Приемы поиска путей решения и составления плана решения

(табл. 5.3). Поиск путей решения происходит и в процессе анализа, осмысления содержания задачи. Но главная цель первого этапа — поиск ответа на вопрос «Что?» (что это за задача, что в ней есть и т.д.). Полезно удерживание детей на этом вопросе «что?», пока за­дача не будет понята.

¹ Захарова О. А. Математика в вопросах и заданиях: 2 кл.: Тетрадь для са­ мостоятельной работы № 1 / О. А. Захарова, Е. П. Юдина / Под ред. Р. Г.Чурако- вой. — М., 2010. — С. 14; Тетрадь к учебнику математики: ЧекинА.Л. Математи­ ка: 2 кл. : В 2 ч. / Под ред. Р. Г. Чураковой. — М., 2010. — Ч. 1.

² Чекин А. Л. Математика: 2 кл.: Метод. пособие / Под ред. Р. Г. Чураковой. — М., 2009. — С. 30.

228

Таблица 5.3

Назначение Приемы выполнения Критерии владения

Наметить (со­ставить) план ре­шения: последова­тельность действий для перехода от условия задачи к выполнению тре­бования (действия задаются на языке выбранных средств); от метода (арифметические, предметные, изме­рительные, геоме­трические построе­ния)

Рассуждения от данных к вопросу: • по данному тек­сту задачи; • преобразован­ному тексту задачи; • моде­ли задачи (рисунку, схеме, таблице, чертежу, графику). Рассуждения от вопроса к данным: • по данному тексту задачи; • преобразо­ванному тексту задачи; • модели задачи (по рисунку, схеме, таблице, чертежу, графику и др.) (Возможно сопровождение рассуждений построением графической схемы)

Знает, что и в ка­кой последова­тельности делать, чтобы составить план решения, составляет план решения; называ­ет и может обо­сновать действия (арифметические, измерительные и др.), их после­довательность для того, чтобы выполнить требо­вание задачи

Поиск путей решения и составления плана решения — это поиск ответов на вопрос «Как?». Основные приемы выполнения: рассужде­ния от вопроса к данным и (или) от данных к вопросу по данному тексту или модели, с использованием или без использования графи­ческой схемы рассуждений.

Схема рассуждений «от данных к вопросу» по тексту арифмети­ческой текстовой задачи. • Выбираем два данных и задаем вопрос: «Зная … и … (выбранные данные), что можно найти (узнать)?» От­вечаем: «По этим данным можно найти …. Для этого достаточно … (указывается действие с выбранными числовыми данными)»). • Вы­бираем два данных, которые могут быть: оба данных из оставших­ся после первого шага, одно из них из первой пары или результат действия с числами первой пары данных, а другое — из оставшихся данных. Задаем тот же вопрос: «Зная … и … (выбранные данные), что можно найти (узнать)?» Отвечаем на вопрос: «По этим данным можно найти … Для этого достаточно … (указывается действие с вы­бранными числовыми данными)»). … Так продолжаем до ответа: «По этим данным можно найти искомое. Для этого достаточно …». • Возвращаемся к началу и перечисляем действия, которые доста­точно выполнить для получения искомого.

Схема рассуждений «от вопроса к данным» по тексту арифмети­ческой текстовой задачи. • Читаем требование задачи и задаем вопрос: «Что достаточно знать, чтобы выполнить требование задачи (ответить на вопрос задачи)?». Отвечаем на вопрос, ориентируясь на условие задачи: «Чтобы выполнить требование задачи (ответить на вопрос

229

задачи) достаточно знать … и ….». Задаем вопрос: «Что из этого в за­даче известно? Отвечаем: «Из названного известно …, а… неизвестно (не известно ничего; известно все)». • Задаем вопрос: «Что достаточно знать, чтобы узнать … (называется неизвестное из предыдущего от­вета)?». Задаем вопрос: «Что из этого известно?» Отвечаем: «Из на­званного известно …, а … неизвестно (не известно ничего; известно все)». … Рассуждения ведем до ответа: «Из названного известно все (называем два данных, имеющиеся в задаче.)». • Далее рассуждения ведутся как ответы в рассуждениях от данных к вопросу «Зная … и …, можно найти …», «Зная … и … можно найти …»,… «Зная … и …, можно найти …, что и требовалось найти. Значит, для решения задачи нужно выполнить следующие действия: 1) … — найдем …; 2) … — найдем …; … найдем искомое (выполним требование задачи)».

