Методичка по лабе Механики

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Технология машиностроения»

Т. А. Антропова

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ ДИАГРАММ

Руководство к лабораторной работе по курсу «Теория механизмов и машин»

для студентов всех форм обучения специальностей:

190302 – вагоны; 190303 – электрический транспорт железных дорог; 220401 – мехатроника

Екатеринбург

2009

УДК 004.023 А72

А72 Антропова Т.А. Кинематический анализ механизмов методом диаграмм : Руководство к лабораторной работе по курсу «Теория механизмов и машин»

/ Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2009

Руководство составлено в соответствии с учебным планом по дисциплине «Теория механизмов и машин».Показана структурная схема механизма, подробно изложен принцип построения диаграмм перемещений, скоростей и ускорений методом графического дифференцирования, приведено нахождение кинематических величин через масштабные коэффициенты.

Руководство предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курсы «Теория механизмов и машин» и «Прикладная механика». Текстовая часть руководства составлена в соответствии с ГОСТ 2.105–95 ЕСКД «Общие требования к текстовым документам».

Утверждено на заседании кафедры Технология машиностроения, протокол № 6 от 11 февраля 2009 года.

Рецензент:

А.В. Сирин – доцент, кандидат технических наук, зав. кафедрой «Технология машиностроения» (УрГУПС).

УДК 004.023

©Уральский государственный университет путей сообщения

(УрГУПС), 2009

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ

1ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ……………………………………………………………...4

2Ɂɚɞɚɧɢɟ …………………………………………...………………………4

3ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɩɪɢɛɨɪɵ ɢ ɩɨɫɨɛɢɹ ……………………..……………….4

4Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ………………………..……………5

5Ɇɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɭɤɚɡɚɧɢɹ ɩɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɸ ɪɚɛɨɬɵ ……...………………8

6ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɨɬɱɟɬɚ ………………………………………..……………14

7Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɟ ɜɨɩɪɨɫɵ ………………………………………………….15

Ʌɢɬɟɪɚɬɭɪɚ ………………………….. …………………...………………16

3

ɄɂɇȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɃ ȺɇȺɅɂɁ ɆȿɏȺɇɂɁɆɈȼ

ɆȿɌɈȾɈɆ ȾɂȺȽɊȺɆɆ

1 ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ

1.1Ɂɚɤɪɟɩɥɟɧɢɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɫɜɟɞɟɧɢɣ, ɨɬɧɨɫɹɳɢɯɫɹ ɤ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɦ ɦɟɬɨɞɚɦ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɩɥɨɫɤɢɯ ɪɵɱɚɠɧɵɯ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ.

1.2Ɉɫɜɨɟɧɢɟ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɝɪɚɮɢɤɨɜ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɹ ɩɨ ɝɪɚɮɢɤɭ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ.

2 Ɂɚɞɚɧɢɟ

2.1ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɭɸ ɫɯɟɦɭ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ.

2.2Ⱦɥɹ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɩɨ ɟɝɨ ɦɨɞɟɥɢ ɩɭɬɟɦ ɡɚɦɟɪɨɜ ɨɩɪɟ-

ɞɟɥɢɬɶ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɭɝɥɚ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɤɪɢɜɨɲɢɩɚ.

2.3 ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɞɢɚɝɪɚɦɦɭ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɜɪɚɳɟɧɢɟ ɤɪɢɜɨɲɢɩɚ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ.

2.4 Ɇɟɬɨɞɨɦ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟ-

ɫɤɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɹ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɪɟɦɟɧɢ.

2.5 Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɤɪɢɜɨ-

ɲɢɩɚ.

2.6 Ⱦɚɧɧɵɟ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɡɚɧɟɫɬɢ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ.

3 ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɩɪɢɛɨɪɵ ɢ ɩɨɫɨɛɢɹ

–ɤɪɢɜɨɲɢɩɧɨ-ɩɨɥɡɭɧɧɵɟ ɦɟɯɚɧɢɡɦɵ;

–ɩɥɚɤɚɬɵ ɫ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟɦ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɚɪ;

–ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɢɪ.

