rgr3 / РГР3 задание

Σx = 0;	N1 (F )sinα + H A = 0,	(1)
		(2)
Σy = 0;	−N2 (F ) − N1 (F ) cosα +VA − F = 0,
		(3)
ΣmA = 0;	N2 (F ) 2a + N1 (F ) cosα a − F a = 0

б) Геометрическая сторона задачи:

Под действием силы F = 200 кН жесткий брус АВС повернется вокруг точки А на малый угол γ <<1 и займет положение АВ1С1 (рисунок 4). При этом стержень 1 удлинится на величину ВВ2 = l1 (F ) , а стержень 2 удлинится на величину СС1 = l2 (F ) :

Рисунок 4.

BB1

AB

Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует

=

.

CC

AC

l1 (F )

1

СС1 = l2 (F ) ; ВВ1 =

, тогда

l1 (F )

=

a

или

cosα

cosα l2 (F )

2a

l (F ) =

1

l

(F ) cosα

(4)

1

2

2

Уравнение (4) представляет собой условие совместности деформаций

элементов системы.

tgα =

a

=

3

;

α = 20°33';

sinα = 0,35,

cosα = 0,94 .

2h

8

3

Длины стержней l =

=8,54м, l

= h = 4м.

2

1

sinα

в) Физическая сторона задачи.

Удлинения стержней 1 и 2 вызваны усилиями N1(P), N2(P), действую-

щими в этих стержнях. На основании закона Гука:

l (F )

=

N1 (F )l1

=

3N1 (F )

1

EA1

EA1 sinα

l2 (F ) =

N2 (F )l2

=

2N2 (F ) h

(5)

EA2

EA1

11

Подставим (5) в (4):	3N1 (F )	=	1 2N2 (F ) h			cosα
	EA sinα		2		EA
	1	1				(6)
	N1 (F ) = 0, 438N2 (F )
Решим совместно систему уравнений (3) и (6):

6N		(F ) +2,81N	(F ) =600	;	N		(F ) =36,35кН,	.
	2	1				1
N1	(F) =0,438N2 (F)				N2 (F ) =82,98кН

г) Выбираем наиболее напряженный стержень:

σ1 =		N1(F )	=		36,35	;
					А1
		А1
σ2 =		N2 (F )		=	82,98		=	165,97 .
		А2			А1 / 2			А1

Из условий прочности для второго стержня, определим безопасную площадь поперечного сечения:

σmax

=

σ2

=

145,97 ≤[σ]Al = 55 МПа , отсюда

A1

А

=

165,

97 103 Н

= 3,02 10−3 м2 = 30,2см2 .

1

55

106

Па

д) Напряжения и удлинения в стержнях равны:

σ

=

N

1

(F )

=

36,35 103

=12,04 МПа;

1

3,02

10−3

А

1

σ

2

=

N

2

(F )

=

82,98 103

= 54,95 МПа.

А

1,51 10−3

2

l

=σ

l

=

12,04 106 Па 8,54

м

=149,02

10−5

м =1, 49мм

1

1 E

0,69 105 106 Па

1

l

=σ

l

2

=

54,95 106 Па 4м

= 318,55

10−5

м = 3,19мм

2

2

E

0,69 105 106 Па

3.2 Определение температурных напряжений и перемещений.

При изменении температуры в стержнях системы возникают дополнительные усилия N1(t) и N2(t). Разъединим мысленно стержни в узлах и дадим им возможность свободно удлиняться при действии температуры. Тогда удлинения стержней 1 и 2 будут равны:

l (t) =α'l			t = 2,5 10-5	8,54 80o =17,088 10−3 м;	(7)
1	1
l	(t) =α'l		t = 2,5 10-5	4 80o =8 10−3 м.
		2
2
Отложив в масштабе значения l1(t) и l2 (t) видим, что стержень 1 нуж-
но сжать на величину l1t				, а стержень 2 растянуть на l2t . В соответствии с

этим выбираем направления N1(t) – сжимающее 1 стержень и N2(t) – растягивающее 2 стержень.

12

Рисунок 5.

Для определения температурных усилий N1(t) и N2(t) вырежем жесткий стержень АС, который находится в равновесии под действием усилий VA, HA, N1(t), N2(t). Число неизвестных усилий равно четырем, а число возможных уравнений статического равновесия равно трем. Следовательно, задача однажды статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим, как обычно, три стороны задачи.

