Метод. указания к РГР

Рис. 11. Расчётные схемы к заданию 5. В кружках – номера вариантов

31

M x1 F1 0 0;

ПРИМЕР РАСЧЕТА

Пространственный ломаный брус круглого сечения нагружен внешними силами F1 30 кН и F2 40 кН (рис. 12, а). Определить диаметр поперечного сечения бруса при известной длине l 0,5 м, пределе текучести стали т 340 МПа, коэффициенте запаса прочности

S 3.

Решение

1. При построении эпюр для пространственных брусьев выбирают текущую систему координат на прямолинейном участке со стороны свободного конца. При этом ось z всегда направляют в сторону свободного конца, а оси х и у правой системы координат размещают в плоскости сечения. При переходе к последующему участку поворачивают систему координат, принятую на предыдущем участке, относительно оси, перпендикулярной плоскости, образуемой смежными участками рамы.

Построение эпюр начинаем от свободного конца, двигаясь по прямолинейным участкам в сторону защемления. Эпюры строим, поочерёдно: сначала только от силы F1 , а затем только от силы F2 . Результирующие эпюры внутренних силовых факторов получим сложением эпюр, построенных от каждой силы в отдельности.

2. Строим эпюры только от силы F1 . На первом участке ось z направлена к свободному концу (рис. 12, а). Изгибающий момент действует относительно оси х, при переменной координате z1 получим M x1 F1 z1, 0 z1 l;

при z1 0

при z1 l M x1 F1 l 30 0,2 6 кН∙м (сжатый слой бруса снизу). На втором участке ось z направлена вдоль продольной оси к сво-

бодному концу. Перенесём силу F1 в начало второго участка, приложив к нему вращающий момент T F1 l1 , постоянный на всем участке II и направленный против часовой стрелки (знак положительный). Изгибающий момент действует относительно оси х.

Введя переменную z2 , получим M x2 F1 z2 , 0 z2 l; при z2 0 M x2 F1 0 0;

32

при z2 l M x2 F1 l 30 0,2 6 кН∙м (сжатый слой бруса снизу). На третьем участке ось z направлена вдоль продольной оси к сво-

бодному концу (рис. 12, а). В начале третьего участка действуют изгибающие моменты, постоянные на всей длине участка III:

M x3 F1 l 30 0,2 6 кН∙м (сжатый слой бруса слева); M y3 F1 l 30 0,2 6 кН∙м (сжатый слой бруса сзади).

На четвёртом участке ось z направлена вдоль продольной оси к свободному концу (рис. 12, а). В начале четвертого участка действует сила F1 и возникшие при её переносе вращающий момент T F1 l , направленный против часовой стрелки (знак плюс), и изгибающий

момент Mx		F1	l . Введем переменную z 4 , получим Mx4 Mx F1 z4,
0 z2 2 l;
при z4	0	M x4	M x	F1 l 30 0,2 6 кН∙м;
при z4	2l	Mx4 Mx		F1 2l F1 l F1 2l 30 0,2 30 2 0,2 6 кН∙м

(сжатый слой с начала участка до середины – сверху, а затем – снизу). Эпюра крутящих моментов постоянная на всей длине участка че-

тыре, T F1 l 30 0,2 6 кН∙м (положительное направление).

3. Строим эпюры только от силы F2 . На первом и втором участках сила F2 не вызывает изгибающих и крутящих моментов. В этом можно убедиться, применяя метод сечений для каждого из участков.

На третьем участке вводим переменную координату z3 (0 z3 l). Изгибающий момент на этом участке: M x3 F2 z3 ,

при z3 0 M x3 F2 0 0 кН∙м;

при z3 l M x3 F2 l 40 0,2 8 кН∙м (сжатый слой справа).

На четвертом участке действуют перенесенная в его начало сила F2 и вращающий момент T F2 l1. Введем переменную координату

z4 (0 z4 l). Изгибающий момент M y 4				F2 z4 ,
при z4	0	M y4	0;
при z4	2l	M y4	F2 2l 40 2 0,2 16 кН∙м (сжатый слой справа).

Крутящий момент постоянный на всём четвертом участке

T4 F2 l 40 0,2 8 кН∙м (рис. 12, в).

4.Строим результирующую суммарную эпюру путем сложения эпюр моментов, действующих в одной плоскости. Например, на тре-

33

тьем участке эпюра		M x3 :
при z3 0	M x 3 F1 l		30 0, 2	6 кН∙м;
при z3 l	M x 4 F1	l F2	l l(F1	F2 ) 0, 2(30 40) 2 кН∙м.

Эпюра представлена наклонной прямой, пересекающей базисную линию. Крутящий момент на четвёртом участке

T F1 l F2 l l(F1 F2 ) 0,2 (30 40) 2 кН∙м.

