§4.8. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой

Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значенийt. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическим уравнением кривой.

Если , то, а.

Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R₃ своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значениюt можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргументаt. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора ,называется годографом.

Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:

Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.

Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой.

________________

4.8.1. Найти , если x=arccost, y=arcsint.

Ответ: .

4.8.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.

Ответ: .

4.8.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости приt=0; t=1.

Ответ: .

4.8.4. Определить кривизну кривой приt=1.

Ответ: .

Список рекомендуемой литературы

1. Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. для вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2003.

2. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: учеб. для инж.-техн. спец. вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2005.

3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Астрис-пресс, 2003. – Ч.1.

4. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов/ В.П. Минорский. – М:физ.мат.лит., 2004.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:Оникс 21 век; Мир и образование, 2005. – Ч.1.