тоэ, ргр
.pdf1.6. Построение потенциальной диаграммы
Построение потенциальной диаграммы преследует цель определения показаний вольтметров V1 и V2. При построении потенциальных диаграмм целесообразно использовать параметры исходной схемы и имеющиеся точки заземления (рис. 1.1).
На оси абсцисс (рис. 1.3) в определенном масштабе откладываются последовательно (один за другим) все сопротивления, которые необходимо учесть при построении.
Например, выберем путь обхода по цепи
0 ® E6 ® E4 ® R4 ® R2 ® E2 ® R3 ® E3 .
На оси ординат после вычислений указываются потенциалы каждой цепи в той же последовательности.
Наклонная часть потенциальной кривой определяется падением напряжения на соответствующем активном сопротивлении цепи. Зная потенциалы каждой точки цепи относительно заземленной ( j = 0 ), легко определить из рис. 1.3. значения напряжений, измеряемых вольтметрами V1 и V2.
Рис. 1.3. Построение потенциальной диаграммы
1.7. Определение тока в ветви «а – б» методом эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора применяется в тех случаях, когда необходимо определить ток только в одной ветви. В данной работе подлежит расчету ток в сопротивлении с обозначениями «а» и «б» на исходной схеме. Для расчета тока используется уравнение вида
10
Iаб |
= |
E0 |
, |
(1.3) |
||
Rвнутр. |
+ Rаб |
|||||
|
|
|
|
где E0 – ЭДС эквивалентного генератора или разность потенциалов между точками а – б после размыкания ветви;
Rвнутр. – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно разомкнутой ветви «а – б» после исключения всех источников энергии;
Rаб = R2 – сопротивление с искомым значением тока I аб = I 2 .
В данной работе значение E0 следует найти, используя метод узловых потенциалов, хотя в общем случае для этого могут быть использованы и другие известные методы расчета.
1.7.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора Разомкнем ветвь «а – б» и изобразим расчетную схему на рис. 1.4. Обо-
значим узловые точки в полученной схеме через1; 2; 3 и соответствующие им потенциалы как j1 ; j2 ; j3 .
Рис. 1.4. Схема для расчета ЭДС
эквивалентного генератора
Система уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае может быть записана в следующем виде:
11
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
j1 ×G11 - j2 ×G12 - j3 ×G13 - j4 ×G14 ... = å Ei × Gi + å Ji |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
- j1 |
×G21 |
+ j2 |
×G22 |
- j3 |
×G23 |
- j4 |
×G24 ... = å Ei |
×Gi |
+ å Ji |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
- j1 |
×G31 |
- j2 |
×G32 |
+ j3 |
×G33 |
- j4 |
× G34 ... = å Ei |
×Gi |
+ å Ji |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
×Gi |
4 |
- j1 ×G41 - j2 ×G42 - j3 ×G43 + j4 ×G44 ... = å Ei |
+ å Ji . |
Количество составляемых уравнений определяется числом искомых -по тенциалов узловых точек схемы. Необходимо учесть, что после размыкания ветви «а– б» число узловых точек обычно уменьшается.
В левой части уравнений по методу узловых потенциалов со знаком(+) записывается только одна составляющая токов, имеющая отношение к конкретному расчетному узлу. Составляющие токов в правой части записываются со знаком (+), если эти ЭДС и источники тока направлены к данному расчетному узлу. В любом другом случае необходимо записывать знак (-) перед отдельными слагаемыми уравнения.
|
Принятые обозначения: |
|
G11 , G22 , G33 , G44 ... – собственные проводимости всех ветвей, примыкающих |
||
|
|
соответственно к узлам 1, 2, 3, 4… |
G12 |
= G21 , G13 = G31 – взаимные проводимости ветвей, связывающих 1 и 2 уз- |
|
|
|
лы, 1 и 3 узлы и т. д. |
1 |
|
2 |
å E ×G , |
å E ×G …– составляющие токов, создаваемых в соответствующих |
|
|
i i |
i i |
1 |
2 |
ветвях источниками ЭДС; |
|
å Ji , å Ji … – значения источников тока, связанных с соответствующи-
ми узлами 1; 2 … Если в размыкаемой электрической цепи нет других заземленных точек
или узлов то, очевидно, можно заземлить один из узлов, т. е. принять его потенциал за нулевой. Тогда число узлов с неизвестными потенциалами уменьшается на единицу ,и соответственно, уменьшается число необходимых уравнений. Приняв, например, j3 = 0 , необходимо записать только два уравнения.
