- •Аналитическая геометрия
- •§1 Векторы………………………………………………………………..8
- •§1 Векторы.
- •Вопросы для самопроверки (знать).
- •Решение типовых задач (уметь). Лабораторная работа №1.
- •§2 Прямая на плоскости.
- •Вопросы для самопроверки (знать).
- •Решение типовых задач (уметь). Лабораторная работа №2.
- •§3 Прямая и плоскость в пространстве.
- •Вопросы для самопроверки (знать).
- •Решение типовых задач (уметь). Лабораторная работа №3.
- •§4 Кривые 2-го порядка.
- •Вопросы для самопроверки (знать).
- •Решение типовых задач (уметь). Лабораторная работа №4.
- •Аналитическая геометрия практикум по решению задач
- •426034, Ижевск, Университетская, д. 1, корп. 4, каб. 207
§1 Векторы.
Определение. Вектором называется направленный отрезок. Координатами вектора называются проекции этого вектора на координатные оси.
Пусть – произвольный вектор и известно, что он образует с осями координатуглысоответственно. Тогда числаназываютсянаправляющими косинусами вектора. Известно равенство:
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: где– угол между векторами.
Свойства скалярного произведения:
Теорема. Если векторы заданы декартовыми прямоугольными координатами, то:то
Из теоремы и свойства (4) следует, что .
Определение. Проекцией вектора на векторназывается число:
Определение. Ортом вектора называется векторединичной длины, одинаково с ним направленный.
Применение скалярного произведения векторов:
Нахождение угла между векторами
Вычисление проекции вектора
Для определения длины вектора:
следовательно =
Для определения перпендикулярности векторов:
Определение. Векторным произведением вектора называется вектор, обозначаемый символом [] и определяемый следующими тремя условиями:
Модуль вектора [] равен, гдеφ – угол между векторами и.
Вектор [] перпендикулярен к каждому из векторови.
Направление вектора [] соответствует «правилу правой руки».
Свойства векторного произведения:
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
Модуль векторного произведения равен площадиS параллелограмма, построенного на векторах и:
Векторное произведение может быть выражено формулой:
где – орт векторного произведения.
Векторное произведение [] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. В частности
Теорема. Если векторы изаданы декартовыми прямоугольными координатами, то векторное произведение вектора определяется формулой:
Применение векторного произведения векторов:
Для отыскания площади параллелограмма, построенного на векторах и:
Для нахождения вектора , перпендикулярного векторами:
[].
Определение. Если вектор умножается векторно на вектор, и вектор [] также векторно умножается на вектор, то мы получаем вектор [[]], который называетсядвойным векторным произведением.
Свойства:
Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора [] на вектор, т.е.
Свойство. Имеет место тождество:
Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах, взятому со знаком плюс, если тройкаправая, и со знаком минус, если тройка левая.
Теорема. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведениеравно нулю; иначе говоря, равенство– есть необходимое и достаточноеусловие компланарности векторов
Теорема. Если векторы заданы декартовыми прямоугольными координатами, то смешанное произведениеопределяется формулой:.
Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов {,,}).
Применение смешанного произведения векторов:
Для отыскания объема параллелепипеда и тетраэдра, построенныхна векторах
Для решения вопроса о компланарности векторов.
Для решения вопроса о линейной зависимости или независимости трех векторов.
Для решения вопроса об ориентации векторов.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть на прямой заданы точки и, а– произвольная точка прямой.
Обозначим через отношение; будем говорить, что точкаделит отрезокв отношении. Известно, чтокоординаты точки определяются по формулам:;; .
Если точка является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам: ; ;;
В зависимости от положения точки числоможет принимать различные значения.
Решение типовых задач
Задача №1:
Даны вершины треугольника . Вычислить координаты и длину биссектрисыего внутреннего угла при вершине.
Решение:
Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. .
Будем считать, что – делящая точка отрезка АС, ;
поэтому Итак, .
Найдем координаты т.D:
); таким образом, .
Найдем длину :
⇒
Ответ:
Задача №2:
Найти направляющие косинусы биссектрисы углатреугольникас вершинами.
Решение:
Найдем координаты точки :;
; таким образом, .
Найдем координаты . Пусть, тогда: ⇒
⇒
⇒.
Найдем величину угла :
Ответ: arccos.
Задача №3:
Три последовательные вершины трапеции находятся в точках. Найти четвертую вершинуэтой трапеции, зная, что длина основанияравна 15. Найти также точку– пересечения диагоналей трапеции.
Решение:
9;
т.к. и– сонаправлены⇒ (); откуда().
(они подобны) ⇒ .
Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, .
Ответ: ();().
