-
Физическая модель.
2.1. Общий обзор системы.
Наиболее просто количественное рассмотрение нелинейных систем может проведено для двух типов систем, имеющих достаточно большой практический интерес: для систем, близких к консервативным (в первую очередь близких к синусоидальным), а также для систем, поддерживающих разрывные колебания. В данной работе изучается первый тип колебаний.
Мы будем рассматривать, в первую очередь, системы близкие к синусоидальным и достаточно близкие к консервативным.
Уравнение
гармонического
(синусоидального консервативного )
осциллятора имеет вид :
(1)
Уравнение
системы, близкой к гармоническому
осциллятору имеет вид :
где t – время, w – циклическая частота, x – зависимое переменное, - малый безразмерный параметр, который определяет близость нашей системы к консервативной линейной. Данное выражение является упрощением, суть которого заключается в том, что мы считаем функцию f , стоящую в левой части не зависящей от параметра . На практике данное обстоятельство выполняется с достаточно большой степенью точности, поэтому мы и вводим соответствующую идеализацию в нашу модель.
Впрочем,
наше неудобное для численного
интегрирования уравнение второго
порядка может быть достаточно легко
сведено к системе из двух дифференциальных
уравнений первого порядка следующего
вида:
(2)
Здесь
- безразмерный положительный параметр,
который мы предполагаем достаточно
малым.
Будем также
считать, что f(x,y)
– полином,
а, точнее, наше уравнение имеет вид:
(3)
Очевидно, что наше уравнение – частный случай уравнения Ван-дер-Поля. Как видно, нелинейность нашего уравнения обуславливается наличием нелинейного множителя перед вторым слагаемым в левой части уравнения. В противном случае, наше уравнение совпадает с хорошо известным уравнением затухающих колебаний. Очевидно также, что близость системы к линейной (консервативной или неконсервативной) определяется параметрами : (величина, характеризующая диссипативные процессы в системе) и а (малый нелинейный параметр), которые мы и задаем в нашей программе как параметры.
Решение уравнения затухающих колебаний при небольших значениях хорошо известно, поэтому в процессе решения нелинейного уравнения полезно сранивать его с соответствующим неконсервативным осциллятором. Его уравнение имеет вид : (4)
Решение
данного уравнения :
x(t)=A exp(-t)
cos(wt+),
где величины
А и
определяются из начальных условий. На фазовой плоскости данное решение отображается в виде семейства спиралей имеющих ассимптотическую точку в начале координат.
РИС 1.
X(0)=5,V(0)=0.
Однако помимо систем с нормальным положительным “трением” (0), мы можем также (хотя бы формально) рассматривать системы с отрицательным затуханием (0). Решение вновь получившегося уравнения будет иметь принципиально такой же вид, но только не с декрементом, а инкрементом затухания колебаний. Такая система, при анализе её с точки зрения линейного процесса, не будет иметь устойчивых стационарных состояний; она не может остаться в области, близкой к состоянию равновесия, - отклонения в линейной системе должны неизбежно возрастать.
С другой стороны, мы рассматривали нашу систему при определённых условиях на значения отклонения системы, при которых она не сильно отклоняется от положения равновесия – в противном случае, наше рассмотрение не является корректным. В то же время, наше сисетма при любой наперед заданной огранниченной области, фазовые траектории стремятся к уходу из этой области. Это значит, что линейная трактовка принципиально не может дать ответа на целый ряд вопросов о поведении системы (например, при прошествии достаточно большого количества времени). Это неизбежно приводит нас к вопросу о возможных нелинейных системах и процессах, аппроксимирующих данный линейный. Одним из таких обобщений и может быть система Ван-дер-Поля.