4

4 Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɫɜɟɞɟɧɢɹ

ɋɢɫɬɟɦɚ ɬɟɥ, ɩɪɟɞɧɚɡɧɚɱɟɧɧɚɹ ɞɥɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɬɟɥ ɜ ɬɪɟɛɭɟɦɵɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɞɪɭɝɢɯ ɬɟɥ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɟɯɚɧɢɡ-

ɦɨɦ. Ɇɟɯɚɧɢɡɦɵ, ɜɯɨɞɹɳɢɟ ɜ ɫɨɫɬɚɜ ɦɚɲɢɧɵ, ɜɟɫɶɦɚ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɵ: ɨɞɧɢ ɫɨ-

ɫɬɨɹɬ ɬɨɥɶɤɨ ɢɡ ɬɜɟɪɞɵɯ ɬɟɥ, ɞɪɭɝɢɟ – ɢɡ ɝɢɞɪɚɜɥɢɱɟɫɤɢɯ, ɩɧɟɜɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɟɥ ɢɥɢ ɫɨɞɟɪɠɚɬ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɢɟ, ɦɚɝɧɢɬɧɵɟ ɢ ɞɪɭɝɢɟ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ. Ɍɚɤɢɟ ɦɟ-

ɯɚɧɢɡɦɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɝɢɞɪɚɜɥɢɱɟɫɤɢɦɢ, ɩɧɟɜɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦɢ,

ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɢɦɢ ɢ ɬ. ɞ.

ȼɫɹɤɢɣ ɦɟɯɚɧɢɡɦ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɞɟɬɚɥɟɣ (ɬɟɥ). ȼ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚɯ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɝɨ ɬɢɩɚ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɞɟɬɚɥɢ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵ, ɞɪɭɝɢɟ ɞɜɢɠɭɬɫɹ ɨɬɧɨ-

ɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɢɯ. ȼ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚɯ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɝɨ ɬɢɩɚ, ɤɚɤ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ ɞɜɢɝɚɬɟɥɟ ɫɚɦɨɥɟɬɚ ɢɥɢ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹ ɡɚ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɟ ɞɟɬɚɥɢ ɭɫɥɨɜɧɨ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬɫɹ ɞɟ-

ɬɚɥɢ, ɧɟɢɡɦɟɧɧɨ ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɤɨɪɩɭɫɨɦ ɫɚɦɨɥɟɬɚ ɢɥɢ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹ. ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɷɬɨɦɭ, ɜ ɤɪɢɜɨɲɢɩɧɨɦ ɞɜɢɝɚɬɟɥɟ ɤ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɦ ɞɟɬɚɥɹɦ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ: ɤɨɪɩɭɫ ɞɜɢɝɚɬɟɥɹ, ɩɨɞɲɢɩɧɢɤ ɤɨɪɟɧɧɨɝɨ ɜɚɥɚ ɢ ɞɪɭɝɢɟ ɞɟɬɚɥɢ. ɉɨɞɜɢɠɧɵɦɢ ɞɟɬɚ-

ɥɹɦɢ ɫɱɢɬɚɸɬɫɹ: ɤɨɪɟɧɧɨɣ ɜɚɥ, ɩɨɪɲɧɢ, ɡɨɥɨɬɧɢɤɨɜɨɟ ɢɥɢ ɤɥɚɩɚɧɧɨɟ ɭɫɬɪɨɣ-

ɫɬɜɨ ɢ ɬ. ɞ. Ʉɚɠɞɚɹ ɩɨɞɜɢɠɧɚɹ ɞɟɬɚɥɶ ɢɥɢ ɝɪɭɩɩɚ ɞɟɬɚɥɟɣ, ɨɛɪɚɡɭɸɳɚɹ ɨɞɧɭ ɠɟɫɬɤɭɸ ɩɨɞɜɢɠɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɬɟɥ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɞɜɢɠɧɵɦ ɡɜɟɧɨɦ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɲɚɬɭɧ ɞɜɢɝɚɬɟɥɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɩɨɞɜɢɠɧɵɦ ɡɜɟɧɨɦ, ɯɨɬɹ ɲɚɬɭɧ ɦɨɠɟɬ ɫɨɫɬɨɹɬɶ ɢɡ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɞɟɬɚɥɟɣ (ɬɟɥɨ ɲɚɬɭɧɚ, ɤɪɵɲɤɢ, ɲɚɬɭɧɧɵɟ ɩɨɞɲɢɩɧɢɤɢ, ɛɨɥɬɵ, ɫɬɹɝɢɜɚɸɳɢɟ ɷɬɢ ɤɪɵɲɤɢ, ɢ ɬ. ɞ.). ȼɫɟ ɷɬɢ ɞɟɬɚɥɢ ɫɨ-

