FA

Библиографический список

1.Антоневич, А.Б. Задачи и упражнения по функциональному анализу [Текст] / А.Б. Антоневич, П.Н. Князев, Я.В. Радыно. Минск: Вышэйшая школа, 1978. 205 с.

2.Антоневич, А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения [Текст] / А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. Минск: БГУ, 2003. 300 с.

3.Будак, Б.М. Кратные интегралы и ряды [Текст] / Б.М. Будак, С.В. Фомин. М.: Наука, 1967. 607 с.

4.Воеводин, В.В. Вычислительные основы линейной алгебры [Текст] / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. М.: Наука, 1977. 320 с.

5.Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц [Текст] / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1988. 552 с.

6.Глазман, И.М. Конечномерный линейный анализ [Текст] / И.М. Глазман, Ю.М. Любич. М.: Наука, 1969. 476 с.

7.Гордеев, С.Р. Интеграл Лебега [Текст]: методические указания по курсу функционального анализа / С.Р. Гордеев, В.Г. Курбатов. Липецк: ЛГТУ, 2004. 36 с.

8.Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [Текст] / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.М.: Наука, 1970. 536 с.

9.Като, Т. Теория возмущений линейных операторов [Текст] / Т. Като.М.: Мир, 1972. 740 с.

10.Кириллов, А.А. Теоремы и задачи функционального анализа [Текст] / А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. М.: Наука, 1979. 384 с.

11.Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1972.496 с.

68

69

12.Курбатов, В.Г. Интегральные операторы [Текст]: учебное пособие / В.Г. Курбатов. Липецк: ЛГТУ, 1998. 100 с.

13.Морен, Л. Методы гильбертова пространства [Текст] / К. Морен. М.: Мир, 1965. 571 с.

14.Наймарк, М.А. Нормированные кольца [Текст] / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1968. 664 с.

15.Очан, Ю.С. Сборник задач по математическому анализу [Текст] / Ю.С. Очан. М.: Просвещение, 1981. 271 с.

16.Пуляев, Б.Ф. Задачи по функциональному анализу [Текст] / Б.Ф. Пуляев, З.Б. Цалюк. Краснодар: КГУ, 1983. 128 с.

17.Рудин, У. Функциональный анализ [Текст] / У. Рудин. М.: Мир, 1975. 443 с.

18.Смагин, В.В. Сборник задач по курсу Функциональный анализ и интегральные уравнения : методические указания для студентов 2 и 3 курсов всех форм обучения [Текст] / В.В. Смагин. Воронеж: ВГУ, 1999. 27 с.

19.Треногин, В.А. Функциональный анализ [Текст] / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980. 496 с.

20.Треногин, В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу [Текст] / В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. М.: Наука, 1984. 256 с.

21.Фадеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры [Текст] / Д.К. Фадеев, В.Н. Фадеева. М., Л.: Физматгиз, 1963. 656 с.

22.Халмош, П. Гильбертово пространство в задачах [Текст] / П. Халмош. М.: Мир, 1970. 352 с.

23.Хилле, Э. Функциональный анализ и полугрруппы [Текст] / Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: Мир, 1962. 829 с.

24.Шилов, Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства [Текст] / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1969. 432 с.

25.Эдвардс, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения [Текст]

/Р. Эдвардс. М.: Мир, 1969. 1071 с.

Предметный указатель

аксиомы	множество
линейного пространства, 30	замкнутое, 12, 27
метрики, 4	компактное, 28
нормы, 34	ограниченное, 10
скалярного произведения, 39	открытое, 13, 27

топологического пространства, 27 непрерывность

	базис, 49	линейного функционала, 50
		линейного оператора, 58
	двойственный, 53
		норма, 34
	ортогональный, 42
		линейного оператора, 59
	ортонормированный, 42
		линейного функционала, 51

внутренность, 13

гомеоморфизм, 19 граница, 11

дополнение, 13 ортогональное, 46

замыкание, 10 линейное, 38

изометрия, 19 изоморфизм линейных пространств,

33

метрика, 4 Хаусдорфа, 8 дискретная, 5

метрики равносильные, 19 эквивалентные, 19

оболочка линейная, 33 образ линейного оператора, 56 окрестность, 10, 27 оператор

линейный, 55 непрерывно обратимый, 64 непрерывный, 58 обратимый, 64 ограниченный, 58

ортогонального проектирования, 58

самосопряженный, 66 сопряженный, 65

отображение непрерывное, 29 сжимающее, 23

подмножество нигде не плотное, 11 плотное, 11

70

подпространство, 31 инвариантное, 66

покрытие, 28 пополнение, 23, 38

последовательность фундаментальная, 20

предел, 8 произведение скалярное, 39 пространство

банахово, 38 гильбертово, 46 евклидово, 40 линейное, 30

сопряженное, 53 метрическое, 4

полное, 20 нормированное, 34

полное, 39 топологическое, 27

расстояние, 4 между множествами, 16

ряд Фурье, 44

система векторов замкнутая, 44 ортогональная, 42 ортонормированная, 42 полная, 38

сумма подпространств, 33 прямая, 47

топология, 27 точка

внутренняя, 13 граничная, 11 изолированная, 11 неподвижная, 24

71

предельная, 11 прикосновения, 10

условие Коши, 20

функционал, 49 непрерывный, 50 ограниченный, 50

функция непрерывная, 17, 29

равномерно непрерывная, 18 шар, 10

ядро линейного оператора, 56

линейного функционала, 50

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
Глава 1. Метрические и топологические пространства		4
1.1.	Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1.2.	Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8

1.3.Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.	Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . .	23
1.7.	Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .	27
Глава 2. Банаховы и гильбертовы пространства		30

2.1.Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.Нормированные и банаховы пространства . . . . . . . . . . 34

2.3.	Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
2.4.	Ортогональность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
2.5.	Гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
2.6.	Ортогональное дополнение и прямая сумма . . . . . . . . .	46
Глава 3. Линейные функционалы и операторы		49

3.1.Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.Непрерывные линейные функционалы . . . . . . . . . . . . 50

3.3.Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.Непрерывные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.Пространство линейных операторов . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.Обратимые линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Сопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	65
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . .	67
Предметный указатель	69

72

73

Кузнецова Валентина Ивановна Ярославцева Валентина Яковлевна

Основы функционального анализа в задачах

Учебное пособие Лицензия ИД N 06179 от 01.11.2001

Редактор Т.М. Курьянова

Подписано в печать Формат 64x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография.

Печ. л. 4,5. Тираж 150 экз. Заказ N

Липецкий государственный технический университет. 398600 Липецк, ул. Московская, 30.

Типография ЛГТУ. 398600 Липецк, ул. Московская, 30.