æ 1 j ç
1çè R6
æ 1 - j1ç
çè R6
|
|
1 |
|
|
1 |
ö |
|
æ |
1 |
|
|
1 |
ö |
|
E6 |
|
E1 - E4 |
|
E3 |
|
+ |
|
|
+ |
÷ |
- j |
ç |
+ |
|
÷ |
= |
+ |
+ |
; |
|||||||
R |
+ |
|
|
|
|
+ R |
|
|
|
|||||||||||
|
R R |
÷ |
2 |
ç R R |
÷ |
|
R R + R R |
|||||||||||||
1 |
|
4 3 |
ø |
|
è |
6 1 |
4 |
ø |
|
6 |
1 4 |
3 |
|
|
|
1 |
ö |
æ |
1 |
|
|
1 |
1 |
ö |
|
E6 |
|
E1 - E4 |
|
E5 |
||
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
+ R |
+ R |
|
+ R |
+ R |
+ R |
= - R |
- R + R |
- R - I . |
||||||||||
÷ |
+ j2 ç R |
÷ |
||||||||||||||||
1 |
4 |
ø |
è |
6 |
1 |
4 |
5 |
ø |
6 |
1 4 |
5 |
|
12
После определения потенциалов точек j1 и j2 расчет токов можно выполнить по закону Ома для ветви. В данной конкретной схеме для определения ЭДС эквивалентного генератора достаточно найти ток в ветви E4 - R4 - E1 - R1 . Выберем положительное направление этого тока (Указано на схеме) и составим уравнение
j1 + E4 - I¢×(R4 + R1 )- E1 = j2 или
I ¢ = (j1 - j2 )+ (E4 - E1 ).
R4 + R1
После расчета тока I ¢ потенциал точки «а» можно определить из уравне-
ния
jа = j1 + E4 - I ¢× R4 ,
а потенциал точки «б» удобнее найти следующим образом:
jб = j3 - E2 .
Таким образом, jа - jб = E0 = j1 + E4 - I¢× R4 - j3 + E2 .
1.7.2.Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора
Для определения внутреннего сопротивления цепи относительно зажимов «а – б» достаточно воспользоваться схемой рис. 1.4, мысленно закоротив все источники ЭДС и разомкнув источник тока. Образовавшаяся схема получит следующий вид (рис. 1.5):
Рис. 1.5. Схема преобразования
Сопротивления цепи имеют сложные соединения типа«трехлучевая звезда» или «треугольник» (рис. 1.5) и не позволяют вычислить Rвнутр . без дополнительных эквивалентных преобразований цепи. В данном случае можно вос-
13
пользоваться, например, приемом эквивалентного преобразования треугольника сопротивлений в «трехлучевую звезду», что показано на рис. 1.5.
R14 |
= |
R1 × R4 |
; R46 |
= |
R4 |
× R6 |
; R61 |
= |
R6 |
× R1 |
. (1.6) |
|
R1 + R4 + R6 |
R1 + R4 + R6 |
R1 + R4 + R6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (1.6) позволяют определить R14 , R46 , R61 . В литературе [1] можно найти примеры обратного преобразования «трехлучевой звезды» в «треугольник». После подобных преобразований достаточно легко вычислить значение:
Rвнутр. = R14 + (R46 + R3 )× (R61 + R5 ).
R46 + R3 + R61 + R5
Таким образом, с учетом величин E 0 и Rвнутр. , полученных из уравне-
ний(1.5) и (1.7), величина искомого тока I2 = Iаб определяется, как и было отмечено ранее, при помощи уравнения (1.3).
Необходимо иметь в виду, что результаты расчета тока I2 по методу контурных токов и по методу эквивалентного генератора не могут отличаться -бо лее, чем на 5 %.
Работа 2 Расчет однофазной цепи синусоидального тока
символическим методом (РГР-2)
2.1. Цель работы
Изучение и практическое применение символического метода при расчете цепей синусоидального переменного тока, закрепление навыков расчета комплексных чисел при изучении курса ТОЭ. Знакомство с волновыми и векторными диаграммами; составление уравнений баланса активных и реактивных мощностей.
2.2. Содержание работы
Индивидуальное задание на расчет включает разветвленную однофазную цепь с конкретными числовыми данными. При этом считается заданным мгновенное значение напряжения на одном из элементов цепи, обозначенном на схеме в буквенной форме «а» и «б»:
uаб =Um ×sin(wt + y).
Для заданной цепи необходимо:
14
1.Определить токи и напряжения на всех участках цепи, в том числе входное напряжение, символическим методом.
2.Записать мгновенные значения всех токов и напряжений.
3.Сделать проверку правильности решения по законам Кирхгофа для мо-
мента времени t = 0 .
4.Составить баланс активных и реактивных мощностей.
5.Построить волновые диаграммы напряжения, тока и мощности на входе
цепи.
6. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
2.3.Общие указания и рекомендации
2.3.1.Расчет параметров цепи и ее эквивалентные преобразования Исходная электрическая цепь содержит в ветвях различные элементы, в
том числе в разном сочетании индуктивности, емкости и активные сопротивления. Пример такой цепи приведен на рис. 2.1. Буквами «а» и «б» обозначены
точки с известным напряжением между ними uаб .
Рис. 2.1. Исходная схема
При расчете цепей синусоидального тока символическим методом должны быть известны модули и комплексы отдельных элементов, ветвей и всей цепи в целом.
Модули индуктивных и емкостных сопротивлений могут быть найдены из известных соотношений, например,
X |
|
= w× L |
= 2p × f × L |
(Ом); X C 2 = |
1 |
= |
1 |
(Ом). |
|
L1 |
w×C2 |
2p × f ×C2 |
|||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Комплексы сопротивлений отдельных ветвей необходимопредставить как в алгебраической форме, так и в показательной форме. В алгебраической
15
форме обычно выполняют действия сложения и вычитания комплексных чисел, например, при расчете эквивалентного сопротивления последовательно соединенных элементов.
В показательной форме удобнее выполнять действия деления и умножения комплексных чисел, например, при расчете эквивалентного сопротивления параллельно соединенных элементов. Используя принятые на схеме обозначения, запишем комплексные значения сопротивлений отдельных групп (ветвей)
|
|
|
|
|
|
|
Z |
= R |
+ jX |
L1 |
= Z ×e j j1 ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
Z =Z |
-jX |
|
|
=Z ×ejj 2 ; |
Z |
3 |
= R |
- jX |
=Z ×e - j j2 , |
(2.1) |
|||||
|
2 20 |
C2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
C3 |
3 |
|
|||||
где Z |
20 = |
Z ¢2 × Z ² |
3 |
|
– эквивалентное сопротивление части сложной цепи. |
|||||||||||
Z ¢2 |
+ Z |
² |
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сопротивление сложной цепи во второй группе элементов |
|
|||||||||||||||
|
Z2¢ = jXL2 - jXC2 = Z2¢ ×e j j¢ 2 ; |
|
Z2¢¢ =R2 - jXC2 =Z2¢¢×e- j j¢¢ 2 . |
|
Следует отметить, что модули и аргументы комплексных чисел в показательной форме легко найти из алгебраической формы и наоборот, например:
Z1 = |
|
; j 1= arctg |
X L1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R12 + X L21 |
R = Z |
1 |
×cos j |
1 |
; |
X |
L1 |
= Z |
1 |
× sin j |
1 |
. |
|||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
R1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргументы комплексных чисел могут иметь различные знаки в зависимости от характера сопротивлений. Индуктивные сопротивления записывают с положительными углами, емкостные сопротивления – с отрицательными углами. Запись углов можно вести в градусах или радианах, сохраняя принятую систему до конца проводимых расчетов.
Зная сопротивления Z1 ; Z 2 ; Z3 определяют комплекс входного сопротивления цепи
Z вх = Z 1 |
+ |
Z 2 |
× Z 3 |
= Zвх e |
jj |
вх . |
Z 2 |
+ Z 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
Все перечисленные выше сопротивления будут использованы при расчете токов в ветвях.
2.3.2. Расчет токов и напряжений При расчете токов и напряжений в символической форме обычно перехо-
дят от оригиналов(мгновенных значений) к изображениям действующих или амплитудных значений заданных величин, например, в следующей форме:
16
|
|
|
|
& |
j y u |
|
||
uаб |
= U m аб × sin(wt + yu ) |
=Uаб ×e |
|
или |
||||
Uаб |
|
|||||||
|
|
|
|
|
& |
|
|
j y u |
uаб |
= U m аб ×sin(w t + yu ) |
|
|
×e . |
||||
|
Um аб =Um аб |
Студент вправе избрать любой из предложенных переходов к изображениям, сохраняя выбранный вариант до конца выполняемых расчетов. Выберем в качестве рабочего варианта расчет по действующим значениям.
Тогда все искомые токи, обозначенные на схеме (рис. 2.2), определяются в следующей последовательности:
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
e |
j yu |
|
|
|
|
|
y |
+ 0 |
); |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
U |
аб |
|
|
|
|
|
аб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
I& = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= I |
3 × e j ( |
u |
90 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
- jX C1 |
|
|
XC 3e- j90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
& |
& |
2 |
|
= -I 3 |
Z 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U 3 |
= U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ² |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ¢ |
2 |
|
|
||
3. |
I&2 = |
U 2 |
; |
|
|
I 2¢ |
= I&2 × |
|
|
|
|
|
|
; |
|
I 2¢¢ |
= I&2 × |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ¢ |
2 + Z |
2 |
|
Z 2 + Z 3 |
Z ¢2 + Z |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
I&1 = |
I&2 × |
|
Z |
2 |
+ Z |
3 |
|
|
или |
|
I&1 = I&3 × |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
U вх |
= U1 |
|
|
|
|
|
= I1 Z 1 |
+ U |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
+ U |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
& |
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все приведенные расчетные формулы логически вытекают из приемов и методов, используемых студентом при расчете цепей постоянного тока, поэтому подробно здесь не описываются.
