Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системеСИединицей момента силы являетсяньютон-метр.Джоуль, единица СИ дляэнергиииработы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она(псевдо) векторнаявеличина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н·м, приложенный через целый оборот, требуетэнергиикак раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, M— вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

.

Закон сохранения момента импульса системы невращающихся тел

Физическую величину L_zi= [r_i(m_iv_τi)] = [r_ip_i] называютмоментом импульсаi–го тела вращающейся системы относительно общей оси вращения системы. Закон сохранения в виде уравнения (6), полученный при пренебрежении угловыми моментами тел, составляющих систему, можно записать в видеL_z= Σ_i[r_i(m_iv_τi)] = Σ_i[r_iр_i] = const . ( 7 )  Уравнение (7) называютзаконом сохранения момента импульсазамкнутой системы. Сравнение уравнений (2) и (7) показывает, что угловой момент твердого тела и момент импульса вращающейся составной системы друг другу не равны. И уж, во всяком случае, синонимами не являются, как об этом говорится в метрологическом справочнике А.Чертова (1990). Но поскольку их принято обозначать одинаковым символомL, то следует в каждом случае применения пояснять, что имеется в виду. (В метрологическом справочнике А.Чертова момент импульса обозначается, какМ₀, но в том же справочнике символомМ₀обозначается также и момент силы, то есть совершенно другая физическая величина, что, конечно, следовало бы исправить.)  Физическое содержание закона сохранения момента импульса системы, состоящей из невращающихся тел, описываемого уравнением (7), заключается в следующем:если замкнутая система содержит несколько недеформируемых и не вращающихся вокруг своего центра тел разной массы, движущихся без внешнего сопротивления по орбитам разного радиуса вокруг общего центра с одинаковыми угловыми скоростями, то их суммарный момент импульса не изменяется при изменении масс, касательных скоростей и радиусов кривизны орбит движущихся внутри системы тел.  Любое вращающееся тело можно представить в виде интегральной суммы вращающихся участков тела. Тогда момент импульса вращающегося тела как целого также определяется по уравнению (7) и называетсясобственным моментом импульсавращающегося тела. В этом случае уравнение (7) можно назвать такжезаконом сохранения собственного момента импульсавращающегося тела.  Этот закон показывает, что собственный момент импульса вращающейся системы может являться синонимом углового момента, только если речь идет о системе, которую можно рассматривать как сумму вращающихся подсистем. Если же систему необходимо рассматривать как единое целое, то следует говорить только об угловом моменте системы.

Закон сохранения момента импульса системы вращающихся тел

Если необходимо учесть собственные моменты импульса вращающихся тел, входящих в замкнутую вращающуюся систему, то закон сохранения момента импульса уже не может быть описан уравнением (7). Следует вернуться к рассмотрению уравнения (2) и записать другое уравнение:  L_z= Σ_i(J_ziω_ΙΙi+ [r_iр_i]) = const , ( 8 )  где подω_ΙΙiподразумеваются параллельныеωкомпоненты векторовω_i. А перпендикулярныеωкомпоненты векторовω_iне вносят свой вклад в суммарный момент импульса вращающейся системы. Уравнение (8) описываетзакон сохранения момента импульсазамкнутой системы с учетом собственных моментов импульса вращающихся тел, составляющих систему.  Наконец, если в орбитальной форме движения в системе, движущейся по орбите с постоянной по модулю касательной скоростью, приращение энергии системы dW равно нулю, то, можно говорить о том, что приращение модуля импульса касательной силы dS_τи приращение модуля касательного импульса тела dp_τравны нулю, и на этом основании говорить озаконе сохранения орбитального моментадвижущейся по орбите вращающейся системы.  Говорить следует при этом именно о модулях dS_τи dp_τ, потому что вектор касательной скоростиv_τ, являющийся сомножителем импульса тела, не меняется в данном случае только по модулю. В то же время каждое мгновение касательная скоростьv_τ, а вместе с ней импульс, меняются по направлению. Однако при этом векторное произведение [r_iр_i] из уравнения (8) остается постоянным как по модулю, так и по направлению.  Обратим также внимание на то, что импульс движущегося по орбите телаp_τопределяется по инертной массе m, определяющее уравнение для которой приведено на странице, посвященнойобобщенному второму закону Ньютона. Поэтому ставить знак равенства между законом сохранения момента импульса и законом сохранения момента количества движения нельзя, так как в уравнении (4) присутствуют инертные массы m (линейные инертности) движущихся по орбите тел, а количество движения образовано гравитационными массами (гравитационным зарядом)m_g(см.Таблицу величин физического поля). Обе массы имеют различные размерности.Момент количества движенияявляется векторным произведением [r(m_gv_τ)], гдеv_τ− касательная скорость движения гравитационного заряда.

23

24

25

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного ивращательного движения.

26

Условия равновесия тел

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю. 

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил ине совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр массC), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.

Произведение модуля силы на плечоd называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю: 

M₁ + M₂ + ... = 0.

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютон-метрах (Н∙м).

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

Оба эти условия не являются достаточными для покоя.

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Не следует путать с центром тяжести.

27

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — система отсчёта, к которой не применим законинерции(говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью), и поэтому для согласования сил и ускорений в которой приходится вводить фиктивныесилы инерции. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной, является неинерциальной.

Законы Ньютонавыполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной.

Классическая механикапостулирует следующие два принципа:

1. время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

2. пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта.

Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняетсяпервый закон Ньютона.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

Си́ла Кориоли́са— одна изсил инерции, существующая внеинерциальной системе отсчётаиз-завращенияизаконов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, описавшего его в1833 году. Следует, однако, отметить, что первым математическое выражение для силы получил, видимо,Пьер-Симон Лапласещё в1775 году^[1]. Сам же эффект отклонения движущихся объектов во вращающихся системах отсчётах был описанДжованни Баттиста РиччолииФранческо Мария Гримальдиещё в 1651 году^[2].

Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчётадействуетзакон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постояннойскоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телуускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.