Кванты лекции 2 семестр

al ( t ) ln

при

(6)

Теория квантовых переходов. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое

Одной из важнейших задач квантовой теории является задача перехода из одного состояния в другое, которая может быть описана следующим образом.

Пусть в момент времени t0 мы имеем квантовую систему, характеризующуюся тем что для нее величина L имеет определенное значение L Ln . Такая система будет описываться ВФ n ( x )

, которая является СФ оператора L и принадлежит СЗ L Ln . Про такую функцию говорят,

что она находится в состоянии n (подразумевается дискретный спектр)

С течением времени благодаря внешним силам или в силу внутренних изменений состояния, система будет претерпевать изменение. К моменту времени t наша система будет описываться некой новой ВФ L m( x ) . Это новое состояние системы возникающее из прежнего

состояния будет системой с неопределенным значением параметра L . Очевидно, новое состояние системы представляет собой суперпозицию состояний с различными значениями L . О системе, состоянию которой соответствует величина L Ln , говорят, что она совершила

квантовый переход из состояния n в состояние m. Математически это будет выполняться следующим образом.

Предположим, что на систему, описываемую не зависящим от времени оператором Гамильтона

H0 действует в течение некоторого времени возмущение, оператор которого мы можем записать следующим образом

W( t ) 0		t
V ( t )	t 0,	t
0

Во время взаимодействия оператор Гамильтона будет иметь вид

H H0 V( t ) (2)

Оператор Гамильтона (2) будет зависеть от времени и соответствуя ВФ будет описываться волновым УШ

i		H		V ( t ) (3)
	t		0

Очевидно, что уравнение (3) не имеет стационарных решений. Для определения ВФ, удовлетворяющей уравнению (3), перейдем к представлению взаимодействия

( x,t ) al ( t ) l ( x )exp iElt (4)

l

H0 l ( x ) El l ( x ) (5)

Предположим также, что до включения взаимодействия система находится в стационарном состоянии с энергией En , следовательно в сумме (4) при t 0 (до взаимодействия) отличен от нуля только член L Ln , поэтому ВФ начального состояния

нач n( x )exp iEnt

Коэффициенты t 0 .

По стечению действия возмущения, то есть при t , коэффициенты al ( ) зависят от вида оператора возмущения (1) и от начального состояния n . Поэтому эти коэффициенты будем снабжать вторым индексом aln . Таким образом при t система будет находиться в состоянии, характеризующемся ВФ

- 1 -

кон aln ( ) l ( x )exp iElt (8)

l

При этом вероятность того, что система будет находиться в некотором состоянии, характеризующемся энергией El будет определяться квадратом модуля коэффициентов

разложения aln ( )

w ( )

a

( )

2 (9)

ln

ln

Эта величина будет определять вероятность перехода системы за время

из начального

состояния n в конечное состояние l

n l . Для вычисления коэффициентов aln подставим

разложение (4) в волновое УШ (3):

a ( t )

i

i

ln

l ( x )exp iElt

al ( t ) l ( x )El exp iElt

t

l

l

al ( t )H0 l ( x )exp iElt

al ( t )W l ( x )exp iElt

l

l

Умножая слева на * ( x ) и интегрируя по переменной x оставляем зависящие только от
					m
координаты
m* ( x ) l ( x )dx lm
i	am( t )				l ( x ) m		W		l al	( t )exp iwmlt (10)
		t
				Wml m* ( x )W l ( x )dx (11)
	m	W	l

В дальнейшем будем рассматривать такие возможные состояния, в которых матричный элемент m W l 0 . В этом случае член l m будет отсутствовать. Для вычисления вероятности

перехода нужно решить уравнение (10) при начальном условии am( 0 ) mn . Если матричные элементы малы и время возмущения не очень велико, так что за время действия возмущения значение коэффициентов am( ) мало изменяется относительно малых значений, то систему (10) будем решать методом последовательных приближений.

