Фишбейн, механика

Консервативные силы: гравитационная, тяжести, упругости, натяжения, Кулона. Неконсервативные силы: трения, сопротивления, тяги, живых существ, неупругой деформации.

Пример. Для работы силы трения ( A1,2 < 0 ) имеем: DE= E2 - =E1= A1,2	-Q,
где Q > 0 - выделившееся при трении тепло.
Законы сохранения кинетической T , потенциальной энергии	U и
полной E = U + T механической энергии
Если работа всех сил равна нулю, то T2 = T1 = const .
Если работа консервативных сил равна нулю, то U1 =U2 = const.
Если работа неконсервативных сил равна нулю, то E2 = E1 = const.

Закон сохранения полной энергии (механической, внутренней и т. д.).

Полная энергия тела или системы тел не меняется, а только переходит от одного тела к другому или из одной формы в другую.

Пример: Остановка тела при ударе.

T1 = T2 + Q – переход части энергии упорядоченного движения(кинетической,

T1 > T2 ) в энергию неупорядоченного (внутреннюю с выделением тепла Q > 0 ).

Импульс материальной точки (тела) и системы материальных точек

p = mv	r	r	-импульс системы материальных точек.
	- импульс м.точки, p = å pi

i=1

Закон изменения импульса

Пусть F - или равнодействующая сил, действующих на материальную точку или равнодействующая только внешних сил, действующих на систему материальных точек; p - или импульс материальной точки или импульс сис-

темы материальных точек. Тогда								t2 r
	dp r				r	r	r
	r	= F						=òFdt -импульс сил (внешних сил)
				или	Dp	p(t=2 ) - p(t1)
	dt
								t1
	dpx					t2
			= Fx	или	Dpx	òF=xdt - площадь под кривой Fx от t с учетом знака.
	dt		r		r	t1
						r
Если F = const или F = Fсред =const , то
						r	r	Dpx = FxDt .
						Dp	=F Dt ,

60

Законы сохранения импульса

Если материальная точка свободная (не действуют силы) или система материальных точек замкнутая (не действуют внешние силы); если силы (внешние силы) действуют, но их равнодействующая равна нулю; если равнодействующая сил (внешних сил) не равна нулю, но ограничена по величине, а

процесс очень быстрый ( Dt малая величина), то

r

p = const или px = const или

r p1 =

p1x

r	r	r	r
p2 , (точка)	p = const или	pI	= pII (система)
= p2 x , (точка)	px = const или		pIx = pIIx (система)

Отметим, что если импульс системы точекне меняется, то импульсы точек системы могут меняться.

Быстрое столкновение двух материальных точек (тел)

При абсолютно упругом соударении двух м. т. (тел) полный импульс сис-

темы и механическая энергия сохраняются

r

r

r

r

m1v1

+ m2 v2=

m1u1 + m2u2 ,

m v2

m v2

m u2

m u2

(

1 1

+U1 ) + (

2 2

+U2 )= (

1 1

+U1¢) + (

2 2

+U2¢),

2

2

r

r

r

r

2

2

,U ,U

,U

¢,U ¢

-скорости и потенциальные энергии 1 и 2 м. т.

где v , v

2

2

,u

,u

2

1

1

1

1

2

до и после удара. Чаще всего имеют место равенства: U1 = U1¢,U2 = U2¢.

r

При

абсолютно

неупругом (после

удара

тела двигаются вместе

r

r

u1

= u2

= u ) соударении двух м. т. (тел)

полный импульс системы сохраняется,

а механическая энергия уменьшается.

r

r

r

m v

+ m v=

(m + m )u

,

1

1

2

2

1

2

m v2

m v2

m u2

m u2

(

1 1

+U1 ) + (

2 2

+U2 ) > (

1 1

+U1¢) + (

2 2

+U2¢).

2

2

2

2

При относительно (частично) неупругом (после удара тела двигаются раздельно) соударении двух м. т. (тел) полный импульс системы сохраняется, а механическая энергия уменьшается

r	r	r	r
m1v1	+ m2 v2= m1u1		+ m2u2 ,

(	m v2	+U ) + (	m v2	+U	) > (	m u2
	1 1		2 2			1 1
2		1	2	2	2

Момент импульса. Закон сохранения

(см. динамику вращательного движения).

m u2

+U1¢) + ( 2 2 +U2¢). 2

61

Тесты с решениями

1. Тело движется под действием силы, зависимость проекции которой от координаты представлена на графике:

Работа силы (в Дж) на пути 4 м равна … 30

Решение

Работа переменной силы на участке [x , x ] определяется как интеграл:

= 1 2

Используя геометрический смысл определенного интеграла, можно найти работу, которая численно равна площади трапеции:

=

4 + 2

∙ 10 = 30 Дж.

