выч.математика - Башуров
.pdfфункция и f ¢¢(x) > 0 . При этом |
f ¢(x) > 0 , т. е. функция всюду возрастает, и |
|
так как lim (3x + x -=2) -¥ и |
lim (3x + x -=2) +¥, |
то график функции |
x®-¥ |
x®+¥ |
f (x) при целых x : |
пересекает ось Ox ровно один раз. Будем искать значения |
f (0) = -1; f (1) = 2 , следовательно, корень уранения находится на интервале
(0; 1). Так как |
f ¢¢(x) > 0 , то x = 0 – подвижный конец, x* =1 – неподвиж- |
|||||||||||||
ный конец. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 0 - (-1 )0 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Находим x |
= 0,333, f (x |
) = -0,225 . |
|
||||||||||
|
|
1 |
-1 - 2 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0,333 -1 |
|
|
|
|
||||||
|
Находим |
x |
= 0,333 - (-0, 225) |
|
= 0, 400 , |
f (x |
) = -0,048. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
-0, 225 - 2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Погрешность ε2 = |
0, 400 - 0,333 |
= 0,067 . |
|
|
|
|
||||||||
|
Находим |
x |
= 0, 400 - (-0,048) |
0, 400 -1 |
|
= 0, 414 , |
f (x |
) = -0,010 . |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
-0,048 - 2 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Погрешность ε3 = |
|
0, 414 - 0, 400 |
= 0,014 . |
|
|
|
|
|||||||
|
Находим |
x |
= 0, 414 - (-0,010) |
0, 414 -1 |
|
= 0, 417 . Погрешность |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
-0,010 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ε4 = |
0, 417 - 0, 414 |
= 0,003. Так как ε4 < ε , то процесс |
останавливаем, ре- |
|||||||||||
шением |
уравнения будет x = 0,42 ± 0,01. |
|
|
|
Решение данного уравнения численным методом секущих (аналог метода хорд) с помощью пакета Mathcad дает следующий результат: x = 0, 418 .
Более быстрым способом решения уравнений являетсяметод касательных (или метод Ньютона). Пусть уравнение f (x) = 0 имеет один корень на отрезке [a;b], а первая и вторая производные функции f (x) определены, не-
прерывны, сохраняют постоянный знак на этом интервале. Без ограничения общности f (a) < 0 , f (b) > 0 и f ¢(x) > 0 (функция возрастает), f ¢¢(x) > 0
30
(функция выпукла вниз). Выбираем в качестве начального приближения x0 тот конец интервала, где совпадают знаки функции и второй производной, – это правый конец интервала b . Проводим касательную к графику y = f (x) в точ-
ке (x0 ; f (x0 )) и находим пересечение касательной с осьюOx – полученное значение будет первой итерацией x1 . Далее проводим касательную через точку
(x1; f (x1 )), опять ищем пересечение с осьюOx , получаем вторую итерацию x2 , и т. д. Геометрически метод представлен на рис. 10.
Рис. 10. Иллюстрация метода касательных
Общая формула итерационной процедуры записывается следующим образом:
xi+1 = xi |
- |
f (xi |
) |
, i = 0, 1, 2,... |
f ¢(x |
|
|||
|
|
) |
||
|
|
i |
|
|
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие xi+1 - xi < ε , где ε – заранее заданная точность.
Пример. Найти корни уравнения sin (x)+1 = x2 методом касательных с
точностью ε =10-3 . |
f (x) = sin (x)+1- x2 . Вычисляем первую и вто- |
||
Решение. Обозначим |
|||
рую производные f ¢(x) = cos (x) - 2x и f ¢¢(x) = -sin (x) - 2 . |
Как |
видно, |
|
f (x) всюду непрерывная, |
дифференцируемая функция и f ¢¢(x) |
< 0 . |
Решим |
уравнение графически, записав его в виде sin (x) = x2 -1. Построим графики двух функций y1 = sin (x) и y2 = x2 -1 и найдем их пересечение (рис. 11).