При алгебраическом решении с помощью таких рассуждений вы­полняется перевод текста на язык равенств и (или) неравенств. Характер рассуждений зависит от метода решения, используемых вспомогательных моделей. В реальном процессе решения составле­ние плана зачастую соединяется с его выполнением, а рассуждения от данных и от вопроса (требования) к данным чередуются.

Образцы рассуждений от данных к вопросу и от вопроса к данным на примере задачи «На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза боль­ше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?» даны в учебнике ма­тематики Стойловой Л. П¹.

Заметим, что при составлении плана решения с помощью рассу­ждений «от данных к вопросу» и «от вопроса к данным» можно выйти на разные способы решения задачи, выбирая разные пары данных для начала или продолжения рассуждений. По приведенной задаче первой парой данных в рассуждениях от данных к вопросу могут быть взяты «6 ч турист проехал на поезде» и «поезд шел со скоростью 56 км/ч»; «6 ч турист проехал на поезде» и «осталось проехать в 4 раза больше». Для каждой первой пары данных, следующие пары также могут быть выбра­ны по-разному. В результате можно прийти к разным планам решения и к разным арифметическим способам решения. В форме числовых выражений (числовых формул) план решения рассматриваемой задачи может выглядеть так: 1) 56 · 6 + 56 · 6 · 4; 2) 56 · (6 · 4 + 6), 3) 56 · (6 · 4) + 56 · 6 и 4) 56 · 6 · (1 + 4), где 1 часть — это первая часть пути, а 4 части — вторая часть пути (см. решение задач на части, например, в учебнике математи­ки Стойловой Л. П. и «метод введения произвольных (удобных) единиц величин»², в настоящем учебнике названный «физический метод»).

Рассуждения при составлении плана проводятся устно и могут со­провождаться построением графической схемы, которая служит опо-

¹ Стойлова Л. П. Математика. — М., 2012. — С. 196.

² Царева С. Е. Введение произвольных единиц величин при решении задач // Начальная школа. — 1993. — № 5. — С. 60 — 63.

230

Рис. 5.12 56 км/ч

56 км

Рис. 5.13

рой мышления, способствует упорядоченности мышления. О поль­зе сопровождения рассуждений графическими схемами писали¹ еще в начале ХХ в., не потеряла она своего значения и в настоящее время, хотя и прибегают сейчас к таким схемам не часто. На рис. 5.12 при­ведены схемы рассуждений по рассматриваемой задаче, приводящие к планам решения (1) 56 · (6 · 4 + 6) и (3) 56 · 6 · (1 + 4)

Поиск путей решения задачи, составление плана решения с по­мощью рассуждений «от данных к вопросу» и «от вопроса к данным» может осуществляться не только по тексту задачи, но и по модели задачи на языке модели. Например, для рассматриваемой задачи по геометрической модели (рис. 5.13) план арифметического решения можно составить в результате таких рассуждений.

¹ Шпитальский Е. Образовательное значение арифметических задач в связи аналитическим приемом и графическим способом их решения. — М., 1904.