2.

На

рисунке

показан

2

вектор ,

действующейсилы

на

частицу:

Работа, совершенная этой силой

при перемещении

y

частицы из начала координат в точку с координата-

ми (5; 2), равна ….19 Дж.

Решение

. С учетом того,

что

По определению

(см. рис.),

Дж.

= 3 + 2 = const

=

)

(

)

(

= ∫ = ∆ + ∆ = 3 5 − 0 + 2 2 − 0 = 19

3.

Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точкиM (3, 2) в

точку N (2, –3). При этом на нее действовала сила

(координаты то-

чек и сила

заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой

,

равна ..

21

Дж.

= 4 − 5

Решение

=

. С учетом того, что

,

Дж.

По определению

)

(

)(

= const

(

)

= ∫ = ∆ + ∆ = 4 2 − 3 +

−5 −3 − 2 = 21

62

точки = 3 + 2

массой m = 100 г начинает двигаться под

действием

4.

Материальная точка

силы

t = =

+

радиус-вектора

материальной

(Н).

Если

зависимость

от времени имеет вид

(м), то мощность (Вт), развиваемая

силой в момент времени

1 с равна … 12

Решение

Мощность, развиваемая силой в некоторый момент времени, равна

=

=

=

,

= 2 ,

= 3 .

= 2 + 3 ,

т. е.

где – скорость материальной точки. По определению

Так как

= ( )

= 3 · 2

+ 2 · 3 = 6 + 6 ,

+

, то

= 12

Вт.

= 10

(1) = 6 · 1

+ 6 · 1

на

0

=

5.

Тело массы

г бросили с поверхности земли с начальной скоростью

м/с под углом α

30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением

мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тел

воздуха, средняя = 100

землю, равна …

Решение

По

определению

средняя

мощность, развиваемая

силой

за

некоторый

промежуток времени, равна отношению работы, совершаемой силой за рассматриваемый промежуток времени, к длительности этого промежутка

Так как сила тяжести–

консервативная сила,

и

потенциальная

энергия

тела,

−

) =

= .

так как по= −

= −(

−

= 0,

=

,

где

−

поднятого над землей на не очень большую высоту равна

высота, то

=

условию задачи

(поверхность Земли). Следовательно, и

= 0.

63

6. Потенциальная энергия частицы задается функцией

точке

. Fy – ком-

понента (в Н)

вектора силы,

, рав-

действующей на частицу в= −3 A(3, 1, 2)

на … 36. (Функция U и координаты точки A заданы в единицах СИ.)

Решение

Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей по-

Таким

= −

,

= −

,

= −

, или

тенциальной силой имеет вид

= −grad

,

( , ,

) = − = − (−3

) = 6

образом,

= 6 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 2 = 36

7.

(3,1,2) = 6

Н.

= −

−

B+

Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле задана функцией

.Работа потенциальной силы (в Дж) по перемещению час-

тицы из точки

(1, 1, 1) в точку C(2, 2, 2) равна … 3. (Функция U и коорди-

наты точки A заданы в единицах СИ.)

Решение

Работа потенциальной силой совершается за счет убыли потенциальной

Тогда

, = −∆ =

−

=

,

,

−

,

, .

энергии частицы:

, = (−1 − 1 + 1 ) − (−2 − 2 + 2 ) = −1 + 4 = 3 Дж.

8. В потенциальном поле сила F пропорциональна градиенту потенциальной энергии Wp. Если график зависимости потенциальной энергии от координаты

Х приведен на рисунке, то зависимость проекции силы Fx на ось Х верно показана на….3 графике.

1

2

3

4

64

Решение

Так как
и производная		убывающей функции является отрица-
		линейно = −	,	.
тельной константой,	то правильный график –		3
	/

9. Для того чтобы раскрутить стержень массыm1 и длины l1 (см. рисунок) вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину, до угловой скорости ω, необходимо совершить работу A1.

Для того чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы m2 = 2m1 и длины l2 = 2l1, необходимо совершить работу в ..8 раз бόльшую, чем A1.

Решение

Совершенная работа

равна

приращению

кинетической энергии враща-

= − =

ω

− 0 =

ω

,

=

,

тельного движения стержня

2

12

ω

2ω

2

=

− 0 =

, =

=

(2

)

= 8

= 8 .

2

2

12

12

12

= 2 = 8

2

= 8 .

Следовательно,

ω

ω

10. Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии r1 друг от друга. Стержень может вращаться без трения

в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скоро-

сти ω, при этом была совершена работаA1. Шарики раздвинули симметрично на расстояние r2 = 2r1 и раскрутили до той же угловой скорости.