ɟɞɢɧɟɧɵ ɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɨɞɧɭ ɠɟɫɬɤɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɬɟɥ, ɧɟ ɢɦɟɸɳɢɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɞɪɭɝ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɪɭɝɚ. Ⱦɟɬɚɥɢ, ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɟ ɨɞɧɨ ɡɜɟɧɨ, ɢɧɨɝɞɚ ɧɟ ɢɦɟɸɬ ɠɟɫɬ-

ɤɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɸ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɥɟɧɬɚ ɤɨɧɜɟɣɟɪɚ ɧɟ ɫɜɹɡɚɧɚ ɫ ɞɟɬɚɥɹɦɢ,

ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɧɚ ɩɟɪɟɧɨɫɢɬ). ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɷɬɢ ɞɟɬɚɥɢ ɨɬɧɨ-

ɫɹɬɫɹ ɤ ɨɞɧɨɦɭ ɡɜɟɧɭ, ɫɥɭɠɢɬ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɟ ɢɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɪɭɝ

5

ɞɪɭɝɚ. Ɂɧɚɱɢɬ ɦɨɠɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ ɠɟɫɬɤɭɸ ɫɜɹɡɶ, ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɤɢɧɟɦɚɬɢ-

ɤɚ ɜɫɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɟ ɦɟɧɹɟɬɫɹ.

ȼɫɟ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɟ ɞɟɬɚɥɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɨɞɧɭ ɠɟɫɬɤɭɸ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɭɸ ɫɢɫɬɟ-

ɦɭ ɬɟɥ – ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨ ɡɜɟɧɨ (ɫɬɨɣɤɭ). ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɤɨɪɩɭɫ ɞɜɢɝɚɬɟɥɹ, ɩɨɞɲɢɩ-

ɧɢɤɢ ɤɨɪɟɧɧɨɝɨ ɜɚɥɚ ɢ ɬɨɦɭ ɩɨɞɨɛɧɨɟ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ – ɨɞɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɟ ɡɜɟɧɨ, ɢɥɢ ɫɬɨɣɤɚ.

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜ ɥɸɛɨɦ ɦɟɯɚɧɢɡɦɟ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɨɞɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɟ ɡɜɟɧɨ ɢ ɨɞɧɨ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɨɞɜɢɠɧɵɯ ɡɜɟɧɶɟɜ.

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɦɟɯɚɧɢɡɦ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɧɟ-

ɩɨɞɜɢɠɧɨɝɨ ɢ ɩɨɞɜɢɠɧɵɯ ɡɜɟɧɶɟɜ. ɉɨɞɜɢɠɧɵɟ ɡɜɟɧɶɹ ɜɯɨɞɹɬ ɜ ɫɨɟɞɢɧɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɢɥɢ ɫ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɦ ɡɜɟɧɨɦ ɬɚɤ, ɱɬɨ ɜɫɟɝɞɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɜɨɡɦɨɠ-

ɧɨɫɬɶ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɡɜɟɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɪɭɝɨɝɨ.

ɋɨɟɞɢɧɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɫɨɩɪɢɤɚɫɚɸɳɢɯɫɹ ɡɜɟɧɶɟɜ, ɞɨɩɭɫɤɚɸɳɟɟ ɢɯ ɨɬɧɨ-

ɫɢɬɟɥɶɧɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɩɚɪɨɣ.

ɉɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɥɢɧɢɢ, ɬɨɱɤɢ ɡɜɟɧɚ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɵɦ ɨɧɨ ɦɨɠɟɬ ɫɨɩɪɢɤɚɫɚɬɶɫɹ ɫ ɞɪɭɝɢɦ ɡɜɟɧɨɦ, ɨɛɪɚɡɭɹ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɩɚɪɭ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɡɜɟɧɚ.

ɋɜɹɡɚɧɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɡɜɟɧɶɟɜ, ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɩɚɪɵ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɰɟɩɶɸ.

Ʉɨɥɟɧɱɚɬɵɣ ɜɚɥ ɞɜɢɝɚɬɟɥɹ ɢ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɣ ɩɨɞɲɢɩɧɢɤ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɨɞɧɭ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɩɚɪɭ. ɒɚɬɭɧ ɫ ɤɨɥɟɧɱɚɬɵɦ ɜɚɥɨɦ – ɜɬɨɪɭɸ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɩɚɪɭ, ɩɨɪɲɟɧɶ ɫ ɲɚɬɭɧɨɦ – ɬɪɟɬɶɸ, ɩɨɪɲɟɧɶ ɢ ɰɢɥɢɧɞɪ – ɱɟɬɜɟɪɬɭɸ, ɚ ɫɨɜɨ-

ɤɭɩɧɨɫɬɶ ɷɬɢɯ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɚɪ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɰɟɩɶ. Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɜ ɨɫɧɨɜɟ ɜɫɹɤɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɥɟɠɢɬ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɰɟɩɶ. ɇɨ ɧɟ ɜɫɹɤɭɸ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɰɟɩɶ ɦɨɠɧɨ ɧɚɡɜɚɬɶ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɦ. Ɇɟɯɚɧɢɡɦ ɩɪɟɞ-

ɧɚɡɧɚɱɟɧ ɞɥɹ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɟɧɢɹ ɡɚɪɚɧɟɟ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɣ. ɉɨ-

ɷɬɨɦɭ ɬɨɥɶɤɨ ɬɚ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɰɟɩɶ ɛɭɞɟɬ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ, ɡɜɟɧɶɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɸɬ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɵɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɜɵɬɟɤɚɸɳɢɟ ɢɡ ɢɧɠɟɧɟɪɧɵɯ ɩɪɨ-

ɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ, ɞɥɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɤɨɧɫɬɪɭɢɪɨɜɚɧ ɦɟɯɚɧɢɡɦ.

6

Ʉɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬ ɩɨɥɧɵɣ ɰɢɤɥ ɢɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹ. Ⱥɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɥɢ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟ-

ɧɢɣ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ ɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɣ ɜɟɞɟɬɫɹ ɞɥɹ ɪɹɞɚ ɩɨɥɨɠɟɧɢɣ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ, ɞɨɫɬɚ-

ɬɨɱɧɨ ɛɥɢɡɤɨ ɨɬɫɬɨɹɳɢɯ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ. ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟ-

ɫɤɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɥɢɛɨ ɫɜɨɞɹɬɫɹ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ, ɥɢɛɨ ɩɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɫɬɪɨɹɬɫɹ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ. ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɯɚɪɚɤɬɟɪɚ

ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɵɯ ɡɜɟɧɶɟɜ ɢɥɢ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɨɫɬɪɨɟɧɵ ɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ. ȼ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱɚɯ

ɬɟɨɪɢɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ ɤɚɠɞɚɹ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɞɢɚɝɪɚɦɦɚ ɨɛɵɱɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɚɪɚ-

ɦɟɬɪɨɜ ɡɜɟɧɚ – ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ, ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɢɥɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɡɜɟɧɚ ɢɫɫɥɟɞɭɟ-

ɦɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɪɟɦɟɧɢ ɢɥɢ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɜɟɞɭɳɟɝɨ ɡɜɟɧɚ ɦɟɯɚ-

ɧɢɡɦɚ, ɬ. ɟ. ɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɤɪɢɜɨɲɢɩɧɨ-ɩɨɥɡɭɧɧɵɣ ɦɟɯɚɧɢɡɦ (ɪɢɫ. 4.1),

ɬɨ ɞɥɹ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ sɋ, ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ ȣɋ ɢ ɭɫɤɨɪɟɧɢɣ ɚɋ ɬɨɱɤɢ ɋ ɤɚɤ ɩɟɪɟ-

ɦɟɳɚɸɳɟɣɫɹ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨ ɭɞɨɛɧɨ ɫɬɪɨɢɬɶ ɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɜ ɜɢɞɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɢɥɢ ɨɬ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚ-

ɬɵ ij2, ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ

sɋ = sɋ (t), ȣɋ = ȣɋ (t), aɋ = aɋ(t),	(4.1)
ɢɥɢ
sɋ = sɋ (ij2), ȣɋ = ȣɋ (ij2), aɋ = aɋ(ij2),	(4.2)

ɟɫɥɢ ɭɝɨɥ ij2 ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɡɜɟɧɚ 2 ɜɵɛɪɚɧ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ.

	ȼ
2	3
Ⱥ	ɋ
	x

Ȧ2

4

1

Ɋɢɫɭɧɨɤ 4.1 – Ʉɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɯɟɦɚ ɤɪɢɜɨɲɢɩɧɨ-ɩɨɥɡɭɧɧɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ

7

ȼ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɦɨɠɟɬ ɩɨɬɪɟɛɨɜɚɬɶɫɹ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɢ ɞɪɭɝɢɯ
ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ:
ȣɋ = ȣɋ (sɋ) ɢɥɢ aɋ = aɋ(sɋ).	(4.3)

Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ (4.3) ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɢɡ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ (4.1) ɢɫɤɥɸ-

ɱɟɧɢɟɦ ɢɡ ɩɟɪɜɨɣ ɢ ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ, ɢɥɢ ɢɡ ɩɟɪɜɨɣ ɢ ɬɪɟɬɶɟɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨ-

ɫɬɟɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ t.

ȿɫɥɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ ɩɨɞɥɟɠɚɬ ɭɝɥɨɜɵɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ij3, ɭɝɥɨɜɵɟ ɫɤɨɪɨ-

ɫɬɢ Ȧ ɢ ɭɝɥɨɜɵɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɹ İ3 ɲɚɬɭɧɚ 3 (ɪɢɫ. 4.1), ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢ-

ɱɟɫɤɨɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ

ij3 = ij3(t), Ȧ3 = Ȧ3(t), İ3 = İ3(t),

ɢɥɢ

ij3 = ij3(ij2), Ȧ3 = Ȧ3(ij2), İ3 = İ3(ij2),

ɚ ɬɚɤɠɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ

Ȧ3 = Ȧ3(ij3) ɢɥɢ İ3 = İ3(ij3).

5 Ɇɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɭɤɚɡɚɧɢɹ ɩɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɸ ɪɚɛɨɬɵ

5.1 ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ

5.1.1 ȼ ɩɟɪɜɭɸ ɨɱɟɪɟɞɶ ɜɵɱɟɪɱɢɜɚɟɬɫɹ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɚɹ ɫɯɟɦɚ. ɋɬɪɭɤɬɭɪɧɚɹ ɫɯɟɦɚ ɜɵɱɟɪɱɢɜɚɟɬɫɹ ɛɟɡ ɦɚɫɲɬɚɛɚ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ ɧɚ ɦɟɯɚɧɢɡɦɟ ɢɥɢ ɟɝɨ

ɦɨɞɟɥɢ ɦɨɠɧɨ ɬɨɱɧɨ ɡɚɦɟɪɢɬɶ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ ɜɟɞɭɳɟɝɨ ɡɜɟɧɚ. ȿɫɥɢ ɬɚɤɨɣ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɧɟɬ, ɬɨ ɫɬɪɭɤɬɭɪ-

ɧɭɸ ɫɯɟɦɭ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɱɟɪɱɢɜɚɬɶ ɜ ɦɚɫɲɬɚɛɟ ɢ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɩɟɪɟ-

ɦɟɳɟɧɢɟ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ.

5.1.2 ɉɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɡɚɦɟɪɹɸɬɫɹ ɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢɧɟɣɤɨɣ ɢɥɢ ɞɪɭɝɢɦ ɦɟ-

ɪɢɥɶɧɵɦ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɦ. (ɇɚ ɦɨɞɟɥɹɯ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɯ ɞɥɹ ɷɬɨɣ

8

ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ, ɢɦɟɸɬɫɹ ɲɤɚɥɵ, ɨɛɥɟɝɱɚɸɳɢɟ ɡɚɦɟɪ.) Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɩɟɪɟ-

ɦɟɳɟɧɢɣ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɢɡɦɟɪɹɸɬɫɹ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ, ɩɪɢɧɹɬɨɝɨ ɡɚ ɧɭɥɟɜɨɟ, ɩɪɢɱɟɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɨɬ ɧɭɥɟɜɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɜ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ ɫɱɢɬɚ-

ɟɬɫɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦ, ɚ ɜ ɞɪɭɝɭɸ ɨɬ ɧɭɥɟɜɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ – ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɦ. Ⱦɚɥɟɟɫɬɪɨɹɬɫɹɤɢɧɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟɞɢɚɝɪɚɦɦɵ sɋ=sɋ(ij2), ȣɋ= ȣɋ(ij2), aɋ= aɋ(ij2)

ɞɥɹ ɩɟɪɦɚɧɟɧɬɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɋ ɤɪɢɜɨɲɢɩɧɨ-ɩɨɥɡɭɧɧɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ

ABC, ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɨɝɞɚ ɤɪɢɜɨɲɢɩ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ Ȧ2

(ɪɢɫ. 5.1). Ɉɬɫɱɟɬ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ ɬɨɱɤɢ ɋ ɭɞɨɛɧɨ ɜɟɫɬɢ ɨɬ ɤɪɚɣɧɟɝɨ ɥɟɜɨɝɨ ɩɨ-

ɥɨɠɟɧɢɹ ɩɨɥɡɭɧɚ. ɗɬɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɛɭɞɟɬ ɧɭɥɟɜɵɦ.