231

Рассуждения от вопроса к данным по геометрической модели (см. рис. 5.13). Требуется узнать длину всего пути, т. е. значение длины в километрах, соответствующее всему отрезку. Так как весь отрезок поделен на равные части, то для получения искомого значения до­статочно знать числовое значение одной части и число частей. Зна­чение длины пути, представленное одной меньшей частью отрезка — 56 км, а число частей сосчитаем. Их 30. (Считать можно обычным способом или с использованием действия умножения: весь отрезок поделен на 5 равных частей большей длины, каждая из которых со­стоит из 6 отрезков меньшей длины, 6 · 5 = 30). Зная значение длины пути одной части и число частей, значение длины всего пути найдем умножением: 56 км · 30 = 1 680 км, или 56 км · (6 · 5) = 1 680 км.

Долгое время считалось, что такие рассуждения проводятся учи­телем: учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают. Однако, уме­ние проводить рассуждения от данных к вопросу и от вопроса к данным задачи является универсальным учебным действием. Уметь задавать вопросы и отвечать на них, рассуждать на основе во­просов нужно самим учащимся. Научить их этому можно по той же схеме, что и другим приемам, помогающим решать задачи: накопле­ние опыта применения приема в деятельности решения задач для достижения других учебных целей по прямым указаниям учителя; осознание приема как помогающего в решении, появление стремле­ния овладеть приемом, принятие соответствующей учебной цели; выбор, конструирование и выполнение учебных заданий, направлен­ных на овладение приемом; самоконтроль за качеством и уровнем владения приемом.

Выполнение плана решения (табл. 5.4). Выполнение плана — это выполнение арифметических действий, решение уравнений и формулирование ответа на вопрос задачи. Важную роль на этом этапе отводится представлению выполненного решения. Это пред­ставление может быть устным и письменным. Обучение устному представлению выполнения плана решения задач — это обучение публичному выступлению, умению ясно и точно выражать свои мыс­ли устно. Специально этому обучают на уроках родного (русского) языка и развития речи. В темы выступлений детей можно включить и представление решений задач (не обязательно математических). Можно подключить и возможности уроков информатики — учить представлению решений задач с использованием презентаций. В обу­чении другим учебным предметам, во внеурочной работе это обуче­ние также должно проводиться.

Особое значение имеет письменная форма выполнения решения задач. Математику можно считать письменным языком представления способов решения задач. Каждый класс математических задач и каж­дый метод решения имеет в математике свою «узаконенную» форму представления. Изучение математики — это и изучение форм записи решений математических задач, включая и прикладные, текстовые.

232

Таблица 5.4

Назначение Приемы выполнения Критерии овладения

Найти, постро­ить требуемое, ответить на во­прос задачи — выполнить наме­ченные в плане действия

Приемы: вычислительные, способы решения уравнений, построения геометрических фигур и другие в зависимо­сти от метода. Формы выполнения плана: • устное, развернутое или краткое; • письменное, с под­ робной или краткой записью всех или некоторых операций, в принятой или произвольной форме; • предметное, путем реального или мысленного выполнения действий с пред­ метами или с изображениями; • с помощью компьютерных программ

Выполняет все пункты плана, формулирует от­вет на вопрос за­дачи или вывод о выполнении требования; пред­ставляет способ решения устно и письменно в одной из обще­принятых форм

Учащимся начальной школы форму записей, в том числе реше­ния задач, чаще всего задает учитель. Если при этом ученик не знает, почему требуется записать решение именно так, если вопрос о том, зачем нужно или можно записывать решение не обсуждался, то для него запись — это некая процедура, которую нужно выполнить по­тому, что велено. В этом случае огромные образовательные и раз­вивающие возможности записей как средства получения и передачи информации, средства общения, в частности, общения с учителем, с проверяющими, с другими взрослыми, с одноклассниками не реа­лизуются.

Эффективный подход к записям в процессе обучения основан на признании того, что главным показателем качества любой запи­си и любой формы выражения знаний, смыслов, способов действий и т.п. является степень соответствия записи ее назначению, той цели, ради которой она выполнялась.

Если ученик делает какую-либо запись, рисунок, чертеж к задаче для того, чтобы она помогла ему решить задачу: текстовую, вычислить значение выражения, понять правило, изобрести способ выполнения работы и т. п., то лишь та запись (в форме текста, рисунка, чертежа, графика и др.) хороша, которая ему помогла. На эту оценку не долж­но влиять отношение к ней ни другого ученика, ни учителя.

