- •Геометрия и топология
- •I курса очной формы обучения
- •Предисловие
- •1. Линейные операции над векторами
- •2. Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис
- •3. Скалярное произведение векторов
- •4. Векторное произведение векторов
- •5. Смешанное произведение векторов
- •6. Прямая на плоскости
- •7. Плоскость и прямая в пространстве
- •8. Кривые второго порядка
- •9. Полярная система координат
- •10. Поверхности
- •Список рекомендуемой литературы
3. Скалярное произведение векторов
3.1. Определить углы ∆АВС с вершинами А(2;-1;3); В(1;1;1) и С(0;0;5).
Ответ: В=С=45˚.
3.2. Даны векторы: =++2, и=-+4. Определитьи.
Ответ: .
3.3. Даны векторы ={3;-2;1},={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора.
Ответ: .
3.4. Даны компланарные векторы ,,, причем ||=3, ||=2, ||=5, ()=60˚ и ()=60˚. Построить вектори вычислить его модуль по формулеи=.
Ответ: 7.
3.5. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах: и, где и – единичные векторы, угол между которыми 60˚.
Ответ: .
3.6. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если известно, что ||=2, ||=3 и.
Ответ: 15, .
3.7. Дан вектор , где и – единичные векторы с углом 120˚ между ними. Найтиcos) и cos).
Ответ: cos)cos).
3.8. Найти угол между векторами: и , где и – единичные векторы, образующие угол 120˚.
Ответ: 120˚.
3.9. Определить угол между векторами и, если известно, чтои ||=1, ||=2.
Ответ: 2π/3.
3.10. Найти конус угла φ между диагоналями (АС) и (ВD) параллелограмма, если заданы три его вершины А(2;1;3), В(5;2;-1) и С(-3;3;-3).
Ответ: .
3.11. Даны точки А(2;2) и В(5;-2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы .
Ответ: М1(1;0) и М2(6;0).
3.12. Даны векторы (1;1) и(1;-1). Найти косинус угла между векторамии, удовлетворяющими системе уравнений,.
Ответ: -4/5.
3.13. ||=3, ||=5. Определить, при каком значении α векторыибудут перпендикулярны.
Ответ: α=±3/5.
3.14. Даны векторы: . При каких значенияхn угол между векторами тупой, прямой, острый?
Ответ: n<;n=;n>.
3.15. В треугольнике АВС =,=. Вычислить длину его высоты, если известно, чтои– взаимно перпендикулярные орты.
Ответ: 19/5.
3.16. Вычислить пр, если ||=||=1 и=120o.
Ответ: 1/2.
3.17. Зная, что ||=3, ||=1, ||=4 и=0, вычислить.
Ответ: -13.
3.18. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора, если, .
3.19. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору(2;1;-1) и удовлетворяющего условию =3.
Ответ: (1;1/2;-1/2).
3.20. Вектор перпендикулярен векторам(2;3;-1) и(1;-2;3) и удовлетворяет условию=-6. Найти координаты.
Ответ: (-3;3;3).
3.21. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.
Ответ:
3.22. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положенияА(-1;2;0) в положение В(2;1;3).
Ответ: 4.
3.23. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияА(2;4;6) в положение В(4;2;7).
Ответ: А=6.
3.24. На материальную точку действуют силы 1=,2=,3=. Найти работы равнодействующей этих сил и силы2 при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).
Ответ: 1; -6.
4. Векторное произведение векторов
4.1. ||=1, ||=2 и. Вычислить:
а) |[,]|; б) |[2+,+2]|; в) |[+3, 3-]|.
Ответ: а) ; б) 3; в)10.
4.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ответ: 1) 2) ; 3); 4) 3.
4.3. Доказать, что , и выяснить геометрическое значение этого тождества.
Ответ: Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма.
4.4. Векторы исоставляют угол 45˚. Найти площадь треугольника, построенного на векторах, если ||=||=5.
Ответ: 50
4.5. Дан треугольник с вершинами А(2;-1;2); В(1;2;-1); С(3;2;1). Найти его площадь.
Ответ: .
4.6. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4) и С(4;3;2).
Ответ: 2.
4.7. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4); В(1;0;6) и С(4;5;-2).
Ответ: 24,5.
4.8. В треугольнике с вершинами А(1;-1;2), В(5;-6;2) и С(1;3;-1) найти высоту h=||.
Ответ: 5.
4.9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30.
Ответ: 1,5.
4.10. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2-и 4-5, гдеи– единичные векторы.
Ответ: .
4.11. Определить, при каких значениях α и β вектор будет коллинеарен вектору [,], если (3;-1;1),(1;2;0).
Ответ: α=-6; β=21.
4.12. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам(4;-2;-3) и(0;1;3) образует с ортомтупой угол и ||=26.
Ответ: (-6;-24;8).
4.13. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам(2;-3;1) и(1;-2;3), а также удовлетворяет условию=10.
Ответ: (7;5;1).
4.14. Сила приложена к точкеА(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки О(3;2;-1).
Ответ: .
4.15. Сила =приложена в точкеМ(2;-1;1). Найти ее момент относительно начала координат.
Ответ: .
4.16. Даны три силы: (2;-1;-3),(3;2;-1) и(-4;1;3), приложенные к точкеА(-1;4;2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О(2;3;-1).
Ответ: ;cosα=1/;cosβ=-4/;cosγ=-7/.