	10	ȼ 9
	11
12	2	8	3

	Ȧ2	ij2		1 12 11		10	ɋ	8	7
1		Ⱥ					9
			7	2	3	4	5	6
		1
							4
	2		6

3	5
	4

Ɋɢɫɭɧɨɤ 5.1 – Ɋɚɡɦɟɬɤɚ ɩɭɬɟɣ ɬɨɱɟɤ ȼ ɢ ɋ ɤɪɢɜɨɲɢɩɧɨ-ɩɨɥɡɭɧɧɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ

Ʉɚɠɞɵɣ ɪɚɡ, ɩɨɜɨɪɚɱɢɜɚɹ ɤɪɢɜɨɲɢɩ ɧɚ 30°, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɦɟɪɢɬɶ, ɧɚ-

ɫɤɨɥɶɤɨ ɩɟɪɟɦɟɫɬɢɥɫɹ ɩɨɥɡɭɧ ɨɬ ɧɭɥɟɜɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ. Ɂɚɦɟɪɵ ɩɪɨɜɨɞɹɬɫɹ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ, ɩɨɤɚ ɤɪɢɜɨɲɢɩ ɧɟ ɫɨɜɟɪɲɢɬ ɨɞɢɧ ɩɨɥɧɵɣ ɩɨɜɨɪɨɬ (ɫɞɟɥɚɟɬ ɤɪɭɝ

360°). Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɧɭɠɧɨ ɡɚɧɟɫɬɢ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ 5.1.

											Ɍɚɛɥɢɰɚ 5.1
				Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɡɚɦɟɪɨɜ
ɍɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɤɪɢ-	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
ɜɨɲɢɩɚ ij2, °
ɉɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ	0
ɩɨɥɡɭɧɚ S, ɦ

9

5.1.3 ɉɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɡɚɦɟɪɨɜ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɞɢɚɝɪɚɦɦɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ. ɉɨ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ ɨɬɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɤɪɢɜɨɲɢɩɚ, ɩɨ ɨɫɢ ɨɪɞɢɧɚɬ – ɫɨɨɬ-

ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɩɨɥɡɭɧɚ.

Ɇɚɫɲɬɚɛ ɩɨ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ µij ɜ ɞɢɚɝɪɚɦɦɚɯ ɪɚɜɟɧ

ȝM	2ʌ ,	(5.1)
	l

ɝɞɟ l – ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ, ɩɪɨɣɞɟɧɧɨɟ ɩɨɥɡɭɧɨɦ ɡɚ ɩɨɥɧɵɣ ɨɛɨɪɨɬ ɤɪɢɜɨɲɢɩɚ, ɦɦ.

Ɇɚɫɲɬɚɛ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ ȝS, ɦ/ɦɦ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɸ

	ȝS	Si	,	(5.2)
		yi

ɝɞɟ Si – ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ, ɦ; yi – ɨɪɞɢɧɚɬɚ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɩɟɪɟ-

ɦɟɳɟɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɬɨɱɤɢ, ɦɦ; i – ɬɨɱɤɢ 1, 2, 3 …, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ ɩɨɥɨɠɟɧɢɸ ɤɪɢɜɨɲɢɩɚ (0°, 30°, 60°, …).

5.2 ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɫɤɨɪɨɫɬɢ

ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɦ ɞɢɮɮɟ-

ɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟɦ.

ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɡɚɦɟɪɨɜ ɧɚɣɞɟɧɚ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ s = f(t), ɢɥɢ s = f (ij2), ɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɚ ɞɢɚɝɪɚɦɦɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ (ɪɢɫ. 5.2). ɂɡ ɤɭɪɫɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢ-

ɤɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɬɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ ɧɚɤɥɨɧɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɝɪɚɮɢɤɚ ɪɚɜɧɹɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡ-

ɜɨɞɧɨɣ ɩɭɬɢ ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ – ɫɤɨɪɨɫɬɢ:

Xds tgĮ. dt

ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɝɪɚɮɢɤɚ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ (ɪɢɫ. 5.2).

ɉɪɨɜɨɞɹɬ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɟ ɤ ɤɚɠɞɨɣ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɨɣ ɬɨɱɤɟ Ai ɧɚ ɝɪɚɮɢɤɟ ɩɟ-

ɪɟɦɟɳɟɧɢɣ.

10