Сложная+процентная+ставка

Сложная процентная ставка

Формулы наращения

Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й , т.е. проценты начисляются на проценты.

Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (или i% = 100i). Пусть начальная сумма долга равна P. Тогда через единичный промежуток сумма долга составит S1 = P(1+i), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составит S2 = S1(1+i) = P(1+i)2 (в отличие от формулы S2 = P(1+2i) для простых процентов. К концу 3-го периода получаем S3 = S2(1+i) = P(1+i)3. И т.д. К концу n-го единичного промежутка получаем

Sn = P(1+i)n.

(1)

Итак, через n промежутков начальная сумма P увеличится в (1+i)n раз. Множитель (1+i)n называется множителем наращения. Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель 1+i.

Задача 1. Исходная сумма вклада P = 40 000 р. Процентная ставка i%=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.

Решение. Применяя формулу (1) имеем

S3,слож = P(1+i)3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.

Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:

S3,пр = P(1+3i) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.

Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.

Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых

положительных n, применима и для нецелых t					0: St	= P(1+i)t.
Задача 2. Какой величины S4.6	достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года
при росте по сложной ставке процента i=20% годовых.
Решение. По условию задачи P = 8 000 р. Тогда
S4.6 = P(1+i)t = 8 000(1+0.2)4.6							18 506.48.
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула
наращѐнной суммы принимает вид
S = P (1	i )n1 (1	i	2	)n 2	...(1	i	m	)n m .	(2)
	1

Здесь P – начальная сумма, nk – продолжительность k-го периода начисления процентов и ik – ставка простых процентов в периоде с номером k.

Задача 3. В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год

– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение. Пусть P – некоторая начальная сумма. По условию задачи

i1 = 0.06, i2 = i3 = 0.05, i4 = 0.08.

Обозначим i23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):

S = P (1 i1 )1 (1 i23 )2 (1 i4 )1 = P(1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).

В результате вычислений получаем значение множителя наращения:

S/P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.

Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:

идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;

идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.

Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.

Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:

если t >1, то (1+i)t > 1+ it; если 0 < t < 1, то (1+i)t < 1+ it; если t=1, то (1+i)t = 1+ it.

Для доказательства этого факта рассмотрим функции f(t) = (1+i)t и g(t) = 1+ it. Очевидно, f(0) = g(0), f(1) = g(1) и обе функции возрастают при t 0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производных f (t) = (1+i)t ln(1+i) и g (t) = i. В то же время производная второго порядка f(t) = (1+i)t ln2(1+i) положительна при t 0, что означает выпуклость вниз функции f(t) при t 0 (т.е. ускоренный рост). При этом функция g(t) растет линейно

(g(t) = 0).

На графике изображены функции f(t) = (1+i)t и g(t) = 1+ it в зависимости от t:

Пример. Пусть сумма P=800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы

Промежутки начисления	0	0.5	1	1.5	2
Простые проценты	800	832	864	896	928
Сложные проценты	800	831.38	864	897.9	933.12

Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставке i. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате чего получим:

a)для простых процентов 1 + ni = N, откуда n = (N–1) / i.

b)для сложных процентов (1 + i)n = N, откуда n = ln N / ln(1 + i).

Задача 4. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 4% годовых. Результаты сравнить.

Решение. По условию задачи i=0.04, N=2. Имеем

a) для простых процентов n = (N–1) / i = 1 / i, откуда n = 1/0.04 = 25 лет

b) для сложных процентов n = ln N / ln(1 + i), откуда n = ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг.

Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет

В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления.

1.По формуле сложных процентов: S = P(1+i)t.

2.На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые: S = P(1+i)n (1+bi), где t=n+b, n – целое число лет, b – дробная часть года.

3.В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P(1+i)n.

Задача 5. Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами.

Решение. По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты.

По 1-му способу: SI = 100 000(1+0.2)2 . 2 5 150 715 р. 46 коп. По 2-му способу: SII = 100 000(1+0.2)2 (1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу: SIII = 100 000(1+0.2)2 = 144 000 р.

Формулы дисконтирования в случае сложных процентов

При математическом дисконтировании из формулы	сложных процентов
S = P(1+i)n имеем
P = S/(1+i)n.	(3)

Задача 6. Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i)– n при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%.

Решение. Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице

n, лет	i=10%=0.1	i=20%=0.2
5	0.621	0.402
10	0.386	0.162
20	0.149	0.026

Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d, 0 d<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

P = S(1– d)n.

(4)

Задача 7. Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт.

Решение. Здесь по условию задачи S=20 000, n=1.5, d=0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов:

сумма, получаемая владельцем P = 20 000(1 – 0.18)1.5 14850 р. 83 коп.,

дисконт D = S – P 20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп.