5 Логарифмический декремент затухания

Логарифмический декремент затухания - безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону. 

Логарифмический декремент затухания, добротность.Коэффициент затухания  не дает полного представления об интенсивности затухания. Допустим, что для одного осциллятора колебания прекратились через 10 секунд, а для второго - через 100. Какой из осцилляторов обладает более быстрым затуханием? На этот вопрос ответить невозможно, если не учесть, сколько колебаний система успела совершить за это время. 

Для характеристики интенсивности затухания вводят понятие логарифмического декремента затухания. Пусть Т - условный период затухающего колебания, А_n и A_n+1 - амплитудные значения функции x(t) для двух ее последовательных экстремумов (см. рис. 12.7). Величина d, равная:

d = ln(А_n /A_n+1)     (12.12)

называется логарифмическим декрементом затухания. Выясним связь между и d:

d = ln( А_n /A_n+1) = ln(A₀·e ^- ·t/A₀·e ^{- ·(T + t)}) =  = ln(e ^·T) = ·T = d.     (12.13)

Используя уравнение (12.13), можно преобразовать закон изменения амплитуды:

A_n = A₀·e^-·t = A₀·e^-·T·t/T = A₀·e^-d·n,     (12.14) где n = t/T - число колебаний за время t.

A_n = A₀·e^-d·n.

Если n = 1/d, то A₀/A_n = e = 2.7318. 

Величина 1/d равна числу колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в е раз.

Если значение d невелико (d << 1), то можно показать, что

(A_n - A_n+1)/A_n = d.     (12.15)

Логарифмический декремент связан с другой важной характеристикой колебаний - добротностью  следующим соотношением:

 = /d.     (12.16)