31
Рис. 11. Графическое решение уравнения
sin (x) = x2 -1
Уравнение имеет два корня: меньший находится на интервале(-1; 0) ,
больший – на интервале (1; 2). Рассмотрим первый интервал и вычислим наи-
меньший корень. На этом интервале f ¢(x) > 0 , |
f (-1=) |
-0,8415; f (0) =1, |
|||
следовательно, |
в качестве |
начального |
приближения беремx = -1 и |
||
f ¢(-1) = 2,5403. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
итерацию x1 |
-0,8415 |
|
f (x1 ) = -0,0672 , |
|
Находим |
= -1 - |
= |
-0,6687 , |
||
|
|
2,5403 |
|
|
f ¢(x1 ) = 2,1220 .
-0,0672
Находим вторую итерациюx2 = -0,6687 - = -0,6370 ,
2,1220
f (x |
) = -0,0006 , f ¢(x |
) = 2,0779 . |
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Погрешность ε2 = |
|
-0,6687 + 0,6370 |
|
= 0,0317 . |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
итерациюx3 |
-0,0006 |
|
|||
|
Находим третью |
= -0, 6370 - |
= |
-0,6367 . По- |
|||||
|
|
|
|
|
2,0779 |
|
грешность ε3 = -0,6370 + 0, 6367 = 0,0003. Так как ε3 < ε , то процесс оста-
навливаем, решением уравнения будет x = -0,637 ± 0,001.
Рассмотрим интервал (1; 2)и вычислим второй корень. На этом интервале f ¢(x) < 0 , f (1) = 0,8415 ; f (2) = -2,0907 , следовательно, в качестве на-
чального приближения берем x0 = 2 и f ¢(2) = -4, 4161.
32
|
|
Находим |
итерацию x = 2 - |
-2, 0907 |
=1,5216 , |
f (x |
) = -0,3315, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4, 4161 |
|
|
|
1 |
|
|||||
f ¢(x |
|
) = -3,0090 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
-0,3315 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Находим |
x |
=1,5266 - |
=1, 4164 , |
|
|
f (x |
) = -0,0181, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
-3,0090 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f ¢(x |
|
) = -2,6790 . Погрешность ε |
2 |
= |
|
1, 4164 -1,5266 |
|
= 0,1102 . |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Находим |
x |
=1, 4164 - |
|
-0,0181 |
=1, 4096 , |
|
|
f (x ) = 0,0001, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
-2,6790 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
f ¢(x |
|
) = -2, 6587 . Погрешность ε |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
= |
1, 4096 -1, 4164 |
= 0, 0168. |
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Находим |
x =1, 4096 - |
0,0001 |
|
|
=1, 4096 . Значение |
перестало менять- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
-2,6587 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ся, процесс останавливаем, решением уравнения будет x =1, 410 ± 0,001. |
||||||||||||||||||||
|
Решение |
данного уравнения |
|
|
методом Ньютона с |
помощью пакета |
||||||||||||||
Mathcad дает следующий результат: x = -0,637 и x =1, 410 . |
|
6. Численное интегрирование
Численное интегрирование применяется, если первообразную нельзя выразить в элементарных функциях или подынтегральная функция задана в виде таблицы. Методы численного нахождения определенного интеграла сводятся к использованию его геометрического смысла(площадь криволинейной трапеции) в случае кусочно-непрерывной подынтегральной функции. Если подынтегральная функция задана таблично, то она аппроксимируется чаще всего через локальную интерполяцию.