Когда запись делается для того, чтобы показать другому (не себе) способ решения задачи, помочь другому понять что-то, то, как бы ни нравилась собственная запись выполнявшему ее, какой бы по-

233

нятной и удобной она ему не казалась, критерием и правильности, и понятности и удобства является влияние записи на того, кому она предназначалась.

Если необходимо так представить в записи (рисунке, чертеже, другом графическом, наглядном виде) решение, информацию, чтобы она была понятна любому грамотному человеку, то нужно ориенти­роваться на общепринятые, нормативные формы записи. С учащи­мися необходимо обсуждать вопросы: «Зачем люди пишут?», «Зачем записывают решение задачи?», «Как определять, когда нужно или не нужно записывать?», «Почему появились нормативные формы записи? Когда нужно их использовать?» «Когда нужно изобрести форму записи, а когда записать в известной форме?».

Если названные и подобные вопросы будут вопросами детей, то найти ответы будет нетрудно: в общем виде — в специальном диа­логовом обсуждении, а в каждом конкретном случае — самостоятель­но, с уточнением нужной информации (зачем нужна запись, кому, какие требования или пожелания у того, кому запись предназначает­ся, или каков он). Результатом такого обучения может быть возмож­ность учащегося записать любое стандартное решение стандартной задачи и выбрать запись в соответствии с целью работы в каждой конкретной ситуации.

Педагогические ситуации. • 1. Учащимся предложили решить за­дачу: «У Лены было несколько значков. Когда она подарила 3 значка друзьям, у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?» Дима поднял руку, и учительница предложила ему записать решение на до­ске. Дима записал: «7 - 3 = 4. Ответ: у Лены было 7 значков». Учитель­ница не приняла это решение и долго добивалась, чтобы Дима записал решение «как положено»: 3 + 4 = 7. И была неправа. Дима решал задачу по-другому. Его рассуждения: «Лена значки отдала из тех, какие у нее были. Это обозначается вычитанием — из числа всех значков вычесть число тех, которые отдала. В результате получится число оставшихся. Из какого числа можно вычесть 3, чтобы получилось 4? Только из 7: 7 - 3 = 4. Никакое другое число не подойдет. Значит, у Лены было 7 значков». Запись Димы точно отражает этот способ решения.

Равенство 3 + 4 = 7 отражает другой способ рассуждений и реше­ния: «Чтобы узнать, сколько значков было у Лены, нужно вернуть ей те значки, которые она отдала. Объединив оставшиеся и отданные знач­ки, мы получим все значки». Запись Димы не принимается потому, что она нарушает негласное правило: в арифметическом решении искомое число обязательно должно быть записано справа от знака «=» и быть результатом действия, записанного слева от знака «=». Эта договорен­ность о записи упрощает считывание результата: результат всегда спра­ва от знака «равно», достаточно беглого взгляда, чтобы обнаружить искомое. Чтобы в записи Димы без его устных пояснений обнаружить искомое нужны письменные пояснения или знаки.

234

Имеем противоречие: чтобы запись соответствовала способу реше­ния, искомое число должно в числовом равенстве быть слева от зна­ка =; чтобы запись соответствовала правилам записи арифметического решения, то же число должно быть справа от знака «=».

• 2. На уроке искали и обсуждали разные способы решения задачи: «Было 6 серых голубей и 4 белых. 3 голубя улетели. Сколько голубей осталось?» Уже несколько способов было представлено на доске. Вита­лик тоже захотел показать свой способ, в котором, как он сказал, есть «нулевое действие». Он записал: «1) 6 - 3 = 3; 2) 4 + 3 = 7; 3) 7 - 0 = 7. Ответ: осталось 7 голубей».