Можно в правую часть системы уравнений (10) подставить в начальные значения:

a1

( t )

n exp iwmnt (13)

i

mn

m

W

t

Это уравнение легко решается интегрированием и тогда мы получим

a1mn ( t )

1

t

m

W

n exp iwmnt dt

(14)

i

0

a2

( t )

n exp iwmnt

1

m

t

n exp iwmnt dt (15)

i

mn

m

W

W

n m

W

t

i

0

Интегрируя, получим

2

1

t

1

2

t

t

(16)

amn

( t )

dt

Wmn ( t

Wmn( t

)exp iwmnt

Wmn exp iwmnt

)exp iwmnt

dt dt

i

0

i

n 0

0

Итоговое решение будет в виде бесконечного ряда. Этот ряд в кратком виде

- 2 -

i

t

W ( t )dt

amn

m

Pe

0

n

(17)

i

t

W ( t )dt

t

2 t

t

1

1

W ( t

W ( t

) W ( t

0

Pe

1

)dt

)dt dt

i

0

i

0

0

1

3

t

t

t

W ( t

) W ( t

) W ( t

)dt

...

(18)

dt dt

i

0

0

0

Оператор возмущения в представлении взаимодействия

W( t ) e i H0tWe i H0t (19)

P - хронологический оператор Дайсона

	a( t		)b( t	2	)
Pa( t1 )b( t2		1
	)
	b( t2		)a( t1 )

t1 t2 t1 t2

Для многих задач достаточно ограничится выражением (14) соответствующим 1 порядку приближения теории возмущения

2) Адиабатическое и внезапное включение и выключение взаимодействия

Рассмотрим различные приложения теории квантовых переходов

n m

2

1

2

wmn ( )

a1mn ( )

Wmn ( t )eiwmnt dt

(1)

2

0

a1

( )

1

W

( t )eiwmnt dt

1

W

( t )deiwmnt

1

W ( t )eiwmnt

i

w

w

mn

mn

mn

mn

0

0

mn 0

mn

(2)

dW ( t )

1

iw t

1

dW ( t ) iw t

mn

e

mn

dt

mn

e

mn

dt

w

dt

w

dt

mn 0

mn 0

Рассмотрим 2 предельных случая включения-выключения взаимодействия: 1)Адиабатическое 2)Внезапное

1) В этом случае изменение энергии взаимодействия за время периода колебаний в атомной системе значительно мало по сравнению с абсолютной величиной разности энергий соответствующих состояний

w 1	dWmn		w	(3)
mn	dt		mn

Если выполняется (3), то за время изменения знака функции eiwmnt множитель, стоящий перед экспонентой меняется мало, поэтому этот множитель можно вынести за знак интеграла

- 3 -

( r,0 ) n( r ) Amn m( r )

m

H H0

wmn ( )	4			dWmn				2	wmn		( )
								2
								sin				(4)
	2 4
wmn( )	wmn				dt					2
	1

В пределе сколь угодно малых изменений прилож значений вероятностей всякого перехода с изменением энергии стремится к нулю. Таким образом при достаточно медленном изменении система, находящаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии будет продолжать оставаться в том же состоянии

Внезапное изменение взаимодействия

В течении короткого времени t , малого по сравнению с периодом колебаний в атомной системе

w 1	dWmn		w	(5)
mn	dt		mn

Если теперь посмотреть на выражение (2) (коэффициенты первого порядка), то при внезапном выключении взаимодействия производная становится сколь угодно большой. Соответствующий вклад в интеграл только за счет множителя t . За промежуток времени t он практически не изменяется. Поэтому экспонента выносится за знак интеграла.

Интегрируя, получаем, что вероятность перехода

wmn			W mn		2
						(6)
			w		2
			mn

ac ; a - размер атома, c - скорость света

За это время происходит распад. Для вычисления вероятности перехода можно воспользоваться тем обстоятельством, что волновая функция в начальный момент времени (момент включения взаимодействия) не меняется. Пусть в момент времени t 0 система находится в состоянии соответствующем ВФ n которая является СФ оператора Гамильтона

H0 . Предположим что при t 0 происходит внезапное изменение оператора Гамильтона и далее он остается неизменным и равным H , а разница значительна. Обозначим СФ оператора H через n ( r ), а СЗ через En . По условию в момент времени t 0 система описывалась волновой функцией n ( r ) , которая сохраняется и при включении взаимодействия. Разложим ее в ряд по СФ

