Лекция 11. Функция и плотность распределения

1

Лекция 11. Функция и плотность распределения

11.1. Функция распределения

Непрерывную случайную величину нельзя задать законом распределения. Поэтому вводят понятие функции распределения.

Функцией распределения случайной величины X называют функцию

F (x) , определяющую вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x , то есть, F(x) P(X x) .

Геометрически это означает, что случайная величина X изображается на числовой оси точкой, которая лежит левее точки изображающей x .

Теперь определение непрерывной функции можно сформулировать так: Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция.

Функция распределения обладает свойствами:

Свойство 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку от

нуля до единицы, то есть, 0 F(x) 1.
Это свойство вытекает из того, что F (x)						есть вероятность.
Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то
есть, F(x2 ) F(x1 ) , если x2			x1 .
Пусть x2 x1 , тогда,			событие X x2 можно разбить на два несовместных
события	X x1	и	x1 X x2 .	По		теореме	сложения имеем:
P(X x2 ) P(X x1 ) P(x1 X x2 ) , откуда					P(x1 X x2 ) P(X x2 ) P(X x1 )
или P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1 ) .
Так	как	любая	вероятность	есть		число	неотрицательное, то

F(x2 ) F(x1 ) 0 или F(x2 ) F(x1 ) .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке от числа a до числа b , равна

2

приращению	функции	распределения	на	этом	промежутке
P(a X b) F(b) F(a) .

Это свойство вытекает из полученного при доказательстве теоремы равенства P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1 ) , если положить в нем x1 a и x2 b .

Пример 1. Случайная величина X задана функцией распределения

		0		если	x 1,
x			1
F (x)				если	1 x 3,
	4		4
		1		если	x 3.
Найти вероятность								того,				что			X примет значение, принадлежащее
промежутку (0;2) .
На интервале (0;2)									функция распределения имеет вид									F (x)		x		1	,
																			4		4
следовательно,									искомая								вероятность		равна
P(0 x 1) F(2) F(0)						2		1		(	0		1	)		1	.
					4			4		4		4			2

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина

X примет определенное значение равна нулю Р(X x1 ) 0 .

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины

принадлежат интервалу (a;b) , то : F(x) 0			при значениях x a	и F(x) 1 при
значениях x b .
Пусть	x a , тогда событие	X x невозможное по		условию и
Р( X x) 0	F(x) 0 .Теперь пусть	x b	тогда событие X x	достоверное

по условию и Р(X x) 1 F(x) 1.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной

величины расположены по всей числовой оси, то lim F(x) 0 , lim F(x) 1 .

x x

Используя доказанные свойства можно построить график функции распределения (рис.1). Из свойства 1 функции распределения вытекает, что ее график расположен между двумя прямыми линиями y 0 и y 1, Из свойства 2 вытекает, что график F (x) монотонно возрастает. А на основании

3

свойства 3 можно сделать вывод, что при	x a	график	функции
распределения имеет уравнение y 0 , при	x b	график	функции
распределения имеет уравнение y 1.
y

1

a O	b	x
Рис. 1. График функции распределения

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример 2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	1	4	8
P	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и построить ее график.

11.2. Плотность распределения вероятностей

Непрерывную случайную величину можно задать не только функцией распределения, но и при помощи другой функции, которую называют плотностью распределения, или интегральной функцией, или плотностью вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (x) , равную первой производной от функции распределения F (x) , то есть, f (x) F (x) .

4

Дискретную случайную величину этой функцией задать нельзя.

Как видим, функция распределения является первообразной для

плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X

примет значение, принадлежащее интервалу (a;b) , равна определенному

интегралу	от плотности распределения, взятому	от значения	a до b .
	b
P(a X b) f (x)dx .
	a
	b	b
Действительно, P(a X b) F (b) F (a) F (x)dx f (x)dx .
	a	a
Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность
того, что	непрерывная случайная величина	примет	значение,

принадлежащее интервалу (a;b) , равна площади криволинейной трапеции,

ограниченной осью Ox , графиком функции

f (x)

и прямыми линиями x a и

x b .

Зная

плотность

распределения

f (x) ,

можно

найти функцию

x

распределения F (x) по формуле F (x) f (t)dt .

Пример 3. Найти функцию распределения и построить ее график по

0

при

x a,

данной плотности распределения

1

f (x)

при

a x b,

b a

x b.

0

при

x

Воспользуемся формулой F (x) f (t)dt .

Если

x a ,

то

f (x) 0 , следовательно,

F(x) 0 .

Если a x b , то

1

x

a

x

1

x a

f (x)

, следовательно, F (x) f (t)dt 0dx

dx

.

b

a

a

b a

b a

Если

x b ,

то

f (x) 0 ,

следовательно,

x

a

b

1

x

b a

F (x) f (t)dt 0dx

dx 0dx

1.

b a

a

b

b a

5

Итак,			функция	распределения	задается	формулой
0		при	x a,
x a
F (x)		при	a x b,
b a			x b.
	1	при

График функции распределения изображен на рис.2.

y

1

a O b x

Рис. 2. График функции распределения примера 1.

Плотность распределения обладает свойствами.

Свойство1. Плотность распределения неотрицательная функция:

f (x) 0 .

Действительно, функция распределения неубывающая, следовательно,

ее производная F (x) f (x) является неотрицательной функцией.

Из свойства 1 следует, что график плотности распределения расположен либо над осью Ox , либо на ней. График плотности распределения y f (x) называют кривой распределения.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в

пределах от до равен единице f (x)dx 1.

Действительно, интеграл f (x)dx выражает вероятность события,

состоящего в том, что X ( ; ) . Очевидно, что такое событие достоверно.

6

Геометрически свойство 2 означает, что площадь фигуры,

ограниченной осью Ox и кривой распределения равна единице. В частности,

если все возможные значения случайной величины X (a;b) , то имеет место

b

равенство f (x)dx 1.

a

11.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X ,

возможные значения которой принадлежат отрезку a;b , называют

b

определенный интеграл M ( X ) xf (x)dx .

a

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ожидания.

Если возможные значения возможные значения случайной величины

X принадлежат отрезку a;b ,			b
			то D( X ) (x M ( X ))2 f (x)dx . Если возможные
			a
значения возможные значения случайной величины				X принадлежат всей
числовой оси, то M ( X ) xf (x)dx и D( X ) (x M ( X ))2				f (x)dx .
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной
величины определяется, как			и для величины дискретной, равенством
( X ) D( X ) .

Свойства математического ожидания и дисперсии сохраняются и для

непрерывных величин.

Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы

b
D( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2	и	D( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2 ,	или
a
D(X ) M (X 2 ) (M (X ))2 .