Как вы думаете, что он хотел сказать этим действием? Правильно. Этим действием он сказал: «После того, как 3 голубя улетели, никто больше не улетал». Виталик это пояснил и все поняли. Учительница, Елена Дмитриевна Горбачева (г. Новосибирск. Гимназия 7 «Сибирская») похвалила: «Как здорово ты придумал: сказать арифметическим дей­ствием про то, что никто больше не улетал! Какая короткая запись этой информации!».

Действительно, математическая запись этой информации содер­жит всего 5 знаков, а самое короткое предложение на русском языке с той же информацией — 47 знаков! Более чем в 9 раз больше! Эта случайная ситуация на уроке ярко показывает роль математики в хра­нении и передаче информации.

В обеих ситуациях дети точно уловили смысл математических за­писей, правильно использовали запись, чтобы выразить свою мысль. И в обеих ситуациях нарушили нормативные правила записи. Первая учительница не поддержала ребенка, посеяла в нем недоверие к соб­ственным решениям. А ведь была уникальная возможность обнару­жить проблему — названное выше противоречие, предложить найти выход: найти форму записи, которая удовлетворяла бы обоим, про­тиворечащим друг другу требованиям. В ТРИЗ¹ есть замечательный метод разрешения противоречий: развести противоречивые условия во времени или (и) в пространстве. Применив последнее к нашей си­туации, получим: нужно сделать две записи в разных местах, напри­мер, одну под другой. В одной отразить способ решения, а в другой записать искомое число значков справа от знака «=». Запись может быть такой: ? - 3 = 4, ? = 7; или такой: □ - 3 = 4; или такой: х - 3 = 4, х = 7. Возможно, именно так были изобретены уравнения!?

Во второй ситуации дети приобрели опыт письменной матема­тической речи. В этом классе вопросы назначения записей обсуж­дались. А вдруг все начнут теперь писать в решениях «нулевые дей­ствия»? «Нулевое» действие ведь писать не принято! Дети это поняли

¹ ТРИЗ — теория решения изобретательских задач, разработанная Г. С. Аль-тшуллером и его последователями. (См., например: Поиск новых идей: от оза­рения к технологии / [Г. С.Альтшуллер, Б.Л.Злотин, и др.]. — Кишинев, 1989 [trizland.ru].)

235

и без запретов. Виталик и другие дети, несмотря на похвалу, не стали в записи решения каждой задачи добавлять его.

Нормативные или принятые формы записи складываются много лет. Чаще всего они задаются традициями, описываются в статьях и книгах. Существует несколько сложившихся форм записи арифме­тического, алгебраического решений текстовых сюжетных задач.

Основные формы записи арифметического решения текстовой задачи: • в виде выражения с записью шагов составления, поясне­ний и вычислений, и после вычислений итоговой записи равенства; • в виде выражения и равенства после вычислений без записей со­ставления выражения; • по действиям с пояснениями; по действиям без пояснений; по действиям с вопросами.

Задача. На первом складе хранится 375 т муки, на втором — на 27 т больше, а на третьем — на 5 т меньше, чем на втором. Сколько тонн муки на третьем складе?»¹ Решение.

I. 1) 27 - 5 — на столько тонн муки на третьем складе больше, чем на первом;

2. 375 + (27 - 5) — столько тонн муки на третьем складе;

3. 375 + (27 - 5) = 397 (т). Ответ: на третьем складе 397 т муки.

II. 1) на сколько тонн муки на третьем складе больше, чем на пер­вом?

27 - 5 = 22 (т); 2) сколько тонн муки на третьем складе? 375 + 22 = 397 (т).

Ответ: на третьем складе 397 т муки.

Основная форма записи алгебраического решения — запись ша­гов по составлению уравнения (неравенства), запись уравнения (не­равенства) и его решения. При решении задачи другими методами используются и соответствующие формы записи.

