Вычислит.мат_лаб.р

procedure runge_ku(a,b:real;n,kolfun :integer;x:real;var y_1:TFunZnach;)

h=(b-a)/n

I

I>N

K

K>kolfun

kf[k,1]=h*f(x,y_1[k]) kf[k,2]=h*f(x+0,5*h,y_1[k]+ 0,5*kf[k,1]) kf[k,3]=h*f(x+0,5*h,y_1[k]+ 0,5*kf[k,2]) kf[k,4]=h*f(x+h,y_1[k]+ kf[k,3])

K=K+1

K

x=x+h

K

K>kolfun

y_1[k]=y_1[k]+h/6*(kf[k,1] +2*kf[k,2]+2*kf[k,3]+ kf[k,4])

K=K+1

K

I=I+1

I

Возврат

Рисунок 31 - Схема алгоритма метода Рунге-Кутта

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

x=0 y1=0	y2=0
x=0,1 y1=0	y2=0,09

x=0,2 y1=0,01 y2=0,19 x=0,3 y1=0,03 y2=0,29 x=0,4 y1=0,06 y2=0,38 x=0,5 y1=0,10 y2=0,46 x=0,6 y1=0,15 y2=0,53 x=0,7 y1=0,20 y2=0,60 x=0,8 y1=0,27 y2=0,66 x=0,9 y1=0,34 y2=0,72 x=1 y1=0,41 y2=0,77

71

x=1,1 y1=0,49 y2=0,81 x=1,2 y1=0,58 y2=0,85 x=1,3 y1=0,67 y2=0,88 x=1,4 y1=0,76 y2=0,91 x=1,5 y1=0,86 y2=0,94 x=1,6 y1=0,96 y2=0,96 x=1,7 y1=1,06 y2=0,98 x=1,8 y1=1,17 y2=1,00 x=1,9 y1=1,27 y2=1,02 x=2 y1=1,38 y2=1,03 x=2,1 y1=1,49 y2=1,04 x=2,2 y1=1,60 y2=1,05 x=2,3 y1=1,71 y2=1,06 x=2,4 y1=1,82 y2=1,07 x=2,5 y1=1,93 y2=1,08 x=2,6 y1=2,05 y2=1,08 x=2,7 y1=2,16 y2=1,09 x=2,8 y1=2,28 y2=1,09 x=2,9 y1=2,39 y2=1,10

Варианты заданий для решения задачи Коши методом Эйлера приведены в таблице 7.

72

Лабораторная работа №9 Решение задачи Коши Многошаговые методы

Метод Адамса (явный)

Входные параметры: a,b – интервал приближения; n – количество точек приближения; Kolfun – порядок системы; x – начальное значение x0 ; y_1 –

массив из kolfun чисел, содержащий начальное значение y.

Выходные параметры: y_1 – массив из kolfun чисел, содержащий приближенное решение системы.

Схема алгоритма показана на рисунке 32.

Пример. Решить задачу Коши на отрезке [0,3] с шагом 0,1

y1	x	y2		y (0)		0
				1
y2	x	е	xy1	y2	(0)	0

Текст программы:

procedure adams (a,b:real;n,kolfun:integer;x:real;var y_1:TFunZnach); var Fun:array[1..NumFun,1..4] of real;

h:real; begin h:=(b-a)/n;

for i:=1 to 4 do

begin for k:=1 to kolfun do fun[k,i]:=f(y_1[k],x); runge_ku(a,b,1,1,x,y_1); x:=x+h; end;

for i:=5 to n do begin

for k:=1 to kolfun do begin

y_1[k]:=y_1[k]+h/24*(55*fun[k,4]-59*fun[k,3]+37*fun[k,2]-9*fun[k,1]); fun[k,1]:=fun[k,2];

fun[k,2]:=fun[k,3];

fun[k,3]:=fun[k,4]; fun[k,4]:=f(y_1[k],x); end; x:=x+h;