а) Статическая сторона задачи:

Σx = 0;	H A − N1 (t)sinα = 0,
Σy = 0;	V	+ N	(t)cosα − N	(t) = 0,
	A	1	2
		(t) 2a − N1 (t)cosα a = 0
ΣmA = 0;	N2

2N2 (t) = N1 (t) cosα

N2 (t) =0,47N1 (t)

б) Геометрическая сторона задачи:

Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует BB1 = AB .

CC1 AC

	Так как СС1 =			l2 (t) + l2t	; ВВ1	=	ВВ2	=	l1 (t) − l1t ,
							cosα
	l1 (t) − l1t		a						cosα
		=		или
	cosα ( l2 (t) + l2t )		2a			l2t ) cosα -
	2(	l1 (t) − l1t ) = (			l2 (t) +

(8)

то

(9)

уравнение совместности деформаций элементов системы. в) Физическая сторона задачи:

Удлинения стержней 1 и 2, вызванные усилиями N1(t) и N2(t), действующими в этих стержнях, на основании закона Гука равны:

l	=	N1 (t)l1	;	l	2t	=	N2 (t)l2	(10)
1t		EA1					EA2

Подставляя выражения (7) и (10) в уравнение (9), получим:

13

2		α'l	t −	N1 (t)l1				=		α'l			t +	N2 (t)l2				cosα
												2
		1			EA1									EA2
				−3				N1(t) 8,54												−3			N2 (t) 4
2	17,088		10		−											=	8		10		+									0,936
						0,69			5		6		3,02 10		−3							0,69 10	5	10	6	1,51	10	−3
								10 10
или после преобразований													0,000035568N2 (t) +0,000082N1(t) = 26,68 .

Решив это уравнение совместно с (8), получим: N1(t) = 270,54кН - сжимающее усилие,

l1t

l2t

N2 (t) =126,61кН -

растягивающее усилие.

г) Напряжения в стержнях 1 и 2 от усилий N1(t) и N2(t) равны:

σ

(t) = −

N

(t)

= −

270,54 103

= −89,64МПа,

1

1

3,02 10−3

А

1

σ

2

(t) =

N

2

(t)

=

126,61 103

= 83,91МПа.

А

1,51

10−3

2

д) Результирующие удлинения стержней:

=

l (t) −

l

=α' l

t −

N

(t)l

=17,088 10

−3

−

270,54 103 8,54

= 5,988

10

−3

м,

1

1

EA

0,69 105 106 3,02 10−3

1

1t

1

1

=

l2 (t) −

l2t

=α ' l2

t +

N2 (t)l2

=12,864 10−3 м.

EA2

Проверим, выполняется ли равенство (9):

2

l

=

l

cosα

1t

2t

2 5,988 10−3 =12,864 10−3 0,936

11,976 ≈12,040

Погрешность вычислений:

δ = 12,040 −11,976 100%

= 0,53% <1%,

что до-

11,976

пустимо в технических расчетах.

3.3 Определение напряжений и перемещений, вызванных неточностью изготовления стержня 1.

Так как стержень 1 изготовлен длиннее, чем предусмотрено схемой, то при сборке системы жесткий стержень АС займет положение АС1 (рисунок 6). При этом в стержне 1 возникнет сжимающее усилие N1(δ) , а в стержне 2 –

растягивающее усилие N2 (δ) . Стержень АС1 находится в равновесии под

действием усилий VA, HA, N1(δ), N2(δ). Задача, как и в предыдущих случаях, однажды статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости рассматриваем снова три стороны задачи.

14

Рисунок 6. а) Статическая сторона задачи.

Σx = 0;	H A − N1 (δ)sinα = 0,
Σy = 0;	V	+ N	(δ)cosα − N	2	(δ)	= 0,
	A	1
		(δ)cosα a − N2 (δ) 2a = 0					(11)
ΣmA = 0;	N1

б) Геометрическая сторона задачи

BB1

AB

Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует

=

.

CC

AC

ВВ2

δ1 −

l1δ

1

Так как ВВ1

=

=

, СС1 =

l2δ ,

то

δ1 − l1δ

a

1

cosα

cosα

=

=

или

l2δ cosα

2a

2

2(δ1 − l1δ ) =

l2δ cosα -

(12)

уравнение совместности деформаций элементов системы.

