1.4.2 Відбивання променів плоскою поверхнею

Відбивання променя плоскою поверхнею (плоским дзеркалом) ілюструє рис. 1.6. Зображення А' точкиАвиходить уявним. Воно знаходиться на перетині продовження відбитого променя та нормалі, що проведена до поверхні через т.А(вздовж цієї нормалі розповсюджується інший падаючий та відбитий промені).

Рисунок 1.6 – Відбивання променя плоскою поверхнею

Згідно закону заломлення кут падіння εдорівнює куту відбиванняε'. Тому трикутникиАОМтаА'ОМтакож будуть рівні (за гострим кутом та спільним катетом).З рівності трикутників випливає, що

.

Ця рівність буде забезпечуватися для будь яких кутів εпадіння променів. Отже плоске дзеркало не порушує гомоцентричності пучків променів, а значить забезпечує отримання ідеального зображення.

Аналогічно можна побудувати зображення А'В' відрізкаАВ. З рівності трикутників випливає, щоА'В' =АВ, а отже ідеальне зображення, отримуване за допомогою плоского дзеркала, є повністю ідентичним предмету.

При відбиванні від плоского дзеркала промінь змінює напрям свого розповсюдження на кут 2ε(рис. 1.6), деε– кут падіння променя на відбивальну поверхню. При повороті плоского дзеркала на кутφ, нормаль до його поверхні також повертається на кутφ. У результаті кут падіння променя змінюється наφ. Оскільки кут відбивання дорівнює куту падіння, то кут між падаючим та відбитим променями змінюється на 2φ. Таким чином, поворот плоского дзеркала на кутφвикликає зміну напряму розповсюдження відбитого від нього променя на кут 2φ.

Зображення, що отримується від одного плоского дзеркала, є дзеркальним. Для того, щоб отримати пряме зображення треба використати ще одне дзеркало. Отже, непарна, у загальному випадку, кількість дзеркал утворює дзеркальне зображення, а парна – пряме.

1.4.3 Заломлення променів сферичною поверхнею

Розглянемо заломлення світлових променів на сферичні поверхні. Нехай промінь із середовища з показником заломлення n₁потрапляє у середовище з показником заломленняn₂(n₂> n₁) через т.Мна межі середовищ, яка є сферичною поверхнею радіусаrіз центром в т.О(рис. 1.7). Кут падіння променя, який відраховується від нормалі до поверхні у т.М, складаєε. Нормаль задається, радіусом, проведеним із центра кривизни сферичної поверхні – т.Оу т.М.

Рисунок 1.7 – Заломлення променя на сферичній поверхні

Кут εє зовнішнім кутом ∆АМО. Тоді, використовуючи позначення прийняті на рис. 1.7, для кутаεможна записати:

. (1.13)

Аналогічно для кута φ, який є зовнішнім кутом ∆А'ОМ, отримаємо:

. (1.14)

З виразів (1.13) та (1.14) отримаємо:

. (1.15)

З ∆АМОза теоремою синусів можна записати:

,

або

.

Звідки, з врахуванням виразу (1.13) та того, що sin(–α) = –sinα, отримаємо

. (1.16)

З ∆А'ОМза теоремою синусів отримуємо:

,

або

.

Звідси:

. (1.17)

За законом заломлення

,

або

. (1.18)

Знаючи положення т. А(відстаньs) та кутσ, що задає напрям розповсюдження променя, за виразом (1.16) можна знайти кутεпадіння промені на заломлювану поверхню. Далі, за законом заломлення (1.18) визначається кутε'заломлення. За виразом (1.15) знаходиться кутσ', що визначає новий напрям розповсюдження променя після заломлення. На завершальному етапі за виразом (1.17) визначається відстаньs', яка задає положення т.А', що є зображенням т.А, утворюваним сферичною заломлюваною поверхнею.

Відрізок s'є нелінійною функцією кутаσ, тому зображенням т.Абуде певна множина точок на оптичній осі, кожна з яких відповідає певному початковому напряму розповсюдження променів. У загальному випадку ця множина є нескінченною. Отже при дії сферичної заломлюваної поверхні гомоцентричність пучка променів порушується.

Якщо промінь розповсюджується через кілька сферичних заломлюваних поверхонь, їх загальний вплив оцінюють послідовним використанням формул (1.15) - (1.18) для кожної заломлюваної поверхні, так само як це було описано вище. При цьому приймається до уваги, що зображення, отримуване після чергової поверхні, є предметом по відношенню до наступної (наприклад, зображення, отримуване після першої поверхні, є предметом по відношенню до другої). У результаті застосування кількох сферичних поверхонь можна досягти збереження гомоцентричності вихідного пучка променів.