Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра».

Задача 1. Разложить вектор по векторам

Решение. Разложить вектор по векторам– значит представить его в виде

(1)

где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим

Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,

(2)

Решив систему (2), найдём . Следовательно,.

Задача 2. Найти вектор коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

Решение. В силу коллинеарности векторов ивекторможно представить в видегде– пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:

.

Отсюда , поэтому.

Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторамии образующий с осью Ох тупой угол, если.

Решение. Найдём вектор .

Так как перпендикулярен векторами, то он коллинеарен вектору. Следовательно,.

По условию т.е.или. Векторобразует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюдаи.

Системы координат 3

Линии на плоскости 8

Линии первого порядка. Прямые на плоскости. 10

Угол между прямыми 12

Общее уравнение прямой 13

Неполное уравнение первой степени 14

Уравнение прямой “в отрезках” 14

Совместное исследование уравнений двух прямых 15

Нормаль к прямой 15

Угол между двумя прямыми 16

Каноническое уравнение прямой 16

Параметрические уравнения прямой 17

Нормальное (нормированное) уравнение прямой 18

Расстояние от точки до прямой 19

Уравнение пучка прямых 20

Примеры задач на тему «прямая на плоскости» 22

Векторное произведение векторов 24

Свойства векторного произведения 24

Геометрические свойства 24

Алгебраические свойства 25

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей 26

Смешанное произведение трёх векторов 28

Геометрический смысл смешанного произведения 28

Выражение смешанного произведения через координаты векторов 29

Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра». 30

Поверхности в пространстве 33

Плоскость 33

Неполные уравнения плоскости 35

Уравнение плоскости в «отрезках» 35

Угол между плоскостями 36

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой 37

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 38

Расстояние от точки до плоскости 39

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду 40

Примеры задач на тему «Плоскость». 40

Линии в пространстве. Прямая в пространстве 45

Канонические уравнения прямой в пространстве 46

Параметрические уравнения прямой 47

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 47

Угол между двумя прямыми в пространстве 48

Угол между прямой и плоскостью 48

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости 49

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей 49

Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия» 54

Кривые второго порядка 58

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 58

Эллипс 61

Вывод уравнения эллипса 61

Гипербола 63

Парабола 64

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 65

Поверхности в пространстве

Пусть – переменные.

Выражение называется уравнением, если оно выполняется не для любых значений.

Уравнению поверхности удовлетворяют только точки поверхности и никакие другие точки пространства.

Определение. Поверхность – это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению .

Пример:уравнениезадает сферу с центром в точке (), радиусом.

Алгебраические поверхности определяются в декартовой системе координат алгебраическими уравнениями вида:

Уравнение – общее уравнение первой степени.