5. Метод пропорційного перерахунку.

Цей метод переважно використовується для розрахунку розгалужених кіл з одним джерелом енергії.

Ідея методу. Якщо у колі лише одне джерело, то струм будь-якої вітки пропорційний значенню ЕРС, або струму цього джерела. Задаючись струмом (напругою) в найбільш віддаленій від джерела вітці кола, за законами Ома та Кірхгофа розраховуємо коло, знаходимо напругу (струм) джерела і коефіцієнт пропорційності(). Перемноживши розраховані стру-ми і напруги на коефіцієнт пропорційностіk, одержуємо дійсні струми та на-пруги у вітках кола.

Приклад 4. Визначити струми у коліРис. П4 методом пропорційного пе-рерахунку.

Задаємось будь-яким струмом у кінцевій вітці, наприклад, і знаходимо всі інші струми та напруги кола. Нижче приведена послідовність розрахунку.

Дійсні струми у вітках кола:Аналогічно знаходяться дійсні напруги на елементах кола.

6. Двополюсник. Метод еквівалентного генератора.

Двополюсник– частина кола, що має два полюси, до яких можуть під’єдну-ватись інші елементи кола.

Пасивний двополюсник,в якому відсутні джерела енергії, можна замінити одним еквівалентним опором (Рис. 41, а).

Активний двополюсник– можна замінити еквівалентним генератором (Рис. 41, б).

Теорема про активний двополюсник.

Струм у вітці а, белектричного кола не зміниться, якщо активний двопо-люсник (Рис. 42, а), до якого під’єднана вітка, замінити еквівалентним джере-лом, ЕРС якого дорівнює напрузі розриву на полюсах активного двопо-люсника, а внутрішній опір дорівнює вхідному опору відносно полюсіва, бпасивного двополюсника, одержаного із даного активного двополюсника вида-ленням джерел енергії (Рис. 42, б).

Доведемо теорему.

1. Від’єднуємо опір навантаження (режим розриву -р) (Рис. 43, а) і виз-начаємо напругу розривуактивного двополюсника, яка дорівнює еквіва-лентній ЕРС двополюсника. Якщо послідовно з навантаженням ввімкнути зустрічно дві однакові ЕРС і (Рис. 43, б), що дорівнюють напрузі розри-ву, струм у вітці не зміниться.

2. Розраховуємо коло (Рис. 43, б) методом накладання, для цього розгляне-мо два часткові кола. У перше коло входять всі джерела активного двопо-люсника і ЕРС Е₂ (Рис. 44, а), у друге - пасивний двополюсник (без джерел енергії) і ЕРСЕ₁ (Рис. 44, б).

Струм , тому що при розриві, отже увімкнення резисторане викликає появу струму. Оскільки, то струм, тобто дорівнює струму у другому частковому колі (Рис.44, б). Двополюсник можна замінити вхідним еквівалентним опором, при цьому коло спроститься (Рис.45, а). ЕРС є ЕРС еквівалентного генератора , а вхідний опір - внутрішнім опором еквівалентного генератора (Рис. 45, б).

Струм у вітці

Алгоритм розрахунку електричного кола методом еквівалентного генератора.

1. Від’єднуємо вітку, в якій визначається струм.

2. Будь-яким із відомих методів розрахувуємо коло, що залишилося (режим-розриву активного двополюсника) і визначаємо напругу між точкамиа, б, до яких була під’єднана вітка.

3. Видаляємо із кола джерела енергії, замінивши їх внутрішніми опорами, виз-начаємо вхідний опір відносно точока, б.

4. Визначаємо струм у вітці за формулою:

5. Якщо у вітці, струм якої розраховуємо, є джерело ЕРС (Рис. 46, а), то розра-хунок ведеться за формулою:

6. Якщо у вітці, струм якої розраховується, відсутні опір і ЕРС (коротке зами-кання вітки)(Рис. 46, б) то:

, звідки:.

Приклад 5.Визначити струму колі так званого моста (Рис.П5, а).

1. Від’єднуємо вітку зі струмом (Рис. П5, б).

2. Розраховуємо коло, що залишилося (режим розриву активного двопо-люсника) і визначаємо напругу між точкамиа, б, до яких була під’єднана вітка.

Після спрощення виразу одержуємо: .

Очевидно, якщо то, (мостова схема врівноважена).

3. Видаляємо із схеми , замінивши її внутрішнім опором (закоротка), визначаємо вхідний опірвідносно точока, б (Рис. П5, в). Опориі,і з’єднані паралельно, а між собою - послідовно.

4. Струм визначається за формулою:

Приклад 6.

І) Розрахувати струм у вітці з ЕРС (Рис. П6, а).

ІІ) Визначити, якою повинна бути ЕРС , щоб струмпри тому ж

значенні змінив свій напрям.

ІІІ) Знайти залежність між струмом у другій вітці і опорому

четвертій вітці при незмінних всіх інших параметрах.

