FA

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Липецкий государственный технический университет

В.И. Кузнецова, В.Я. Ярославцева

Основы функционального анализа в задачах

Учебное пособие

Липецк 2005

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Липецкий государственный технический университет

В.И. Кузнецова, В.Я. Ярославцева

Основы функционального анализа в задачах

Учебное пособие

Липецк 2005

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Липецкий государственный технический университет

В.И. Кузнецова, В.Я. Ярославцева

Основы

функционального анализа в задачах

Учебное пособие

Утверждаю к печати	Проректор по учебной работе
Объем 4,5 п.л.			2005
			П.И. Внуков

Тираж 150 экз.

Липецк 2005

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Липецкий государственный технический университет

В. И. Кузнецова, В. Я. Ярославцева

Основы

функционального анализа в задачах

Авторы:	В.И. Кузнецова
	В.Я. Ярославцева
	10 марта 2005

Липецк 2005

ÓÄÊ 517.9 (07) Ê-891

Кузнецова В.И. Основы функционального анализа в задачах [Текст]: учебное пособие/ В.И. Кузнецова, В.Я. Ярославцева. Липецк: ЛГТУ, 2005. 72 с.

ISBN 5-88247-208-3

Предназначено для студентов 2-го курса специальности 351500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем .

Приводятся задачи по основным разделам функционального анализа: метрические и топологические пространства; нормированные, банаховы и евклидовы пространства; предел и непрерывность; полнота и пополнение; принцип сжимающих отображений; ортогональность и прямая сумма; линейные операторы и функционалы; сопряженные пространства и операторы; обратимость.

Библиогр.: 25 назв.

Рецензенты: кафедра функционального анализа и операторных уравнений ВГУ; д.ф.-м.н. В.Г. Звягин

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ.

ISBN 5-88247-208-3	c Липецкий государственный
	технический университет, 2005

Введение

Функциональный анализ сравнительно молодой раздел математики. Он занимается выделением и изучением абстрактных понятий, образующих основу математического анализа и линейной алгебры, с целью их последующего применения в более общих ситуациях. В первую очередь, это понятия, связанные со сходимостью и описанием геометрических свойств различных объектов аналитическими средствами. Основная (но далеко не единственная) сфера приложений функционального анализа

дифференциальные уравнения. Поэтому основные объекты изучения

различные множества функций, состоящие из решений дифференциальных уравнений, свободных членов, возмущений и т.п. Отсюда и происходит само название функциональный анализ .

Функциональный анализ специфическая область математики. Его задачей является разработка языка, позволяющего строить модели для самых разнообразных прикладных задач. Основу функционального анализа составляет аксиоматический метод. Поэтому в рамках функционального анализа мало простых учебных задач вычислительного характера. Как следствие, подбор упражнений для практических занятий всегда связан с определенными трудностями. Настоящее пособие представляет собой задачник, который предназначен для проведения практиче- ских занятий со студентами, изучающими лишь базовые понятия функционального анализа.

Âкачестве пособий для начинающих изучать функциональный анализ можно порекомендовать [2, 7, 11, 12, 19]. Книги [8, 9, 13, 14, 17, 23, 25] посвящены специальным разделам и приложениям функционального анализа. Задачниками разного уровня являются [1, 6, 10, 15, 16, 18, 20, 22]. Книги [3, 4, 5, 21, 24] представляют собой своеобразные мостики , ведущие от математического анализа, линейной алгебры и численных методов к функциональному анализу.

Глава 1

Метрические и топологические пространства

1.1.Метрические пространства

Пусть X произвольное множество. Метрикой (или расстоянием) на множестве X называют функцию : X X ! [0; +1), обладающую следующими тремя свойствами, называемыми аксиомами метрики:

1)(аксиома симметрии) (x; y) = (y; x);

2)(аксиома треугольника) (x; y) (x; z) + (z; y);

3)(аксиома невырожденности) (x; y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

Метрическим пространством называют пару1) (X; ), состоящую из множества X и заданной на нем метрики . Обычно, допуская вольность речи, метрическим пространством называют не пару (X; ), а само множество X. В этих случаях подразумевается, что метрика , с которой рассматривается X, ясна из контекста. Подпространством метрического

пространства называют любое его подмножество, рассматриваемое как метрическое пространство с той же метрикой.

Задача 1. Покажите, что условие (x; y) 0 вытекает из аксиом 1 3.

Напомним, что множество, состоящее из всех упорядоченных наборов из n действительных чисел x = (x1; x2; : : : ; xn), называют n-мерным арифметическим пространством. Его обозначают символом Rn.

Теорема 1. Следующие множества (вместе с описываемыми ниже метриками) являются метрическими пространствами:

(a) Множество R действительных чисел с метрикой (x; y) = jx yj.

1)Парой называют упорядоченное множество, состоящее из двух элементов.