(1)

Amn - коэффициенты разложения, которые представляют собой интеграл, имеющий вид:

Amn m* ( r ) n( r )dV (2)

Квадраты модулей коэффициентов разложения представляют собой вероятность перехода

n m: wmn Amn 2 (3). Дальнейшие изменения состояние системы с течением времени будут описываться волновыми уравнениями Шредингера

- 4 -

iH (4)

t

( r,t ) Amn m( r )exp( iEmt ) (5)

В качестве примера вычислим вероятность возбуждения электрона в атоме при внезапном изменении заряда ядра. Для упрощения расчетов предположим, что атом содержит 1 электрон (водородоподобный атом). Предположим, что первоначальное состояние было 1s состояние

(невозбужденное основное)

z z 1

				z 12					z2
100( r ) r								exp				00	(6)
				a						a
			1			2
				a
	0		4				e2

После внезапного изменения заряда ядра ВФ стационарного состояния будут соответствовать водородоподобным ВФ

nlm fnl ( r ) lm( , ) (7)

В соответствии с формулой (2) (3) вероятность возбуждения уровня с индексами nl будет определяться квадратом модуля коэффициента

Anl ,10 nlm* ( r ) 100( r )dV (8)

Интеграл по угловым переменным в силу ортогональности шаровых функций будет 0 в случае если nl будет составлять s состояние

Запишем ВФ для 2s состояния

z 1

3 2

200

z 1 r

z 1 r

00 (9)

2

exp

2a

a

2a

3

8z z 1

3

z

zr

2

2

2

r

f20( r )exp

A2010

r dr

(10)

4

a

a

3z 1

1s 2s

w(1s 2s ) 211 z3( z 1)3 ( 3z 1)8

Вероятность перехода под влиянием возмущения, зависящего от времени

Определим вероятность перехода квантовой системы из состояния En Em под действием

W ( t )		0 t
возмущения V ( t ), которое имеет вид V ( t )	0	t 0	t	(1)

Мы считаем, что матричный элемент оператора возмущения очень мал, поэтому первое приближение верно для времен t . Тогда получим, что коэффициент разложения

	a( 1 )( t )	1		W	( t )eiwmntdt	W ( t )eiwmntdt		(2_
		i
	mn			mn			mn
			0

Полученное выражение для коэффициента разложения имеет простой смысл. Возмущение W( t ) мы можем разложить в интеграл Фурье

- 5 -

	W ( t ) W ( w )eiwtdw (3)
		1
	W( w )- Фурье-образ W( w )		W( t )eiwt dt (4)
		2

Матричный элемент оператора возмущения мы представим в следующем виде:

W ( t )		* ( x )W ( t )		( x )dx		* ( x )			W ( w )eiwtdw		( x )dx
mn		n	n			n				n
											(5)
e iwt dw m* ( x )W ( w ) n ( x )dx Wmn ( w )e iwtdw
W( w ) - матричный элемент от Фурье-образа оператора возмущения

Применим теорему Фурье и получим выражение для матричного элемента

Wmn ( w ) 21 Wmn( t )eiwnmtdt (6)

Сравнивая выражение (6) с выражением (2) мы видим, что коэффициенты разложения 1 порядка теории возмущения равны

amn( 1 ) 2i Wmn wmn (7)

Отсюда вероятность перехода из состояния с энергией En Em будет равна

wmn 4 22 Wmn wmn 2 (8)

Полученная формула для вероятности квантового перехода содержит важный результат. Из нее видно, что вероятность перехода 0 когда 0 матричный элемент Фурье-компоненты, то есть переход En Em возможен лишь в том случае, когда в спектре возмущения содержится

частота перехода wmn Em En (9), то есть квантовый переход носит резонансный

характер. Положение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов с собственными частотами равными частотам Бора. При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем возмущении.

Вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени

Рассмотрим случай, когда оператор возмущения имеет постоянное значение, равное W , между моментами включения и выключения взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне пределов этого интервала.