На остальных участках результирующие эпюры дублируют графики соответствующих участков эпюр от отдельных сил (рис. 12, г).

5. Определим диаметр поперечного сечения пространственного бруса из условия его прочности при сложном нагружении. Диаметр

определяем по формуле

d 3 10 M экв III

/

,

где Mэкв III – эквивалентный момент, полученный по третьей гипотезе

прочности, Mэкв III

M x2 M y2 T 2 , M x ,

M y - изгибающие моменты

– до-

в опасном сечении относительно осей x и y соответственно;

/ S 340 / 3 113 МПа = 113 Н/мм2.

пускаемые напряжения,

Рис. 12. К расчету балки при сложном нагружении: а – расчётная схема; б, в – эпюры изгибающих и крутящих моментов сил F1 и F2 ; г – результирующая эпюра

34

В наиболее нагруженном сечении защемления максимальный эквивалентный момент

Mэкв III M x2 M y2 T 2 62 162 22 17,2 кН∙м,

тогда диаметр в наиболее нагруженном сечении:

d 3(17, 2 106 ) / 113 53, 4 мм.

Принимаем диаметр бруса d 54 мм.

6. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Задание 6. Определить диаметр для раздаточного вала постоянного сечения (рис. 13), передающего вращательное движение мощностью Р со шкива 1 на шкив 2 и 3 при частоте вращения n (табл. 6). Допускаемые напряжения 60 МПа, диаметры шкивов D1 , D2 и

D3 , силы натяжения ветвей ремня Fi 2Fi' , расстояние между шкивами li .

Указания по выполнению задания

1. Определить вращающие моменты, действующие на вал, по заданным значениям мощности P и частоты вращения n:

T1 P / 30P / ( n),

T2 T3

0,5T1.

2. Вычислить окружную силу Fti 2Ti / Di и силы напряжения ветвей ремня

Fi Fti Fi' ,при Fi 2Fi'.

3.Перенести действующие на вал нагрузки на его ось. Отбросить опоры вала, заменив их действие опорными реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

4.Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определить реакции опор в обеих плоскостях.

5.Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной M x и

горизонтальной M y плоскостях и эпюру крутящих моментов.

6. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

M эквШ M x2 M y2 T 2 .

7. Рассчитать диаметр вала в этом сечении d 310 MэквШ / .

35

Рис. 13. Расчётные схемы к заданию 6. В кружках – номера вариантов

36

ПРИМЕР РАСЧЁТА

Определить диаметр раздаточного вала постоянного сечения (рис. 14, а), передающего мощность Р 3 кВт со шкива 1 на шкивы 2 и 3 при частоте вращения п 60 мин 1 , диаметрах шкива D1 320 мм,

D2 200	мм, D3 180 мм, расстояниях l1 l2 l3								l4 200 мм и допус-
каемых напряжениях [ ] 50					МПа. Натяжение ветвей ремня F 2F'.
											i	i
											Таблица 6
			Исходные данные к заданию 6
Параметр			Числовые значения параметров по вариантам.
		1	2	3	4	5		6	7	8	9	10
Р,кВт		5	6	7	8	9		10	11	12	13	14
n, мин 1		750	750	750	1000	1000		1000	1000	1500	1500	1500
D1 , мм		300	300	300	250	250		250	250	350	350	350
D2 , мм		200	200	150	200	150		300	150	300	200	250
D3	,	150	250	250	300	200		150	200	200	300	150
l1 , м		0,1	0,1	0,15	0,15	0,1		0,15	0,2	0,25	0,25	0,2
l2 , м		0,2	0,15	0,3	0,25	0,3		0,35	0,35	0,25	0,25	0,2
l3 , м		0,3	0,3	0,2	0,3		0,25	0,25	0,25	0,25	0,3	0,25
l4 , м		0,15	0,2	0,1	0,1		0,15	0,2	0,2	0,15	0,2	0,25

Решение

1. Определим вращающие моменты, действующие на вал от шкива 1:

T1 P/ 30 P/ ( n) 30 3 103 / (3,14 600) 47,8 Н∙м.

