Zadachai_OTN

	1 n		(1.63)
			TOj
TO N j 1

1 n

TB N j 1 TBj (1.64)

где TB - оценка математического ожидания времени восстановления

TO - оценка математического ожидания времени наработки на отказ.

Tk	TO				TB			(1.65)
где Tk - оценка математического ожидания между событиями потока.
			n					(1.66)
			toi
kг			i 1
		n			n
		toi			tBi
		i 1			i 1
где toi - наработка между (i-1) и i				– м отказами, tBi				- время восстановления
после i – отказа, n – количество отказов за рассматриваемый период.
(t)			n(t,t t)					(1.67)

N t

где n(t,t t) - число объектов отказавших на интервале (t,t t), N – количество объектов, t - продолжительность одного интервала наблюдений.

33

Таблица 1.11– Исходные данные к задаче 1.7

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	ВАРИАНТ
tот	283	270	265	251	240	250	230	200	220	205	194	180	190	170	160	170	150	130	120	130	1
tв	10	11	10	8	9	10	11	11	10	9	9	8	9	8	9	10	10	11	12	9
tот	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	240	260	250	200	210	180	190	160	170	130	2
tв	15	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	18	19	15	20	14
tот	530	540	520	500	480	490	500	460	430	420	440	400	390	390	370	320	300	300	250	260	3
tв	60	30	20	25	30	40	20	45	30	20	20	15	20	25	30	40	30	20	25	15
tот	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	290	250	270	230	240	190	210	180	170	130	4
tв	13	12	11	10	8	9	10	11	10	12	13	12	12	11	5	13	12	11	5	20
tот	296	298	281	250	246	250	230	220	200	180	190	195	160	150	140	140	130	120	150	100	5
tв	10	10	12	9	8	4	10	6	13	10	11	12	13	12	5	10	8	10	5	8
tот	314	360	320	300	260	280	270	250	240	220	220	200	190	180	200	170	180	150	160	140	6
tв	5	4	10	8	20	20	10	5	4	3	5	6	10	12	5	20	6	4	3	10
tот	418	420	405	390	395	360	360	320	305	300	305	280	260	240	230	250	200	180	190	150	7
tв	20	18	10	5	15	20	10	8	4	10	8	10	15	20	8	10	4	10	6	5
tот	354	372	320	330	300	310	300	290	295	270	240	260	250	200	210	180	160	190	170	130	8
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	19	15	19	20	14
tот	540	560	520	510	490	480	500	470	430	420	430	400	395	390	370	320	300	300	250	260	9
tв	50	30	20	35	30	40	20	45	30	20	20	15	20	25	30	40	30	20	25	15
tот	283	270	265	251	240	250	230	200	220	205	194	180	190	170	160	170	150	130	120	130	10
tв	50	30	20	35	30	40	20	45	30	20	20	15	20	25	30	40	30	20	25	15
tот	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	240	260	250	200	210	180	190	160	170	130	11
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	19	15	19	20	14
tот	530	540	520	500	480	490	500	460	430	420	440	400	390	390	370	320	300	300	250	260	12
tв	20	18	10	5	15	20	10	8	4	10	8	10	15	20	8	10	4	10	6	5
tот	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	290	250	270	230	240	190	210	180	170	130	13
tв	5	4	10	8	20	20	10	5	4	3	5	6	10	12	5	20	6	4	3	10
tот	296	298	281	250	246	250	230	220	200	180	190	195	160	150	140	140	130	120	150	100	14
tв	13	12	11	10	8	9	10	11	10	12	13	12	12	11	5	13	12	11	5	20
tот	530	540	520	500	480	490	500	460	430	420	440	400	390	390	370	320	300	300	250	260	15