33
b
Без ограничения общности рассмотрим ò f (x)dx , где на отрезке [a;b]
a
b
задана непрерывная положительная функция f (x). Тогда ò f (x)dx есть пло-
a
щадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a , x = b , y = 0 и
графиком y = f (x). Если функция принимает и отрицательные значения или
имеет конечное число разрывов, то интеграл можно разбить на сумму интегралов от непрерывных и знакопостоянных функций.
|
Разобьем отрезок [a;b] на n |
частичных |
отрезков одинаковой длины |
|||
h = |
b - a |
с помощью точек (узлов) |
x |
= a , x , |
x ,…, |
x = b . В каждом узле |
|
||||||
|
n |
0 |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
определяем значения yi = f (xi ). Приближая криволинейную трапецию пря-
моугольниками, получаем формулы вычисления определенного интеграла:
b
ò f (x)dx » h( y0 + y1 + ... + yn-1 ) (формула левых прямоугольников);
a b
ò f (x)dx » h (y1 + y2 + ... + yn ) (формула правых прямоугольников).
a
Погрешность формул прямоугольников порядка h .
Рис. 12. Метод левых прямоугольников
Более точным приближением являются трапеции (или линейная интерполяция), которые дают формулу трапеций
34
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
æ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
n |
|
|
ö |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (x)dx » hç |
|
|
|
+ y1 |
+... + yn-1 + |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||
с погрешностью порядка h2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Через специально построенные трапеции выводитсяформула Симпсона |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для четного числа n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
h |
(y0 + 4( y1 + y3 + ... + yn-1 )+ 2 (y2 + y4 + ... + yn-2 )+ yn ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò f (x)dx » |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Погрешность метода порядка h3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример. Вычислим ò0 |
|
точно и численно по формулам с шагом раз- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
биения h = 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
= arctg= (x=)|1 |
π |
|
|
|
0, 785398... |
|
|||||||||||||||
|
|
Решение. Точное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò0 1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Вычислим значения в узлах y = |
|
|
|
|
, где x |
= h ×i , i = 0,1,...,10 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1+ x2 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xi |
|
0 |
|
0,1 |
|
|
0,2 |
|
0,3 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,5 |
|
0,6 |
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
0,9 |
1,0 |
||||||||||
yi |
|
1 |
|
0,9901 |
|
0,9615 |
|
0,9174 |
|
0,8621 |
|
|
|
0,8 |
|
0,7353 |
|
0,6711 |
|
|
|
0,6098 |
|
0,5525 |
0,5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
» 0,8100 , |
||||
|
|
Тогда по формуле левых прямоугольников получаем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0 1+ x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
по формуле правых прямоугольников– |
|
ò0 |
» 0,7600 , по формуле трапе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ций – ò0 |
|
» 0,7850 , по формуле Симпсона – ò0 |
|
» 0,7854 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
1+ x2 |
|
|
С помощью Mathcad можно вычислить следующим образом:
35
7. Ряды Фурье
При решении различных задач приходится вычислять на компьютере значения элементарных функций. Один из основных способов вычисления значе-
ний – разложение функций в степенные ряды. Например, функция sin (x) за-
меняется рядом Маклорена в следующем виде:
sin (x )= x - x3 + x5 - x7 + ...
3! 5! 7!
При известном значении аргумента x значение функции может быть получено с точностью до погрешности округления.
Периодические функции, которые описывают периодические процессы, встречающиеся в радиотехнике, электротехнике, теории автоматического регулирования и т. д., целесообразнее разлагать в тригонометрический ряд. Простейшим периодическим процессом являетсяпростое гармоническое колебание, описываемое функцией
y = Asin (ωt + φ0 ), t ³ 0 ,
где A – амплитуда колебаний, ω – частота, φ0 – начальная фаза. Функцию такого вида и ее график называют простой гармоникой. Периодом функции яв-
ляется T = 2π . Простую гармонику можно представить через периодические
ω
функции sin (ωt ) и cos (ωt ) в виде
y = Asin (ωt + φ0 ) a cos=(ωt ) + bsin (ωt ).
Сложное гармоническое колебаниевозникает в результате наложения счетного числа простых гармоник и также представляется через периодические
функции вида sin (ωt ) и cos (ωt ), являясь при этом периодической функцией.