4

5

(b) Произвольное множество X с метрикой (дискретная метрика)

(

0; åñëè x = y;

(x; y) =

1; åñëè x 6= y:

(c) n-мерное арифметическое пространство Rn1 с метрикой

n
Xk	jxk ykj:
(x; y) = 1(x; y) =
=1

(d) n-мерное арифметическое пространство Rn1 с метрикой

(x; y) = 1(x; y) = max jxk ykj:

1 k n

(e) n-мерное арифметическое пространство R2n					с метрикой
	(x; y) = v
(x; y) = 2		n	(xk			yk)2	:
	uk=1
	uX

t

(f) Множество C[a; b] всех непрерывных функций f : [a; b] ! R с метрикой

(f; g) = 1(f; g) = max jf(t) g(t)j:

a t b

(g)Множество CL1[a; b] всех непрерывных функций f : [a; b] ! R с метрикой

Z b

(f; g) = 1(f; g) = jf(t) g(t)j dt:

a

(h)Множество CL2[a; b] всех непрерывных функций f : [a; b] ! R с метрикой

(f; g) = 2	(f; g) =	Zab(f(t) g(t))2 dt		1=2	:

(i) Множество l1 = l1(N; R) всех числовых последовательностей x = = (x1; x2; : : : ), удовлетворяющих условию P1k=1 jxkj < 1, ñ ìåò-

рикой	1
	Xk	jxk ykj:
	(x; y) = 1(x; y) =
	=1

Задача 4.

6

(j) Множество l1 = l1(N; R) всех числовых последовательностей x =

= (x1; x2; : : : ), удовлетворяющих условию supk2N jxkj < 1, с метрикой

(x; y) = 1(x; y) = sup jxk ykj:

k2N

(k) Множество l2 = l2(N; R) всех числовых последовательностей x =

= (x

; x

; : : : ), удовлетворяющих условию

1

x2

<

1

, с метри-

êîé 1

2

(x; y) = v

Pk=1

k

(x; y) = 2

1 (xk

yk)2:

uk=1

uX

t

(l)Множество S всех точек некоторой окружности, на которой в качестве расстояния между точками x; y 2 S берут длину крат- чайшей дуги окружности, соединяющей x и y.

Задача 2. Пусть X метрическое пространство с метрикой . Покажите, что для любых x; y; z; t 2 X выполнены неравенства:

1)j (x; y) (x; z)j (y; z);

2)j (x; z) (y; t)j (x; y) + (z; t).

Задача 3. Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел относительно метрики

p

(x; y) = jx yj

(ср. с задачей 5 ниже)?

Является ли метрическим пространством семейство всех непустых подмножеств метрического пространства X относительно расстоя-

ния между множествами E X и F X, определенного равенством

(E; F ) =	inf (x; y)?
	x2E;y2F
Задача 5. Пусть X метрическое пространство с метрикой . Дока-
жите, что функции
	(x; y)
1(x; y) =		;
	1 + (x; y)

2(x; y) = ln j1 + (x; y)j;3(x; y) = arctg (x; y);4(x; y) = minf1; (x; y)g;

f (x; y) = f (x; y) ;

7

где f : [0; +1) ! [0; +1) непрерывная выпуклая вверх функция, при- чем f(0) = 0, также являются метриками на X.

Задача 6. Докажите, что формула

(n; m) =

jn mj

nm

задает метрику на множестве N всех натуральных чисел.

Задача 7. Пусть X множество и : X X ! [0; +1] функция, удо-

влетворяющая аксиомам 1) 3) метрики (отличие от стандартного определения метрики заключается в том, что расстояние может принимать бесконечное значение). Докажите, что функция ~(x; y) = arctg (x; y)

(~(x; y) = =2, если (x; y) = +1) принимает конечные значения и удовлетворяет аксиомам метрики (ср. с задачей 5).

Задача 8. Пусть (Xk; k), k 2 N, последовательность метрических пространств. Рассмотрим множество X = X1 X2 : : : , состоящее из

всевозможных последовательностей x = (x1; x2; : : : ), xk 2 Xk. Докажите,
что функция	1
	(x; y) = X k(xk; yk)
	k=1

является метрикой на X, принимающей бесконечные значения (см. задачу 7).

Задача 9. Пусть каждой паре элементов (x; y) множества X поставлено в соответствие неотрицательное число (x; y), удовлетворяющее всем

аксиомам метрики, кроме третьей, которая выполняется в следующем ослабленном виде: если x = y, то (x; y) = 0 (такие метрики называ-

ют вырожденными). Назовем классом, содержащим x0 2 X, множество всех x 2 X таких, что (x; x0) = 0. Докажите, что классы, порожден- ные различными элементами x0, либо не пересекаются, либо совпадают. Докажите, что множество всех классов образует метрическое пространство, если под расстоянием между двумя классами A и B подразумевать(x; y), где x 2 A, y 2 B произвольные представители классов.

Задача 10. Является ли на множестве C1[a; b] всех непрерывно дифференцируемых на [a; b] функций метрикой функция

(f; g) = sup jf0(x) g0(x)j?

x2[a;b]

Произведите разбиение множества C1[a; b] на классы так, чтобы множество классов стало метрическим пространством.