частотной зависимости реактивного сопротивления:

X1			X1
0	ω1	ω	0	ω2	ω
	класс (∞, ∞)			класс (0, 0)

Второй тип корректора для первого графика

L1 C1

				R2					R0
C2						L2

Третий тип корректора для первого графика

L2 C2

	R0
						C2			R0
			L2

Корректирование фазочастотных искажений Рассмотрим цепь, имеющую рабочую фазу и характеристику группового времени

прохождения (ГВП) в виде:

			tгр (ω) = dBp (ω)
				dω
Bp(ω)				tгр(ω)
0	ω1	ω2	ω	0	ω1	ω2	ω

При этом фаза первой гармоники почти не изменяется, а фаза второй гармоники существенно увеличивается. В результате форма сигнала на входе цепи будет отличаться от формы сигнала на выходе.

Искажения формы сигнала при прохождении его по цепи, обусловленные нелинейностью фазо-частотной характеристики цепи или непостоянством группового времени прохождения, называются фазо-частотными искажениями.

Условием отсутствия фазо-частотных искажений в цепи следует считать линейность рабочей

фазы и ФЧХ цепи, либо неизменной ГВП, то есть

Bp (ω) = −ϕ(ω) = ωt0 , tгр (ω)= dBp ω(ω) = t0 . d

Вреальных цепях таких условий достичь невозможно, но можно к ним приблизиться!!!

Сэтой целью применяют фазовые корректоры – четырёхполюсники, включаемые каскадно с цепью и дополняющие фазовую характеристику цепи до линейной. При этом фазовый корректор

не должен вносить амплитудно-частотные искажения.

R1

Фазовый

R2

E

Цепь U2

корректор

U’2

Zвх=R2

Определим комплексную передаточную функцию общей цепи:

		2U ′2
H 0	(ω) =				R1	.
		E
					R2

Умножим и разделим это выражение на U 2 , тогда:

H 0

(w) = 2U 2

R1 ×U ¢2 = H ц (w) H к (w) .

E

R2 U 2

Определим ФЧХ общей цепи:

H0 (w)ejarg(H0 ( jω)) = Hц (w)ejarg(Hц ( jω)) Hк (w)e jarg(Hк ( jω)) , отсюда следует:

j0 (w) = jц (w) + jк (w) .

Вывод: ФЧХ общей цепи вычисляется как сумма ФЧХ цепи и корректора.

За пределами рабочего диапазона частот ФЧХ или ГВП могут иметь любую форму.

B(ω)

tгр(ω)

B0

t0=tгр ц+tгр к

0 wн

wв

w

0

wн

wв

w

Фазовые корректоры

Фазовые корректоры должны иметь постоянное входное сопротивление и постоянное

ослабление, которые не зависят от частоты. Таким условиям удовлетворяют симметричные

мостовые четырёхполюсники, у которых сопротивления Z1

и Z 2

дуальные.

Z

1

Z

2

= R2 , причём Z

1

= ± jX

,

Z

2

= jX

2

.

0

1

Такие четырёхполюсники имеют одинаковые собственные сопротивления:

Z c1 = Z c2 = Z c =

Z1 Z 2

= R0 .

R0

Z

1

Z2

Z2

R0

U1

U2

Eг

Z1

Zвх1=R0 Zвх2=R0

Покажем, что входное сопротивление фазового корректора равно номинальному! Представим фазовый корректор в следующем виде:

I

Z12

I1

I2

Z1

Z2

Z10

Z20

U

1

R0

Z1

U1

U2

Z1

U2

I

Z2

Z2

Z вх = Z12 + (Z10 + Z 2 )(Z 20 + Z1 ) , где

Z1 + Z 2 + Z10 + Z 20

Z12

=

Z1 Z

2

, Z10

=

Z1R0

,

Z 20

=

Z 2 R0

.

Z1

+ Z 2

+ R0

Z1

+ Z 2 + R0

Z1

+ Z 2

+ R0

После подстановки и алгебраических преобразований, получим:

Z вх	=	Z1R0 + Z 2 R0 + 2Z1 Z 2	, так как Z1 Z 2 = R02 , то Z вх = R0 .
		Z 2 + 2R0 + Z1