W const		0 t
V ( t )	0 t 0	t	(1)

Так как матричный элемент оператора возмущения не зависит от координат, его можно вынести в выражении для коэффициентов разложения первого порядка теории возмущения

1

m

W

n

m

W

n

1 eiwmn (2)

amn( 1 )( t )

m

W

n eiwmnt dt

eiwmnt dt

i

i

w

0

0

mn

- 6 -

А вероятность перехода за время действия возмущения будет определяться формулой

2

2 F E

E (3), где функция F E

E

1 cos Em En

(4)

w

m

W

n

E E 2 2

mn

2

m

n

m

n

m

n

Рассмотрим подробнее эту функцию. При E

E

возникает неопределенность

0

,

m

n

0

раскрываемая по правилу Лопиталя функция принимает максимальное значение

2

2

E

E

2

либо

4

…

m

n

Функция обращается в ноль

При малых значениях

вероятность перехода пропорциональна 2 . При достаточно

En

больших значениях по сравнению с

(характерное время) эта функция

En

En

F Em En

Em En (5)

lim

sin2 t

( ) (6)

t

2

t

При

0 предел равен нулю, а при

0 имеем

sin2 t

t , так что предел равен

t 2

бесконечности. Интегрируя же по d в пределах от до (делаем подстановку t )

2

t

2

получим

sin

d

1

sin

d 1 (7)

2

2

t

Отсюда формула для вероятности

w ( )

2

m

W

n

2 E

E

(8)

mn

m

n

Pmn

2

2 E

E

(9)

n

W

m

m

n

Em En

Под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковыми значениями энергии

w( t )		a ( t )			2 , то есть вероятность пребывания системы в состоянии с энергией E				n	равна
		n
единице при t 0
						t
w( t ) exp							, где T - время жизни состояния	n , поэтому формула для вероятности
						T

квантового перехода из n для времен значительно меньше времен жизни состояния T

amn mn для времен , удовлетворяющих неравенству		T .
	En

Во всех системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежать непрерывному спектру. Измерения же сводятся к определению полной вероятности перехода во все состояния m , обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными элементами

- 7 -

W( t ) v exp iwt

коэффициент

оператора возмущения. Для получения такой вероятности нужно просуммировать выражение

(9) по всем состояниям m и усреднить по начальным состояниям n , обладающим одинаковыми значениями матричных элементов. Этим и оправдываются введения этого выражения с использованием P функции. Если обозначить число конечных состояний данного типа,

приходящихся на единичный интервал энергии Em за Em , то полная вероятность перехода

в единицу времени будет определяться выражением

Pmn Pmn Em dEm 2 n W m 2 Em (11)

Em En Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе. Выражение носит называние «Золотое правило Ферми»

Переходы под действием периодического возмущения

W( t ) зависит от t периодически, между моментами включения и выключения взаимодействия.

(1) и скачком меняется до нуля вне этого интервала. В этом случае

a( 1 )( t )

1

W

( t )eiwmnt dt

i

mn

mn

0

m

v

0 n

m

v

0 n 1 exp i w

w (2)

exp i wmn

w t dt

mn

wmn

w

i

0

Т.е. мы получили выражение, похожее на выражение, полученное при квантовом переходе под действием постоянного возмущения. Поступим аналогичным образом. Будем вести рассуждение для времен значительно больших , чем время жизни квантовой системы и начального состояния.

En , T . В этом промежутке вероятность перехода

w ( n )

2

m

v

n

2 E

E

w (3)

mn

m

m

Вероятность перехода в единицу времени

2

Pmn

2

m

v

n

E

E

w (4)

m

m

Таким образом, при действии возмущения, периодически зависящего от времени, переходы

происходят в состояние, обладающее энергией Em Em				w (5)
Следовательно, при возмущении равном w ( t ) v ( t )eiwt				при квантовом переходе система
теряет энергию, равную	w , т.к. E E		w . А при возмущении w ( t ) v ( t )e iwt
	m	m
система приобретает энергию, равную		w , так как Em Em			w
Назовем квантовую систему, которая вследствие квантового перехода под действием
периодического возмущения теряет или приобретает энергию					w системой I, а систему, за счет

которой происходят изменения в системе I системой II. Суммарная энергия полной системы, состоящей из этих взаимодействующих систем при квантовом переходе системы I из состояния n в состояние m , остается неизменной. Предположим, что система II это система фотонов (Э/М поле) с энергией w . Тогда вероятность перехода в единицу времени из определенного начального состояния в определенное конечное состояние можно записать в следующем виде:

- 8 -

PКонНач 2 кон v нач 2 E кон E нач

E нач E	w E кон		E	f	процесс поглощения фотона
i
E нач E	E кон E	f	w процесс испускания фотона
i

Поглощение и излучение света. Вероятность перехода.