34

																Продолжение таблицы 1.11
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	19	15	19	20	14
tот	418	420	405	390	395	360	360	320	305	300	305	280	260	240	230	250	200	180	190	150	16
tв	50	30	20	35	30	40	20	45	30	20	20	15	20	25	30	40	30	20	25	15
tот	430	420	440	400	390	390	370	320	300	300	250	260	296	298	281	250	246	250	230	220	17
tв	20	20	15	20	25	30	40	30	20	25	15	50	30	20	35	30	40	20	45	30
tот	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	240	260	250	200	210	180	190	160	170	130	18
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	19	15	19	20	14
tот	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	440	400	390	390	370	320	300	300	250	260	19
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	8	10	15	20	8	10	4	10	6	5
tот	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	290	250	270	230	240	190	210	180	170	130	20
tв	5	4	10	8	20	20	10	5	4	3	5	6	10	12	5	20	6	4	3	10
tот	296	298	281	250	246	250	230	220	200	180	250	260	296	298	281	250	246	250	230	220	21
tв	13	12	11	10	8	9	10	11	10	12	15	50	30	20	35	30	40	20	45	30
tот	530	540	520	500	480	490	500	460	430	420	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	22
tв	60	30	20	25	30	40	20	45	30	20	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20
tот	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	290	250	270	230	240	190	210	180	170	130	23
tв	13	12	11	10	8	9	10	11	10	12	13	12	12	11	5	13	12	11	5	20
tот	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	190	195	160	150	140	140	130	120	150	100	24
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	11	12	13	12	5	10	8	10	5	8
tот	314	360	320	300	260	280	270	250	240	220	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	25
tв	5	4	10	8	20	20	10	5	4	3	5	4	10	8	20	20	10	5	4	3
tот	530	540	520	500	480	490	500	460	430	420	190	195	160	150	140	140	130	120	150	100	26
tв	60	30	20	25	30	40	20	45	30	20	13	12	12	11	5	13	12	11	5	20
tот	430	420	440	400	390	390	370	320	300	300	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	27
tв	20	20	15	20	25	30	40	30	20	25	5	4	10	8	20	20	10	5	4	3
tот	530	540	520	500	480	490	500	460	430	420	260	296	298	281	250	246	250	230	220	320	28
tв	60	30	20	25	30	40	20	45	30	20	50	30	20	35	30	40	20	45	30	3
tот	361	370	325	350	300	310	300	290	295	270	190	195	160	150	140	140	130	120	150	100	29
tв	15	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	18	19	15	20	14

35

Продолжение таблицы 1.11

tот	441	450	400	420	390	370	360	350	300	320	290	250	270	230	240	190	210	180	170	130	30
tв	12	14	14	20	18	16	15	15	16	20	20	18	17	15	17	19	15	19	20	14

Примичание: Для Вариантов 30–60 к времени восстановления прибавить 2.

36

1.8 Расчет показателей надежности восстанавливаемого объекта при постоянных интенсивностях отказов и восстановлений.

Задача 1.8

Восстанавливаемый объект имеет постоянные интенсивности отказов и восстановлений. Найти:

1.Параметр потока отказов.

2.Среднее время безотказной работы.

3.Среднее время восстановления.

4.Математическое ожидание времени между очередными событиями потока.

5.Функция готовности (от 0 до t).

6.Коэффициент готовности.

7.Функция оперативной готовности для времени (от 0 до ).

8.Интервал оперативной готовности (от t до t + ).

9.Зависимость коэффициента готовности для (от 0 до 100 ч).

Исходные данные приведены в таблице 1.12.

Таблица 1.12 – Исходные данные к задаче

Вариант	OT , ч -1	B ч-1	t, ч	, ч
1, 31	0,05	0,5	20	10
2, 32	0,05	0,4	25	20
3, 33	0,05	0,3	30	30
4, 34	0,05	0,2	35	20
5, 35	0,05	0,1	40	10
6, 36	0,04	0,5	45	20
7, 37	0,04	0,4	50	30
8, 38	0,04	0,3	55	20
9, 39	0,04	0,2	60	10
10, 40	0,04	0,1	20	20
11, 41	0,03	0,5	25	30
12, 42	0,03	0,4	30	20
13, 43	0,03	0,3	35	10
14, 44	0,03	0,2	40	20
15, 45	0,03	0,1	45	30
16, 46	0,02	0,4	50	20
17, 47	0,02	0,3	55	10
18, 48	0,02	0,2	60	20
19, 49	0,02	0,1	20	30
20, 50	0,01	0,4	25	20
21,51	0,01	0,3	30	10
22, 52	0,01	0,2	35	20
23, 53	0,01	0,1	40	30
24, 54	0,01	0,2	45	20
25, 55	0,01	0,3	50	10

37

Продолжение таблицы 1.12

26, 56	0,01	0,4	55	40
27, 57	0,01	0,4	40	60
28, 58	0,01	0,4	35	40
29, 59	0,01	0,4	50	20
30, 60	0,01	0,5	40	25

Для варианта 31-60 значение к значению t прибавить 10.

1.9 Расчет элементной надежности системы способом преобразования структуры

Пусть объект (система) состоит из отдельных элементов, пусть также известны показатели надежности каждого элемента. Тогда возникает задача расчета показателей надежности системы по известным показателям надежности элементов. Как отмечалось выше, здесь возможны два подхода - расчеты структурной и функциональной надежности систем. Деление по подходам чисто условное и отличается лишь количеством допущений и, следовательно, степенью сложности расчетов. При расчете функциональной надежности влияние надежности каждого элемента на систему рассматривается с учетом выполняемых им функций. Поэтому отказ некоторых элементов может приводить не к полному, а лишь к частичным отказам системы. В состояниях частичных отказов система продолжает работать с пониженными показателями качества функционирования. При расчете структурной надежности отказ любого элемента, если он хоть как-то влияет на пропускную способность системы, считается отказом всей системы.