65

При этом была совершена работа …

A2 = A1/3 A2 = 2A1

A2 = 4A1

A2 = A1/4

Решение

Совершенная работа

равна

приращению кинетической

энергии враща-

=

ω − 0 =

ω

,

= ( ) + ( ) =

,

тельного движения стержня

2

2

2

2

2

ω

ω

(2

)

=

2

− 0 =

, = 2 (

2

) = 2

=

4

= 4

2

4

2

Следовательно,

= 2

= 4

2 = 4 .

ω

ω

11. График зависимости потенциальной энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке

Решение

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести

En = mgh.

Для тела, брошенного под углом к горизонту и упавшего на землю, график зависимости потенциальной энергии от высоты подъема имеет вид, представленный на данном ри-

сунке, т.к. сначала h и En растут до максимума, а потом уменьшаются до нуля.

66

12. График зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту от высоты подъема, имеет вид, показанный на рис. …1

1

2

3

4

Решение

Так единственная сила, действующая на тело, есть консервативная сила

тяжести, то имеет место закон сохранения полной механической энергии

Здесь

−

=

неконс

= 0.

начальный и произвольный момент времени, имеем

Тогда, сравнивая=

+

,

=

2

,

=

.

Следовательно,

2

+ 0 =

2

+

.

=

( ) −

.

α

убывающая

cos

если

т. е.

линейно-( )

=

2

=

2

−

,

(Исключение α

°(.

)

=

=

≠ 0.

(в верхней точке движения), то

В этом случае в точке максимального подъема кинети-

ческая энергия

(и скорость) равны

нулю.) Таким образом, правильный график

2

2

зависимости (в

общем случае) показан на первом рисунке.

= 90

13. График зависимости кинетической энергии от времени для тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид, показанный на рис. …1

1

2

3

4

67

Решение

Так как даже в верхней точке траектории у тела имеется горизонтальная составляющая скорости, то кинетическая энергия его не равна нулю на любой точке траектории. (2 и 3 графики не верны).

На последнем графике существует точка,

где производная

слева

не равна производной справа (разрыв) и

(выпуклая функция) на

всем временном промежутке. Для кинетической энергии тела имеем

/

=–

+

/

< 0

где и

проекции скорости тела на оси OX и OY соответственно. Если те-

2

=

2

,

=

,

=

−

ло брошено под углом к горизонту, то

и

=

(2

+ (2

+

− ) )

=

2

−

2

2

+

2

,

Очевидно,

что

непрерывная

функция

от , а

.

= −

2

,

=

.

t

> 0

Любой критерий позволяет утверждать, что правильный график – первый.

/

−

/

14. Тело массы m, прикрепленное к пружине с жесткостью k, может без трения двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник).

График зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид, показанный на рисунке …1

1 2 3 4

Решение

Так как единственная сила, действующая на тело, есть консервативная сила упругости, то имеет место закон сохранения полной механической энер-

68

=

= 0

гии. Дополнительно предполагаем, что первоначально тело отклонили от поло-

Здесь

−

=

= 0.

жения равновесия на

отпустили (

).

=

+

,

=

неконс

,

=

.

Тогда

=

2

2

+

2

Следовательно,

( ) = 2

−

2

=

2 ( − ).

0 +

2

=

2

2 .

Для оценки поведения данной функции рассмотри ее вторую производную.

´´

Следовательно,

это выпуклая

функция, что соответствует первому рисунку.

(

)

= − .

15. Теннисный мяч летел с импульсом

в горизонтальном направлении, когда

теннисист произвел по мячу резкий

удар длительностью

. Изменив-

с

шийся импульс мяча стал равным

масштаб указан на рисунке).

(

∆

= 0,1

Средняя сила удара равна …40H

40 H

30 H

0,4 H

0,2 H

Решение

Изменение импульса мяча

|

|/∆

=

.

= const, =

|·

|

= 4=

= 40 H.

Из

построения

следует,

что

катет в прямоугольном тре-

и

|

4/0,1

угольнике, равный

кг·м/с (см. рис. клеточки). Для

| −

F∆= =

16. На теннисный мяч который летел с импуль-

сом

, на короткое

время

0,01

с подействовал

порыв

ветра

с

постоянной

силой

300 Н,

и

импульс мяча

стал

равным

(масштаб и направление указаны на рисунке). Ве-

личина

импульса

была равна …

1 кг·м/с; 5 кг·м/с

33,2 кг·м/с;

6,2 кг·м/с;

6,1 кг·м/с;

69