ТГ Задачи 2011

Задачи для теории групп и алгебры Ли

1.Доказать, что в группе существует единственный единичный элемент.

2. Образуют ли все натуральные числа группу

А) по сложению,

Б) по умножению.

3. Образуют ли группу по умножению все положительные действительные числа?

4. Найти все образующие в группе вращений правильного 12 угольника.

5. Найти все подгруппы в группах

А) симметрий правильного треугольника,

Б) симметрий квадрата.

6. Составить таблицу умножения для вращений квадрата.

7. Составить таблицу умножения для всех симметрий квадрата.

8. Найти все симметрии ромба и составить для них таблицу умножения.

9. Составить таблицу умножения для всех симметрий правильного треугольника.

11. Найти все подгруппы в циклических группах , .

12. Найти все смежные классы группы симметрий треугольника по подгруппе6

А) вращения треугольника,

Б) отражения относительно одной оси.

13. Доказать, что каждый элемент группы входит в некоторый смежный класс по подгруппе H.

14. Доказать, что порядок любого элемента является делителем порядка группы.

15. Доказать, что в коммутационной группе всякая подгруппа является нормальной подгруппой.

16. Доказать, что : - гомоморфизм группы G на группу G/H.

17. Доказать, что - нормальная подгруппа группы G. (Рассмотреть разложение группы G по ядру . Пусть, - гомоморфизм, тогда множество элементов g таких, что , называют ядром гомоморфизма и обозначают .)

18. Пусть , , смежные классы по нормальной подгруппе. Доказать, что .

19. Постройте представление группы про помощи матриц с базисными векторами , и ; ось симметрии четвертого порядка совпадает с осью z. Найдите характеры получившегося трехмерного представления. Найдите таблицу характеров неприводимых

представлений. Разложите трехмерное представление на неприводимые представления.

20. Найти таблицу характеров неприводимых представлений группы .

21. Найти таблицу характеров неприводимых представлений группы .

22.Найти таблицу характеров неприводимых представлений для групп , , и .

23. Перечислить все элементы симметрии группы вращений правильного тетраэдра T. Найти классы сопряженных элементов. Построить таблицу характеров неприводимых представлений.

24. Перечислить все элементы симметрии группы вращений куба O. Найти классы сопряженных элементов. Построить таблицу характеров неприводимых представлений.

25. Перечислить все элементы симметрии тетраэдра (группа ). Построить таблицу характеров неприводимых представлений.

26. Проклассифицируйте нормальные колебания молекулы воды .

27. Молекула аммиака неплоская: три атома водорода образуют равностороннее основание пирамиды, а в оставшейся вершине находится азот. Найти группу симметрий молекулы аммиака. Найти классификацию нормальных колебаний.

28. Найти классификацию нормальных колебаний молекулы (смотри рисунок а).

29. Найти классификацию нормальных колебаний молекулы (смотри рисунок).

30. Найти классификацию нормальных колебаний молекулы (смотри рисунок е).

31. Найти классификацию нормальных колебаний молекулы , все атомы которой находятся в одной плоскости (смотри рисунок ж).

32. Найти все неприводимые представления точечной группы .

33. Найти все неприводимые представления точечной группы .

34. Найти все неприводимые представления точечной группы.

35. Найти инфинитезимальные операторы следующих групп преобразований:

1)

2)

3)

4)

5)

36. Найти инфинитезимальные операторы и структурные константы группы вращений трехмерного пространства (группа ).

37. Найти инфинитезимальные операторы и структурные константы группы вращений четырехмерного пространства (группа SO(4)).