end;{ y_1:=y_0;} end

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

x=0 y1=0	y2=0
x=0,1 y1=0	y2=0,09

73

x=0,2 y1=0,01 y2=0,19 x=0,3 y1=0,03 y2=0,29 x=0,4 y1=0,06 y2=0,38 x=0,5 y1=0,10 y2=0,46 x=0,6 y1=0,15 y2=0,53 x=0,7 y1=0,20 y2=0,60 x=0,8 y1=0,27 y2=0,66 x=0,9 y1=0,34 y2=0,72 x=1 y1=0,41 y2=0,77 x=1,1 y1=0,49 y2=0,81 x=1,2 y1=0,58 y2=0,85 x=1,3 y1=0,67 y2=0,88 x=1,4 y1=0,76 y2=0,91 x=1,5 y1=0,86 y2=0,94 x=1,6 y1=0,96 y2=0,96 x=1,7 y1=1,06 y2=0,98 x=1,8 y1=1,17 y2=1,00 x=1,9 y1=1,27 y2=1,02 x=2 y1=1,38 y2=1,03 x=2,1 y1=1,49 y2=1,04 x=2,2 y1=1,60 y2=1,05 x=2,3 y1=1,71 y2=1,06 x=2,4 y1=1,82 y2=1,07 x=2,5 y1=1,93 y2=1,08 x=2,6 y1=2,05 y2=1,08 x=2,7 y1=2,16 y2=1,09 x=2,8 y1=2,28 y2=1,09 x=2,9 y1=2,39 y2=1,10

74

procedure adams(a,b:real;n,kolfun:int eger;x:real;var y_1:TFunZnach)

h=(b-a) / n

I

I>4

K

K>kolfun

fun[k,i]=f(y_1[k],x)

K=K+1

K

runge_ku(a,b,1,1,x,y_1)

x=x+h

I=I+1

I

I

I>5

K

K>kolfun

y_1[k]=y_1[k]+h/24*(55*fu n[k,4]-59*fun[k,3]+37*fun[ k,2]-9*fun[k,1])

fun[k,1]=fun(k,2)

fun[k,2]=fun(k,3)

fun[k,3]=fun(k,4) fun[k,4]=f(y_1[k],x)

K=K+1

K

x=x+h

I=I+1

I

Возврат

Рисунок 32 - Схема алгоритма явного метода Адамса

75

Варианты заданий

Таблица 7

№	F1(x,y1,y2)														F2(x,y1,y2)							y1(a)	y2(a)	a	b
варианта
1		2													3							4	5	6	7
1	arctg(	1					2						2 )		sin( y1 y2 )							1	0	-1	1
		1				y1					y		2
2	arctg( x 2							y22 )							sin( x				y1 )			0,5	1,5	0	2
3	y1		x		2						2				cos( y1				xy2 )			-1	1	0	4
				y					y
											2
				1
4			e y1 y2													xy1y2						1	0	0	5
5	x														y2							0,2	0	-1	1
				x 2					y22
		1													1		x 2		y	2
																			1
6	sin( x 2						y22 )								cos( xy1 )							0	0	0	4
7			sin y2													cos y1						0,5	-0,5	1	3
8	x cos( y1							y2 )							sin( y1				y2 )			-0,6	2	2	5
9	sin y1 cos3							y2							cos y1 cos y2 )							0	0	-1	3
10	sin(y1y2)														cos(xy1y2)							0,5	1,2	0	2
11	arctg(	1						2					y 2	)	sin(y1y2)							1	1	1	4
		1											2
							y1
12	y2														y2 cos x				sin2x			0,8	3,5	2	3
		1		x		2			y	2
									1
13	y1		x		2						2				cos( y1				xy2 )			1	-1	2	4
				y					y
											2
				1
14		sin( xy2 )													cos( xy1 y2 )							0	-3	2	5
15	cos( y1 y2 )														sin( y1				y2 )			0	0	0	2
16			y2ln x												sin( x				y2 )			-2	-1	1	4
17	cos y1 cos y2 )														y2							0	1	-1	1
															1		x	2	y	2
																			1
18	arctg(	1					2						2 )			sin y1						0	0	-2	1
		1				y1					y		2
19		y1+y2													cos( xy1 )							0	0	0	4
20	x cos( y1							y2 )								Y1y2						-1	1	0	4
21	cos( y1 y2 )														y2 cos x				sin2x			-1	5	2	4
22	y2														sin( y1				y2 )			1	1	0	3
		1		x		2			y	2
									1
23	cos( x						y2 )								sin( x				y2 )			0,7	-0,5	0	4
24	x cos( y1							y2 )							y2							0	0	0	2
															1		x	2	y	2
																			1
25	x														y2							0,2	0	0	3
				x 2					y22
		1													1		x 2		y	2
																			1