Расчет напряжений на отдельных элементах цепи выполняется символическим методом с использованием закона Ома, например:
& |
& |
× jX L1 ; |
& |
& |
× R3 ; |
& |
& |
× Z вх и т. п. |
U L1 |
= I1 |
U R 3 |
= I 3 |
U вх |
= I1 |
2.3.3. Запись мгновенных значений и проверка решения по законам Кирхгофа
Обратный переход от символической формы записи к мгновенным осуществляется по тем же правилам, показанным в п. 2.3.2, например,
I& |
= I& |
×e j j1 |
|
i |
= I |
1M |
×sin(wt + y |
). |
|
||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
При проверке решения задачи по законам Кирхгофа используют частную
форму записи мгновенных значений токов и напряжений для моментаt = 0 . Очевидно, что необходимыми условиями проверки являются тождества
17
i (0 )= i |
2 |
0( +)i 0 ;( ) |
i (0 )= i |
¢(0 )+ i |
²(0 ); |
1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
uвх (0)= u1 (0)+ u2 (0); u3 (0)= uR3 (0)+ uC 3 (0)= uR3 (0)+ uаб (0).
Допустимая относительная погрешность при проверке не должна превышать ± 5 %.
2.3.4. Составление баланса активных и реактивных мощностей При записи баланса мощностей в символической форме можно восполь-
зоваться уравнением следующего вида:
*
U&вх × I вх = I12 × Z1 + I22 × Z 2 + I32 × Z 3 ,
где реальная (вещественная) часть этого уравнения соответствует балансу активных мощностей источника и приемника, а мнимая часть – балансу реактивных мощностей.
**
Комплекс сопряженного тока I вх = I1 отличается от комплекса тока I вх заменой знака перед аргументом на противоположный. Необходимо обратить внимание, что в правой части уравнения баланса записываются только модули токов, протекающих в ветвях, а аргументы этих комплексных величин во внимание не принимаются.
Таким образом, в результате расчета следует подтвердить справедливость двух тождеств:
|
|
Pист » Pпр и |
Qист » Qпр , |
где Pист |
и |
Qист – активная и реактивная составляющие полной мощности |
|
|
|
источника соответственно; |
|
Pпр |
и |
Qпр – активная и реактивная составляющие полной мощности |
|
|
|
приемника соответственно. |
2.3.5.Построение волновых диаграмм тока, напряжения и мощности на входе цепи
Перед построением волновых диаграмм следует записать мгновенные значения входного напряжения и входного тока (он же ток i1), например,
uвх = Uвх.м ×sin(wt + yu ); iвх |
= iвх = I1M ×sin(wt + yu ). |
|||
Цифровые |
значения |
величин |
известны по |
результатам расчета |
п. 2.3.2. Тогда мгновенная мощность будет определяться выражением |
||||
Pвх = Uвх |
× I1 × cos (yu - yi )-U вх × I1 × cos (2wt + yu + yi ), |
|||
или, учитывая, что yu - yi |
= j , можно записать |
|
||
Pвх = Uвх × I1 × cos j -Uвх × I1 × cos (2wt + yu |
+ yi ). |
18
Таким образом, волновая диаграмма входной мощности будет отличаться по характеру от волновых диаграмм тока и напряжения изменением во времени с двойной частотой и требует учета этого свойства при ее построении и расчете.
При построении кривых выбирается оптимальный масштаб для каждой величины по оси ординат, а по оси абсцисс допустимо использовать как градус-
ную, так и радианную меру |
угла с |
изображением кривых в интервал |
0...2pрад, или 0…360о. |
|
|
Максимальные величины uвх |
и iвх соответствуют значениям моментам |
|
времени, дополняющим результирующий угол в аргументе sin до 90о. Результа- |
||
ты вычислений рекомендуется оформить в виде таблицы. |
||
Построение кривой Pвх может быть выполнено не только аналитически, |
||
но и графически, с использование6м кривых U вх |
и iвх (см. рис. 2.2.). |
Рис. 2.2. Волновые диаграммы
Пусть, например, начальная фаза напряжения yu > 0, а начальная фаза
тока y < 0 . Построив кривые тока и напряжения, отметим на оси абсцисс
i
точки с нулевым значением этих величин.
Следовательно, при этих значениях мощность Pвх также принимает нулевые значения. В середине каждого интервала мощность принимает максимальное или минимальное значение. Эта величина определяется произведением
19