50

1.Сдача отчетов по выполнению заданий домашней работы (темы 4-5) и собеседование с преподавателем.

2.Сдача зачетов по темам 4 − 5.

6.ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ

6.1.Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция

Задание 1

Дана таблица значений y0 , y1 , y2 , y3 , некоторой функции

y = f ( x) в точках x0 = −1, x1 = 0 , x2 =1, x3 = 2. Требуется построить по ней интерполяционный многочлен y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 ) в форме

Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен

Ньютона	x = P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) . Сравнить полученные результаты.
Построить		на	одном	рисунке		графики		многочленов
y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 )			и x = P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) (используя, например,
Excel). Отметить положение на					этом	рисунке	табличных		точек
( xi , yi ) Варианты для выполнения задания 1 взять из табл. 1.1:
№					№			Таблица 1.1
	y0	y1	y2	y3		y0	y1	y2	y3
варианта					варианта
1	-2	0	2	10	13	-8	0	8	22
2	-3	0	3	12	14	-9	0	9	24

					51
3	-4	0	4	14	15	-10	0	10	26
4	-5	0	5	16	16	-11	0	11	28
5	-6	0	6	18	17	-12	0	12	30
6	-7	0	7	20	18	-13	0	13	32
7	-3	-1	1	9	19	-7	1	9	23
8	-4	-1	2	11	20	-8	1	10	25
9	-5	-1	3	13	21	-9	1	11	27
10	-6	-1	4	15	22	-10	1	12	29
11	-7	-1	5	17	23	-11	1	13	31
12	-8	-1	6	19	24	-12	1	14	33

Задание 2

Дана функция y = f ( x) , x [a ;b]. Отрезок [a ; b] делится на три

равных части точками xi = a + ih , где	h =	b −a	, i = 0,1, 2,3.	Вычисляются
	3

значения этой функции y = f ( xi ) , i =0,1, 2,3 . По полученной таблице значений функции строится интерпо-ляционный многочлен

Лагранжа y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 ) ,	который	используется для
приближения функции y = f ( x) .	Найти	и записать оценку

погрешности интерполяции как функцию х. Варианты для выполнения задания 2 взять из табл. 1.2.

Таблица 1.2

№	f (x)	a	b	№	f (x)			a	b
варианта				варианта
1	sin 2x − cos x	0	3	13	sin x + cos x			0	3
2	cos3x + 2x	0	3	14	cos2 x +1			0	3
3	ln 2x − x	1	4	15	sin 2 x −1			0	3
4	ln(x +1) +1	1	4	16	ln x + x2			1	4
5	e2 x − x2	-1	1	17	e x − x			-1	1
6	e3x + x	-1	1	18	ex + ln x			1	4
7	sin 2x + cos x	0	3	19	sin x − cos x			0	3
8	cos 3x − 2x	0	3	20	cos2 x	−		0	3
9		1	4	21			1	0	3
	ln 2x + x				sin 2 x	+
10		1	4	22			1	1	4
	ln(x +1) −1				ln x −x 2
11	e2x + x2	-1	1	23	e x + x			-1	1
12	e3x − x	-1	1	24	e x −ln x			1	4

6.2. Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение

Задание 1

ψ( x)

52

	Дана функция	f (x) .	Разложить эту функцию в
				a0	∞
	тригонометрический ряд Фурье				+ å(ak cos kx + bk sin kx)	на [−π;π].
			2
					k =1

Изобразить график периодического (с периодом 2π ) продолжения функции f (x) и график суммы ряда Фурье. Построить (с помощью Excel, например) на одном чертеже график функции y = f ( x) и график y = sn ( x) , наилучшего среднеквадратического приближения

для функции f (x) на [−π;π]			в	множестве тригонометрических
многочленов n-ой степени	æ	α0	n	ö	при следующих
	çç		+ å (αk cos kx + βk sin kx) ÷÷
	è	2	k =1	ø

значениях n: 1, 10, 50. Пронаблюдать явление Гиббса. Варианты для выполнения задания 1 взять из табл. 2.1.

Задание 2

Дана таблица значений, y j , ( j =1, 2 , ,8) некоторой функции

y = f ( x) в точках x j , ( j =1, 2 , ,8). Значения y j приближенные и имеют значительные погрешности.

Получить (используя, например, Excel) наилучшее среднеквадратическое приближение для функции y = f ( x) в семействе линейных функций ϕ( x) = ax + b (найти a и b) методом наименьших квадратов, построить его график, показать на нем табличные точки (x j , y j ).

Задание 3

Дана таблица значений y j , ( j =1, 2 , ,8) некоторой функции

y = f ( x)	в точках x j ,	( j =1, 2 , ,8).	Значения	y j имеют
значительные погрешности.
Для	построения	наилучшего	среднеквадратического
приближения функции		y = f ( x) методом	наименьших	квадратов

подобрать наиболее подходящее параметрическое семейство функций среди следующих семейств нелинейных функций: y = ax1+ b ,

y = a 1x + b , y = axx+ b , y = axb , y = aebx , y =a ln x +b .

Получить (используя, например, Excel) наилучшее среднеквадратическое приближение функции y = f ( x) в выбранном семействе нелинейных функций (вычислить коэффициенты a и b), а также построить график этого приближения, показать на нем табличные точки (x j , y j ).

53

№

варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

					f (x)						№
											варианта
	f(x)=		ì1+ x, xÎ [0,π ],								13
			í	x- 1,		xÎ	[- π ,0).
			î								14
	f(x)=		ì1, xÎ			[0,π	]	,
			í	x- 1,		xÎ	[- π ,0).
			î								15
	f(x)=			ì1+ x, xÎ [				0,π ]	,
				í	- 1,	xÎ [- π ,0).
				î							16
	f(x)=			ì1- x, xÎ [				0,π ]	,
				í	- 1,	xÎ [- π ,0).
				î							17
	f(x)=	ì1,			xÎ	[0,π	],
		í	- 1- x, xÎ				[- π ,0).
		î									18
	f(x)=	ì	- x+ 1, xÎ [0,π ]							,
		í	- 1- x, xÎ				[- π ,0).
		î									19
	f(x)=		ì1- x, xÎ [0,π ],
			í	x- 1,		xÎ	[- π ,0).
			î								20
	f(x)=		ì1, xÎ			[0,π	]	,
			í	x+ 1,		xÎ	[- π ,0).
			î

				Таблица 2.1
				f (x)
f(x)=		ì	2+ x, xÎ [0,π ],
		í	x- 2, xÎ [- π ,0).
		î
f(x)=		ì	2, xÎ [0,π ],
		í	x- 2, xÎ [- π ,0).
		î
f(x)=			ì	2+ x, xÎ [0,π ],
			í	- 2, xÎ [- π ,0).
			î
f(x)=			ì	2- x, xÎ [0,π ],
			í	- 2, xÎ [- π ,0).
			î
f(x)=	ì	2,		xÎ [0,π ],
	í	- 2- x, xÎ [- π ,0).
	î
f(x)=	ì	- x+ 2, xÎ [0,π ],
	í	- 2- x, xÎ [- π ,0).
	î
f(x)=		ì	2- x, xÎ [0,π ],
		í	x+ 2, xÎ [- π ,0).
		î
f(x)=		ì	-	2, xÎ [0,π ],
		í	x- 2, xÎ [- π ,0).
		î