76

Продолжение таблицы 7

1		2						3	4	5	6	7
26			sin y2					cos( y1 y2 )	1	-1	0	1
27	y	2						sin( y1 y2 )	-2	3	-1	1
		1 x		2	y	2
					1
28		sin( xy2 )						x cos( xy1 )	0	0	0	2
29			y2ln x					y1y2	0	0	-5	0
30		sin( y1 y2 )						cos( xy1 y2 )	-1	2	0	2

77

Лабораторная работа №10 Численное интегрирование и дифференцирование

Метод Симпсона

Входные параметры: a,b – интервал интегрирования; h – шаг интегрирования; fun – вид функции.

Выходные параметры: d – погрешность интегрирования; res – значение интеграла функции.

Схема алгоритма показана на рисунке 33.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью 0,01

	1 cos x 1			dx
	0	x2

Текст программы:

procedure Simpson(fun:string;a,b,h:real;var res,d:real); var f0,f1,s,s1,s2,h,x1,x2:real;

n:integer; begin

form3.Memo1.Lines.Add('');

f0:=Execute(fun,a);

f1:=Execute(fun,b); s:=f0-f1;

s1:=(b-a)*(f0+f1+4*Execute(fun,(a+b)/2))/6; n:=2;

repeat

h:=(b-a)/n; x1:=a+h/2; x2:=a+h; s2:=s; for i:=1 to n do

begin s2:=s2+4*Execute(fun,x1)+2*Execute(fun,x2); x1:=x1+h; x2:=x2+h;

end;

s2:=s2*h/6; d:=abs(s1-s2)/15; s1:=s2; n:=n*2; until d<h;

res:=s1;

end;

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

Результат: - 0.4864297

Погрешность вычисления:0,005

78

procedure simpson(fun:string;a,b,eps

:real;var s,d::real;)

f0=execute(fun,a)

f1=execute(fun,b)

s=f0-f1 s1=(b-a)*(f0+f1+4*execute (fun,(a+b)/2))/6

n=2

N

N=N*2

h=(b-a)/ n x1=a+h/2 x2=a+h s2=s

I

I>N

s2=s2+4*execute(fun,x1)+

2*execute(fun,x2)

x1=x1+h

x2=x2+h

I=I+1

I

s2=s2*h/ 6 d=abs(s1-s2)/ 15 s1=s2

n=n*2

d<eps N

res=s1

Возврат

Рисунок 33 - Схема алгоритма метода Симпсона

Варианты заданий для решения задач численного интегрирования и дифференцирования приведены в таблице 7.

Квадратурная формула Гаусса

Входные параметры: a,b – интервал интегрирования; fun – вид функции.

79

Выходные параметры: d – погрешность интегрирования; res – значение интеграла функции.

Схема алгоритма показана на рисунке 34.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью 0,01

	1 cos x 1			dx
	0	x2

Текст программы:

Procedure Kvadratur(fun:string;a,b:real;var res,d:real); var c,h,h1,c1,x1,x2,x3,f1,f3,s1,s2:real;

n:integer; begin c:=sqrt(3/5); h1:=(b-a)/2; c1:=c*h1; x2:=(b+a)/2;

f1:=Execute(fun,x2-c1); f3:=Execute(fun,x2+c1); s1:=h1*(5*f1+8*Execute(fun,x2)+5*f3)/9; n:=2;

repeat

h:=(b-a)/n; h1:=h/2; c1:=c*h1; x2:=a+h1; x1:=x2-c1; x3:=x2+c1; s2:=0; for i:=1 to n do

begin s2:=s2+5*Execute(fun,x1)+8*Execute(fun,x2)+5*Execute(fun,x3); x1:=x1+h; x2:=x2+h; x3:=x3+h;

end;

s2:=s2*h1/9; d:=abs(s1-s2)/63; s1:=s2; n:=2*n; until d<h;

res:=s2;

end;

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

Результат: - 0.4863854

Погрешность вычисления:0,007

80