Для расчета надежности системы применяют следующие формулы:

Последовательное соединение

n
Fc(t ) Fi(t )	(1.68)
i 1
Параллельное соединение
n
Qc(t ) Qi(t)	(1.69)
i 1
n
Fc(t ) 1 (1 Fi(t ))	(1.70)
i 1

Для преобразование сложных структур используют формулы:

«Звезда – треугольник»

Q			Q			Q2		(1.71)
							Q
1 2			1
					3
Q	2 3		Q	2			Q3		(1.72)
							Q
					1

38

Q	Q	Q3		(1.73)
3 1	1 Q2
«Треугольник – звезда»
Q1 Q1 2 Q3 1				(1.74)
Q2	Q2 3 Q1 2			(1.75)
Q3 Q3 1 Q2 3				(1.76)

Задача 1.9. Известны вероятности отказов элементов системы, представленные в таблице 1.13. Необходимо рассчитать вероятность отказа системы способом преобразования структуры «звезда-треугольник» и «тре- угольник-звезда».

Таблица 1.13 – Надежность элементов системы

	Вари-	Рисунок		Вероятности			отказов
	ант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1	1.7	0,10	0,10	0,50	0,10	0,30	0,10	0,40
	2	1.8
	3	1.7	0,10	0,10	0,40	0,20	0,40	0,20	0,30
	4	1.8
	5	1.7	0,05	0,05	0,30	0,30	0,50	0,10	0,20
	6	1.8
	7	1.7	0,05	0,05	0,20	0,40	0,60	0,20	0,40
	8	1.8
	9	1.7	0,10	0,05	0,10	0,10	0,30	0,10	0,30
	10	1.8
	11	1.7	0,10	0,05	0,50	0,20	0,40	0,20	0,20
	12	1.8
	13	1.7	0,05	0,10	0,40	0,30	0,60	0,30	0,40
	14	1.8
	15	1.7	0,05	0,10	0,30	0,40	0,50	0,30	0,30
	16	1.8
	17	1.7	0,12	0,06	0,20	0,10	0,40	0,10	0,20
	18	1.8
	19	1.7	0,12	0,12	0,10	0,20	0,30	0,20	0,40
	20	1.8
	21	1.7	0,06	0,06	0,50	0,30	0,40	0,20	0,30
	22	1.8
	23	1.7	0,06	0,12	0,40	0,40	0,50	0,20	0,20
	24	1.8

39

Продолжение таблицы 1.13

		25			1.7						0,07		0,12	0,30		0,10					0,60		0,10			0,40
		26			1.8
		27			1.7						0,12		0,07	0,20		0,20					0,50		0,20			0,30
		28			1.8
		29			1.7						0,12		0,05	0,10		0,30					0,40		0,10			0,20
		30			1.8
		31			1.7						0,05		0,11	0,50		0,40					0,30		0,30			0,40
		32			1.8
		1								5										1			4
																													6
																				3
							3																	5
										6										2

	2					4		7			7
		Рисунок 1.7									Рисунок 1.8.

1.10 Расчет надежности системы с постоянным резервированием

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.. n соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройки схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается.

Вероятность отказа системы qc(t) определяется формулой

m
qC (t) qj (t);	(1.77)
j 0

где qj(t) – вероятность отказа j-го элемента.

40

Вероятность безотказной работы системы:

m
PC (t ) 1 (1 Pj(t )),	(1.78)

j 0

где Рj(t) – вероятность безотказной работы j -го элемента.

Если Рj(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то:

qC (t) qm 1(t);

PC (t) 1 (1 P(t))m 1. (1.79)

При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

Pj (t) P(t) e t ;

	qc (t) (1 e t )m 1;
	P (t) 1 (1 e t )m 1;
	c			(1.80)
			m
		1		1
	mtc				.
			i 0	1 i

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов.

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).

Запишем вероятность безотказной работы j -й цепи

n

Pj (t) Pij (t); j 1,2,...,n,

i 1

где Рij(t), j=0,1,2,... n;

i = 1,2,3,..., n - вероятность безотказной работы элемента.

Вероятность отказа j -й цепи:

n

qj (t) 1 Pij (t).

j 1

(1.81)

(1.82)

41

Вероятность отказа системы с общим резервированием:

m	n
qc(t ) (1 Pij (t )).		(1.83)
j 0	i 1

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием:

m	n
Pc (t) 1 (1 Pij (t)).		(1.84)
j 0	i 1
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую
надежность, т.е.:
Рij(t)=Pi(t)		(1.85)

Тогда:

n

qc(t ) (1 Pi(t ))m 1.

i 1

n

Pc (t) 1 (1 Pi (t))m 1.

i 1

Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.:

Pi(t ) e it ,

qc(t) (1 e 0t )m 1,

Pc(t) 1 (1 e 0t )m 1,

n

o i.

i 1

где о – интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.

(1.86)

(1.87)

(1.88)

(1.89)

(1.90)

(1.91)

Частота отказов системы с о6щим резервированием:

fc	(t)	dPc (t)	o (m 1) e ot (1 e ot )m.	(1.92)
		dt

42