I. Розраховуємо струмметодом еквівалентного генератора.

1. На Рис. П6, ввідімкнена друга вітка. Коло, що залишилося, розраховуємо методом контурних струмів, які показані на схемі. Струм

Результат розв’язання системи рівнянь:

Струми у вітках схеми:

Напругу , що дорівнює ЕРС еквівалентного генератора ,для пере-вірки правильності розв’язку знаходимо двома незалежними шляхами.

_{Самостійно перевірте цю напругу іншим шляхом, наприклад:}

2).Вхідний опір між точками а, б, що дорівнює опору еквівалентного гене-ратора, знаходимо видаленням з активного двополюсника джерел енергії (Рис. П6.1, а).

Для спрощення схеми «трикутник» перетворюється на «зірку» (Рис. П6.1, б).

У спрощеній схемі до паралельних віток з послідовно з’єднаними опора-миіпід’єднаний послідовно опірВхідний еквівалентний опір відносно точока, б:

.).

3). Струм . Це видно із схеми ек-вівалентного генератора (Рис. П6, б)

Результат такий же, як і при розрахунку іншими методами.

ІІ. Для зміни напряму струму визначаємо нову ЕРС із останньої фор-мули:;

звідки:

ІІІ. В електричних колах зміна будь-якого одного параметра (ЕРС, опору резистора) викликає зміну напруг та струмів у вітках схеми. В лінійних колах при цьому залежність між напругами і струмами у вітках – лінійна, яка в загальному випадку описується функцією .

Для визначення шуканої залежності спочатку визначаємо за-лежність між струмами та , а потім за методом еквіва-лентного генератора визначаємо залежність між струмомта .

Із прикладу 3 відомо, що:. Залежність між ними виразимо рівнянням: Визначаємо коефіцієнтиА, В,знаючи струмидля двох значень змінюваного опору.

1). При - (розрив) струм. Струмпри цьому визначаємо зі схеми кола (Рис. П6.2, а).

Цю задачу розв’яжемо методом вузлових потенціалів.

Потенціал заземленого вузла , потенціал першого вузла:

.

Визначаються потенціали вузлів 2, 3.

Або:

Звідки: j₂ = 7.941 (В), j₃ = 2.206 (В).

Струми у вітках:

;;

.

Отже: Звідки

За відомими струмами , знайденими у прикладі 3 привизначаємо коефіцієнтВ.

.

Залежність струму від опорузнаходимо за методом еквівалентного генератора, користуючись відомими струмами у колі наРис. П6.2, а.

Перевірте!Така ж напруга буде при визначенні іншим шляхом:

Опір еквівалентного генератора визначаємо зі схем (Рис.П6.2, б, в).

.

_{Тепер маємо:}

Теорема компенсації.

У будь-якому електричному колі опір (резистор) можна замінити джерелом напруги, ЕРС якого чисельно дорівнює падінню напруги на цьому опорі і спрямована проти струму в опорі. При цьому струми і напруги в колі не зміняться.

На Рис. 46, а виділена вітка з опоромR, в якій протікає струмІ. При вми-канні у вітку зустрічно двох будь-яких ЕРСЕ (Рис. 46, б), струм у вітці не змінюється. ЯкщоЕ=IR, то потенціал точкив відносно точкиа:, тобто точки аів можна об’єднати (ЕіRвидалити).

Таким чином опір R(Рис. 46, а) замінено ЕРСЕ(Рис. 46, в), що відповідає теоремі компенсації.

Опір Rможна також замінити джерелом струму(Рис. 46, г) і при цьому напруги та струми кола не зміняться.

Приклад 7. Струм у колі, схема якого зображена наРис. П7, а: .

Згідно з теоремою компенсації опірзамінюється ЕРС (Рис. П7, б). Струм у цьому випадку:

Заміна опору нане викликає зміни струму в колі.

Передача енергії від активного двополюсника до навантаження.

Як відомо, струм у виділеній вітці (Рис. 47) згід-но з методом еквівалентного генератора:

Потужність в опорі навантаження:

Для визначення опору навантаження R, при якому в ньому виділяється максимальна потужність, потрібно дослідити функцію на екстремум (максимум). Максимум функції буде при мінімумі знаменника, який знайти простіше.

Звідки:- умова виділення максимальної потужності.

Отже максимальна потужність у навантаженні:

Потужність генератора:

Потужність в опорі навантаження:

Коефіцієнт корисної дії (ККД):

Очевидно, при виділенні в навантаженні максимальної потужності ,h=0.5. При великих потужностях (електричні мережі), працювати з таким ККД неприпустимо, оскільки половина потужності буде передаватись до наванта-ження, а інша половина витрачатись. Але при малих потужностях (декілька мі-ліват), в різних пристроях радіоелектроніки і автоматики працюють з ККДh= 0.5 для того, щоб до навантаження надходила максимальна потужність.

Вибір опору навантаження R,що дорівнює вхідному опоруактивного двополюсника, називаютьузгодженням навантаження.Залежність потужності на опорі навантаження від значення цього опоруP=f(R) показана наРис. 48.