Задача №4:
Одна из вершин параллелепипеда находится в точке, а концы выходящих из нее ребер – в точках. Найти: длину диагоналии уголмежду реброми диагональюэтого параллелепипеда.
Решение:
, 1 1.
.
.
Ответ;∠arccos.
Задача №5:
Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
Решение:
Возьмём на оси вектор единичной длины и найдём его координаты. Известно, чтот.к., то 3, беремт.к. угол α острый. Итак,()⇒ .
Ответ:
Задача №6:
Векторы иобразуют уголпричеми
Определить
Решение:
1 способ:
2
2
2 способ:
На векторах ипостроили параллелограмм:. Очевидно, что. Из треугольникапо теореме косинусов найдём.
Итак, . Из треугольникааналогично найдём.
Ответ: 1) 2).
Задача №7:
Даны векторы ипричем,, угол между нимиНайти угол между медианойтреугольникаи стороной.
Решение:
1) Достроим до параллелограмма, для этого продолжим медианутак, что,⇒
2) ;.
3) ,
cледовательно,.
Тогда .
Ответ: arccos..
Задача №8:
Вычислить длину вектора если,
Решение:
2
Ответ:
Задача №9:
Найти угол между векторами ,,
Решение:
;
2;
2
.
Ответ: arccos( ).
Задача №10:
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
Решение:
;
Ответ: кв. ед.
Задача №11:
Даны и. Вычислить:
Решение:
Из определения векторного произведения следует:
Найдем ; = ; ; поэтому102
Ответ:
Задача №12:
Векторы взаимно перпендикулярны. Зная, чтовычислить:
Решение:
Так как , то
Ответ:
Задача №13:
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , еслиа угол между векторамиравен.
Решение:
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма построенного на векторах .
Найдём площадь параллелограмма:
так как .
Ответ: .
Задача №14:
Вектор , перпендикулярный к векторам, образует с осьютупой угол. Зная, что, найти его координаты.
Решение:
1 способ: Искомый вектор перпендикулярен, поэтому мы можем его найти, как [], но с точностью до длины.
Т.к. , а, мы делаем вывод, чтоИз этого следует, что координаты векторав два раза больше, чем у вектора [];
Найденный вектор искомый, т.к. он образует с осью тупой угол.
2 способ: Искомый вектор перпендикулярен к векторам. Значит. Также нам дано, что. Обозначим координаты вектора, тогда составим систему:или.
Решая систему и зная, что вектор образует с осьютупой угол, получаем
Ответ:
Задача №15:
Доказать, что векторы компланарны, если.
Доказательство:
([])
Т.к. смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.
Что и требовалось доказать.
Задача №16:
Доказать, что векторы – линейно независимы, т.е. образуют базис, если.
Доказательство:
([]) =.
Т.к. ([]то векторынекомпланарны, а поэтому они линейно независимы, следовательно, образуют базис трёхмерного пространства.
Что и требовалось доказать.
Задача №17:
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Решение:
Ответ: куб.ед.
Задача №18:
Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках .
Решение:
; ([])⇒ ;
.
Ответ: куб. ед.
Задача №19:
Даны вершины тетраэдра . Найти длину его высоты, опущенной из вершины.
Решение:
Высота тетраэдра – это высотапараллелепипеда, построенного на векторах, поэтому найдём объём и площадь основания параллелепипеда.
.
; следовательно ;
кв. ед.;
Итак, тетр парал
Ответ:
Задача №20:
Даны три вектора . Найти разложение векторапо базису.
Решение:
Разложить вектор по векторам– это значит представить векторв виде линейной комбинации векторов:, где– координаты векторав базисе, то есть:
,
или .
Решая систему, находим
Поэтому .
Ответ: .
Задача №21:
Два вектора приложены к одной точке. Определить координаты вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами, при условии, что3.
Решение:
;
Найдем орты векторов : (),
().
Вектор направлен по диагонали ромба, построенного на векторах
;
|
Следовательно, длина вектора больше длины вектора в 63 раза, поэтому
Ответ:
Задача №22:
В равнобедренной трапеции нижнее основание, боковая сторонаугол∠ равен 60°. Выразить остальные стороны и диагонали трапеции через векторы и
Решение:
–высоты трапеции.
Тогда
Из
Из
Из
Ответ: ;=
Образовательным результатом после изучения данной темы является сформированность компонент, заявленных во введении, совокупности компетенций (знать, уметь, владеть) на двух уровнях: пороговый и продвинутый. Пороговый уровень соответствует оценке «удовлетворительно», продвинутый уровень соответствует оценкам «хорошо» или «отлично» в зависимости от результатов защиты кейс-заданий.
Для самостоятельной диагностики данных компонент вам предлагаются следующие задания.