в) Физическая сторона задачи:

Укорочение стержня 1 и удлинение стержня 2, вызванные усилиями

N1(δ), N2(δ), действующими в этих стержнях, на основании закона Гука рав-

ны:

N1 (t)l1

N2 (t)l2

l

=

;

l

2t

=

(13)

1t

EA1

EA2

Подставляя выражения (13) в (12), будем иметь:

								N1 (δ)l1						N2 (δ)l2
				2		δ1 −							=					cosα .
								EA1							EA2
Решив это уравнение совместно с (11), получим:
		N1(δ) 8,54													N2 (δ) 4
2	0, 0015 −										=										0,936
		0,69 10	5	10	6	3,02	10		−3			0,69			5	6	1,51		10	−3
															10 10
3N1(δ) 0,94 −6N2 (δ) = 0,
										15

откуда N1(δ) =14,22кН - сжимающее усилие,

N2 (δ) = 30,28кН -

растягивающее усилие.

ны:

г) Монтажные напряжения в стержнях 1 и 2 от усилий N1(δ), N2(δ) рав-

N

(δ)

30, 28 103

σ

(δ) = −

= −

= −10,03МПа,

1

1

10−3

А

3,02

1

N

(δ)

14, 22 103

σ

2

(δ) =

2

=

1,51 10−3

= 9, 42МПа.

А

2

д) Перемещения стержней 1 и 2 равны:

l

l

N

(δ)l

30, 28 103 8,54

= 0,00026м = 0,026см,

=δ

−

=δ

−

1

1

= 0,0015 −

EA

0,69 105 106

3,02

10−3

1δ

1

1δ

1

N2 (δ)l2

1

l2δ

= l2δ =

= 0,00055м = 0, 055см.

EA2

Проверим, выполняется ли равенство (12):

2 l1δ = l2δ cosα

2 0,026 = 0,055 0,936

0,052 = 0,052

3.4 Определение усилий, напряжений и перемещений стержней Для определения усилий, напряжений и перемещений стержней систе-

мы пользуемся принципом независимости действия сил. а) Усилия в стержнях равны:

N1 = N1(F) + N1(t) + N1(δ) = 36,35 −270,54 −30,28 = −264,47 КН, N2 = N2 (F) + N2 (t) + N2 (δ) =82,98 +126,61+14,22 = 223,81 КН.

Проверка:

ΣmА = 0; N2 2а + N1 cosα а − F a = 223,81 6 −264,47 0,936 3 −600 = =1342,86 −1345,81 = −2,95;

Погрешность вычислений: δ = 1342,86−2,95 100% = −0,22% <1%, что допустимо в технических расчетах.

б) Напряжения в стержнях равны:

σ1 =σ1(F) +σ1(t) +σ1(δ) =12,04 −89,643 −10,03 = −87,63 МПа, σ2 =σ2 (F) +σ2 (t) +σ2 (δ) =54,95 +83,906 +9,42 =148,28 МПа.

в) Перемещения в стержнях равны:

l1 =	l1 (F ) +	l1t +	l1δ	=149, 02	10−5 +5, 988 10−3 + 0,	00026 = 7, 74 10−3 м,
l2 =	l2 (F ) +	l2t +	l2δ	= 318,55	10−5 +12,864 10−3 +	0, 00055 =16,59 10−3 м.

г) Геометрическая проверка

16

Рисунок 7.

Вычисленные перемещения l1 и l2 , отложенные в масштабе (рисунок 7), должны удовлетворять условию совместности деформаций системы, т.е.

должно соблюдаться равенство	BB1	=	AB	или	l1	=	а	= 1	, откуда
	CC1		AC		сosα l2		2а 2

7,74 10−3 = − 0,5

0,94 16,59 10 3

0,5 = 0,5

ВЫВОДЫ:

1)В статически неопределимых системах в отличие от статически определимых систем:

а) изменение температуры и неточность изготовления элементов системы приводят к появлению температурных и монтажных усилий и напряжений;

б) температурные и монтажные усилия и напряжения пропорциональны вызвавшим их факторам;

в) усилия по элементам системы распределяются пропорционально относительным жесткостям элементов.

2)Суммарные напряжения во втором стержне оказались значительно выше допускаемых. Снизить эти напряжения можно различными способами, например:

а) уменьшить δ первого стержня; б) создать +δ второго стержня;

в) увеличить рабочую температуру второго стержня; г) увеличить сечения стержней, сохранив заданное соотношение пло-

щадей и др..

17