При решении задачи о поглощении и излучении света нас следует подсчитать вероятность перехода атома с одного энергетического уровня на другой под действием излучения света. Нужно определить взаимодействие электрона в атоме с падающей волной.

Мы знаем, что оператор Гамильтона для частицы

	1				e			2		1		2		e						e2					2
H		p					A				p					A p							A		(1)
					c					2				c						2 c	2
	2

Третий член этого выражения меньше второго в раз, поэтому мы им пренебрегаем.

e2 1

c 137 постоянная тонкой структуры

Вкачестве оператора возмущения W ( t ) ec A p (2)

A - векторный потенциал излучения, распространяющегося в виде плоской волны с волновым

вектором k и частотой w может быть записан следующим образом

A0

cos

wt

1

eiwt

1

A0

A0

k

r

A

U

k

r

Uei

Uei k re iwt (3)

2

2

U - единичный вектор, определяющий поляризацию излучения, т.е. напряженность

электромагнитного поля.

Напряженность электрического поля

1

A

A0

w

sin

wt (4)

U

k

r

c

t

c

e

Магнитная составляющая э/м поля действует посредством силы Лоренца

F

v,H , v -

c

скорость электрона. Действие магнитного поля в

v

раз меньше, чем действие электрического

c

поля (10 2 , в сто раз слабее мы его отбрасываем). Амплитуду векторного потенциала A

0

выберем так, чтобы в объеме V в среднем было

N фотонов с энергией

w .

N w

- объемная

V

плотность электромагнитного поля. С другой стороны она равна

N w

2

A2w2

A2w2

2

0

0

4

sin

k r wt

(5)

V

4 c2

8 c2

(среднее значение от sin2

1

)

2

Амплитуда векторного потенциала

A 2c

2

N

(6)

0

wV

- 9 -

Подставляя это выражение в (2) мы получим

W( t ) wexp iwt w* exp iwt (7)

(8)

e

2 N

e ik

w

r

U

p

wV

Согласно золотому правилу Ферми вероятность перехода m n с испусканием кванта света

излучения с энергией

w будет определяться выражением

2

II

Pmn

2

E кон (9)

E

кон En

E0

w (10)

m

W

n

Em En

w

Рассмотрим матричный элемент оператора возмущения входящего в первую часть

n

e

2 N

m

e ik

n

r

m

W

U

p

(11)

wV

В случае атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от нуля только в области размеров атомов. Следовательно, интегрирование выражения (11) существенно только

при r a , a

10 3 - боровский радиус. Длина волны видимого и УФ излучения значительно

больше размеров атома.

ka

2

a

10 3

Такое же соотношение выполняется и для многих случаев -излучения атомных ядер. В этих

случаях мы можем разложить экспоненциальный множитель

ik

2

r

e ik r

1 i k r

2!

... (12)

Учтем только 1 член. Тогда матричный элемент будет равен

n

e

2

m

W

U m

p

n

(13) – длинноволновое приближение

wV

i

E

E

m

n

m

p

n

r

(14)

m

n

p2

H0

U

r

2

,H

i

(15)

r

p

0

n

H0

n Em En m

n (16)

i m

p

m

r H0

r

r

(16) подставим в (13). Получим:

n iw

2 N

m

W

U m

d

n

wV

d mn m

d

n

e m

r

n (18) дипольный электрический момент перехода n m

Э/м излучение обусловленное отличным от нуля матричным элементом (18) называется дипольным электрическим излучением. Для вычисления вероятности перехода нужно

определить плотность числа конечных состояний E кон . Число конечных состояний системы, состоящей из атома и внешнего э/м поля при переходе атома в дискретное состояние

- 10 -