Пусть f (x) – конечная функция с периодом 2π , кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная на интервале [-π; π]. Ее можно представить в видеряда Фурье, членами которого являются простые гармоники
f (x )= |
a0 |
+ a cos(x )+ b sin (x )+ a cos |
(2x )+ b sin (2x |
)+... = |
|||||||
|
|||||||||||
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
||
|
a0 |
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
+ åan cos(nx )+ bn sin (nx ), |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|||
где an , bn называются коэффициентами |
Фурье и |
находятся по |
следующим |
||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
1 |
f (x )dx , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
π -òπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
|
|
an |
= |
1 |
|
π |
f (x )cos |
nx( |
dx), n =1, 2, 3,..., |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
π -òπ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
= |
1 |
π |
f (x )sin |
nx( |
dx), n =1, 2, 3,... |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
π -òπ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрываx |
|
|
|
|||
|
В |
каждой |
точке |
|
принимается |
значение |
|||||||||
|
f (x0 - 0) + f (x0 |
+ 0) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
. Аналогично в точках x = π + 2πk , k – целое, в силу |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (π - 0) + f (π + 0) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
периодичности функции берется значение |
|
|
. |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) |
периода 2π , заданную |
|||||||||||||
на отрезке [-π; π] |
формулой |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x )= íì0, -π £ x < 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx, |
0 £ x £ π. |
|
|
|
Решение. Находим коэффициенты ряда Фурье:
|
|
|
1 |
π |
|
f (=x )dx |
1 æ 0 |
|
|
|
|
π |
ö |
|
1 x2 |
|
π |
|
|
|||||||||||||||
|
a0 |
= |
|
ò |
|
|
ç ò 0dx + òxdx ÷ |
= |
|
|
|
|
|0π = |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
-π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π è -π |
|
|
|
0 |
|
ø |
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
an = |
1 |
π |
f (x )cos nx( =dx) |
|
1 |
|
π x cos (nx=)dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
u = x |
|
|
π -òπ |
|
du = dx |
|
|
|
|
|
ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
1 |
æ x |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
ö |
|
||||||||||
= ê |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ú |
|
sin (nx )|π - |
sin (nx )dx |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||||||
êdv = cos |
(nx |
)dx |
|
|
|
|
|
|
sin (nx ú) |
ç |
|
|
n |
|
|
0 |
|
n |
ò0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
v = |
|
|
π è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ë |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
û |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
cos(nx )|π= |
écos (πn )-1ù ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π n2 |
|
|
|
0 |
πn2 ë |
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn =
é |
u = x |
|
= ê |
|
= |
êdv = sin= (nx |
)dx |
|
ë |
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (x )sin nx( =dx) |
|
òx sin (nx=)dx |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
||||||||||||
π -π |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
du = dx |
ù |
1 æ |
|
|
1 |
|
π |
|
1 π |
ö |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
ú |
|
ç |
-x |
|
|
cos (nx |
)|0 |
+ |
|
ò0 |
cos (nx )dx ÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
v |
- |
|
cos(nx |
)ú |
π è |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
ø |
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 é |
- |
π |
cos (p n |
)+ =1 |
sin (nx |
)|π ù |
- |
1 |
cos (πn ). |
||
|
ê |
|
|
|||||||||
|
|
n |
n |
2 |
|
0 ú |
|
n |
||||
|
π ë |
|
|
|
û |
|
37
