- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Алгебра и геометрия
- •090900 – «Информационная безопасность» и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем»
- •1. Матрицы и определители
- •2. Невырожденные системы линейных алгебраических уравнений
- •3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •4. Операции над векторами в произвольном базисе
- •5. Операции над векторами в ортонормированном базисе
- •6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •9. Прямая линия в пространстве и плоскость
2. Невырожденные системы линейных алгебраических уравнений
Постановка задачи
Решить невырожденную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными матричным методом, по правилу Крамера и методом Гаусса.
План решения
Записываем матрицу системы A и вычисляем ее определитель detA. Убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Находим обратную матрицу . Умножая слева обе части матричного равенстваАХ = В на А–1, получаем решение системы – матрицу-столбец Х = А–1В.
Вычисляем определители Δ1 , Δ2 , Δ3 , полученные из определителя Δ = detA заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов – столбцом свободных членов. По формулам Крамера: ,i = 1, 2, 3 находим решение системы уравнений.
Расширенную матрицу системы уравнений элементарными преобразованиями приводим к ступенчатому виду. По ступенчатой матрице восстанавливаем систему уравнений и решаем ее снизу вверх.
Условие задачи
Решить невырожденную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными (табл. 2) матричным методом, по правилу Крамера и методом Гаусса.
Таблица 2
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
1 |
2 |
3 | |||
4 |
5 |
6 | |||
7 |
8 |
9 |
Окончание табл. 2
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
10 |
11 |
12 | |||
13 |
14 |
15 | |||
16 |
17 |
18 | |||
19 |
20 |
21 | |||
22 |
23 |
24 | |||
25 |
26 |
27 | |||
28 |
29 |
30 |
3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Постановка задачи
Найти нормальную фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений и записать общее решение системы.
План решения
Записываем основную матрицу системы и элементарными преобразованиями преобразуем ее к ступенчатому виду. По ступенчатой матрице восстанавливаем систему уравнений. Получаем трапецеидальную систему r уравнений с n неизвестными. Определяем, какие неизвестные в системе будут основными, какие свободными. Основные неизвестные оставляем слева, свободные переносим в правые части уравнений.
Для нахождения нормальной фундаментальной системы решений l1 , l2 , …, lk последовательно каждой свободной неизвестной присваиваем единичное значение, а остальным свободным неизвестным нулевое значение. Решая полученные системы уравнений, находим l1 , l2 , …, lk .
Записываем общее решение однородной системы: , гдеc1 , c2 , …, ck – произвольные постоянные.
Условие задачи
Найти нормальную фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (табл. 3) и записать общее решение системы.
Таблица 3
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
1 |
2 | ||
3 |
4 | ||
5 |
6 | ||
7 |
8 | ||
9 |
10 | ||
11 |
12 |
Окончание табл. 3
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
13 |
14 | ||
15 |
16 | ||
17 |
18 | ||
19 |
20 | ||
21 |
22 | ||
23 |
24 | ||
25 |
26 | ||
27 |
28 | ||
29 |
30 |