Вращающие моменты, снимаемые со шкивов 2 и 3

T2 T3 0,5 47,8 23,9 Н∙м. 2. Вычислим окружные силы на шкивах:

на первом шкиве Ft1 2T1 / D1 2 47,8 103 / 320 299 Н;

37

	на втором шкиве F	2T	/ D 2 23,9 103	/ 200 239	Н;
	t 2	2	2
	на третьем шкиве F	2T	/ D 2 23,9 103	/180 266	Н.
	t3	3	3

Силы напряжения ветвей ремней на шкивах:

на первом шкиве F1 Ft1 F1' Ft1 0,5F1; 0,5F1 Ft1;

F1 2Ft1 2 299 598 Н;

F'		0,5F 0,5 598 299 Н,																																										R F																F ' 598 299 897																												Н.
1		1																						F2 2Ft 2																			1							1															1
на втором шкиве																																												2 239 478 Н;
F ' 0,5F 0,5 478 239 Н, R F F ' 478 239 717																																																																Н;
2		2																						F3 2Ft3																										2										2					2
на третьем шкиве																																												2 266 532 Н;
F ' 0,5F 0,5 532 266 Н, R F F ' 532 266 798																																																																Н.
3		3																																																3										3					3

Рис. 14. К расчёту вала при сложном сопротивлении:

а - расчетная схема вала; б - эпюра изгибающего момента Мх; в - эпюра изгибающего момента Му; г - эпюра крутящего момента Т

38

3. Из условия статического равновесия вала в вертикальной плоскости определим реакции YА и YВ :

M A R2 l1 R3 (l2 l3 ) YВ (l2 l3 l4 ) 0;

YВ R2 l2 R3 (l2 l3 ) / (l2 l3 l4 )

717 200 798 (200 200) / (200 200 200) 771 Н.

Знак минус указывает на то, что реакция YВ направлена в противоположную сторону.

MВ R2 (l1 l2 l3 l4 ) YA (l2 l3 l4 ) R3 l4 0;

YA (R(l1 l2 l3 l4 ) R3 l4 ) / (l2 l3 l4 )

(717 (200 200 200 200) 798 200) / (200 200 200) 690 Н.

Проверка: Yi R2 YА R3 YВ 717 690 798 771 0.

Реакции опор определены верно.

Из условия статического равновесия вала в горизонтальной плоскости определим реакции Х А и Х В :

M А R1 l2 X В (l2 l3 l4 ) 0;

Х В R l2 (l2 l3 l4 ) 897 200 / (200 200 200) 299 Н;

M В Х А (l2 l3 l4 ) R1 (l3 l4 ) 0;

X A R1 (l3 l4 ) / (l2 l3 l4 ) 897 (200 200) / (200 200 200) 598 Н. Проверка: Xi X А R1 X В 598 897 299 0.

Реакции опор определены верно.

4. Разобьём вал на четыре силовых участка (рис. 14, б). Построим эпюру изгибающего момента в вертикальной плоскости (эпюра Мх). На участке I переменная координата z1 0 z1 l1 , M1 R2 z1;

при z1 0 M1 0;

при z1 l1 M1 R2 l1 717 200 143400 Н∙мм 143,4 Н∙м.

На участке II переменная координата z2 0 z2 l2

M2 R2 (l1 z2 ) YА z2 ;

при z2 0 M2 R2 l1 143,4 Н∙м;

при z2 l2

M 2 R2 (l1 l2 ) YА l2 717(200 200) 690 200 148800 Н∙мм =

148,8 Н∙м.

На участке III переменная координата z3 0 z3 l3

39

		M 3 R 2 (l1 l2 z 3 ) Y А (l2 z3 );
при z2	0	M3 R2 (l1 l2 ) 148,8 Н∙м;
при z3	l3

M3 R2 (l1 l2 l3 ) YА (l2 l3 ) 717(200 200 200) 690(200 200)

154200		Н∙мм 154,2 Н∙м.
На четвёртом участке переменная z4 от опоры В 0 z4 l4
		M4 YВ z4 ;
при z4	0	M4 0;
при z4	l4	M4 YВ l4 771 200 154200	Н∙мм 154,2 Н∙м.

Произошла стыковка числовых значений эпюр, построенных с разных сторон (рис. 14, в).

Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости (эпюра Му) (рис. 14, г). На первом силовом участке переменная

	координата z1 0 z1			l2 ,
	при z1	0	M1 0;	M1 Х А z1;
	при z1	l2	M1 Х А l2	598 200 119600 Н∙мм 119,6 Н∙м.
	На четвёртом силовом участке переменная координата z4
	0 z4 l4			M4 Х В z4 ;
	при z4	0	M4 0;
	при z4	l4	M4 Х В l4 299 200 59800 Н∙мм 59,8 Н∙м.

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 14, д). На участках I и II действует постоянный крутящий момент, направленный против часовой стрелки (знак плюс), T12' T2 23,9 Н∙м. Крутящий момент на участках три и четыре T34' T2 T1 23,9 47,8 23,9 Н∙м.

4.Наибольший эквивалентный момент действует в сечении на границе участков I и II. Его значение:

M эквIII

M 32 M 22 T 2

148,82 119,62 23,92

192,4 Н∙м.

5. Определим диаметр вала

d 3(10M эквIII ) / 3(10 192,4 103 ) / 50 33,7 мм.

Принимаем диаметр вала d 34 мм.

40