В результате разложения f (x) в ряд Фурье, например до n = 5 , получаем:
y (x,5 )= |
π |
- |
2 |
cos(x )+ sin (x )- |
1 |
sin(2x) - |
2 |
cos(3x |
)+ |
1 |
sin (3x |
)- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
π |
2 |
|
9π |
3 |
|
||||||||||
- |
1 |
sin(4x) - |
2 |
cos (5x )+ |
1 |
sin(5x) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
25π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13. Исходная функция и ее представление через ряд Фурье
Если функция f (x) имеет произвольный период 2l , является кусочно-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
] |
, |
то ее можно разло- |
|
непрерывной и кусочно-монотонной на интервале -l;l |
|
||||||||||||||||||||||||||
жить в ряд Фурье вида |
|
|
|
|
|
a |
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
æ πnx ö |
|
|
æ πnx ö |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x )= |
|
+ |
åan cosç |
|
|
÷ |
+ bn sin ç |
|
÷, |
||||||||||||||||||
|
|
l |
l |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
||||||||
где an , bn находятся по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= |
1 |
|
|
l |
f (x )dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
l -òl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f (x )cos |
æ πnx ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
an |
= |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷dx , n |
=1, 2, 3,...; |
|
|||||||||||||
l -òl |
|
|
l |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b |
= |
1 |
l |
f (x )sin |
æ |
πnx |
ödx , n =1, 2, 3,... |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
l -òl |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
l |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если раскладываемая функция f |
(x) |
является |
четной или нечетной, то |
упрощается вычисление коэффициентов Фурье. У четной функции все bn = 0 и
38
|
a |
0 |
¥ |
æ |
πnx ö |
|
|
в разложении остаются только косинусы: f (x )= |
|
+ åan cos ç |
|
÷ |
. У не- |
||
|
|
l |
|||||
2 |
n=1 |
è |
ø |
|
четной функции |
|
всеan = 0 , и функция представляется через синусы: |
|||
¥ |
æ |
πnx ö |
|
||
|
|
||||
f (x )= åbn sin ç |
|
|
÷ |
. Тогда коэффициенты можно находить по следующим |
|
l |
|
||||
n=1 |
è |
ø |
|
формулам:
|
|
2 l |
æ πnx ö |
||||
для четной функции – an |
= |
|
ò0 |
f (x )cos ç |
|
÷dx , n = 0, 1, 2,...; |
|
l |
l |
||||||
|
|
è |
ø |
для нечетной функции – b = |
2 |
l |
f (x )sin |
æ |
πnx |
ödx , n =1, 2, 3,... |
|
|
|||||
n |
l |
ò0 |
|
ç |
l |
÷ |
|
|
è |
ø |
Эти формулы используются для нахождения коэффициетов ряда Фурье при разложении функции f (x), заданной на интервале [0; l ], когда ее дооп-
ределяют четным или нечетным образом на интервал [-l; 0).
Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функциюg (x) = x2 , за-
данную на отрезке [0; 1].
Решение. Находим коэффициенты ряда Фурье:
2 1
a0 = 1 ò0 g (x =)dx
|
|
|
2 |
1 |
æ |
πnx ö |
|
a |
n |
= |
|
g (x )cos |
ç |
|
=dx |
|
|
||||||
|
|
1 |
ò0 |
1 |
÷ |
||
|
|
|
è |
ø |
1 |
2 |
|
2òx2=dx |
||
3 |
||
0 |
1
2òx2 cos (πnx=dx)
0
|
é |
|
|
u = x2 |
|
|
= ê |
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
êdv = cos(πnx dx) |
|||||
|
ë |
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
1 |
|
1 |
|
= 2 |
ç x |
|
|
sin (πnx |
|)0 |
- |
|
πn |
|||||
|
è |
|
|
|
|
|
du = 2xdx |
ù |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
ú |
= |
|
|
v = |
sin (πnx |
ú) |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
πn |
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
ö |
|
||
1 1 |
2x sin |
( |
πnx dx |
= |
|||||
|
|
÷ |
|||||||
πn ò0 |
|
|
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
æ |
|
|
2 |
1 |
|
= 2 |
0 |
- |
ò0 |
|||
ç |
||||||
πn |
||||||
|
è |
|
|
é u = x
=ê
êdv = sin= (πnx dx)
ë
x sin |
( |
πnx dx |
ö |
= |
|
|
) |
÷ |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
du = dx |
ù |
1ú =
v- cos(πnx ú)
πn û
39