Обучение приемам проверки решения (табл. 5.5). Проверка решения задачи — это выполнение определенной последователь­ности операций для выяснения верен ли результат и ход решения, не содержит ли он логических и иных ошибок. Проверка тогда проверяет, когда проверяющие действия выполняются правильно. Следовательно, проверяющие действия должны быть освоены решающим не хуже, чем действия по решению задачи. Осущест­вляться проверка может с помощью действий, которые составляют приемы проверки.

Разные авторы применительно к проверке решения текстовых за­дач выделяют разное количество таких приемов. Обучение умению проверять решение — это обучение приемам проверки. В таблице выделено восемь приемов проверки Слова «проверка», «проверять»

¹ Александрова Э. И. Математика: Учебник для 2 кл. — Кн. 2. — М., 2001.

236

Таблица 5.5

Назначение Приемы выполнения Критерии владения

Установить, со-	1. Прогнозирование и оценка	Понимает назна-
ответствует ли	результата (прикидка и оцен-	чение и смысл
полученный ре-	ка).	проверки, выпол-
зультат содер-	2. Установление соответствия	няет операции
жанию задачи	результата содержанию зада-	приема, делает
и не содержит ли	чи.	обоснованные вы-
ход решения оши-	3. Определение смысла со-	воды о правиль-
бок: правильно ли	ставленных по задаче выра-	ности результата
проведены рассу-	жений.	и хода решения:
ждения; непроти-	4. Обоснование по ходу ре-	«Результат (ход)
воречивы ли они;	шения каждого его шага.	решения верен
отражают ли	5. Решение другим методом	(не верен), так
смыслы арифме-	или способом.	как …».
тических действий	6. Составление и решение
содержание зада-	обратной задачи.
чи; правильно ли	7. Сличение с правильным
выполнены дей-	решением — образцом хода и
ствия; все ли воз-	(или) результата.
можные результа-	8. Повторное решение тем же
ты найдены	методом и способом

могут появиться в словаре ребенка довольно рано. Взрослые могут употреблять эти слова в общении с ним: «проверь, все ли, что нужно для рисования, есть на столе», «проверь, правильно ли собрана моза­ика», «проверь, все ли мы взяли» и т. п. Дети, поступившие в первый класс, на интуитивном уровне понимают, что проверка — это когда смотрят, сделано или не сделано что-то, правильно или неправильно что-то сделано. Этого интуитивного понимания достаточно для того, чтобы с первых уроков включать детей в проверку выполнения ими решений самых разных задач.

Первые приемы проверки, которые могут использовать дети для проверки решений как текстовых, так и вычислительных задач — это решение другим методом, методом предметных действий. После на­копления опыта такой проверки проводят уроки, где понятие «про­верка решения задачи» будет предметом осознания и изучения.

Введение понятия «проверка решения задачи». Очень важно, чтобы первый разговор о проверке состоялся в ситуации, действи­тельно требующей проверки. Для ее создания можно предложить учащимся «провокационную» задачу, содержание которой таково и сформулирована она так, что многие дети, недостаточно внима­тельно определив отношения между данными, могут дать разные, неверные и верные, ее решения. Приведем пример такой задачи и ситуации.

237

Задача («провокационная»). За коробку конфет покупатель дал кас­сиру 100 р. и еще половину ее стоимости, оплатив тем самым покупку. Сколько стоила коробка конфет?».

Учащиеся почти всегда предлагают два решения (неправильные), иногда три разных решения с тремя разными результатами, из которых одно решение правильное, а два неправильных:

1. 100 : 2 = 50; 100 + 50 = 150. Ответ: коробка стоила 150 р.;

2. 100 · 2 = 200; 200 + 100 = 300. Ответ: коробка стоила 300 р.;

3. 100 + 100 = 200. Ответ: Коробка стоила 200 р.

Возникает вопрос: как узнать, какое решение правильное? Что де­лать для этого? Необходимость проверки очевидна. Отвечая на эти во­просы, учащиеся приходят к выводу: нужно проверить каждое решение. Появляются и новые вопросы: «Что значит — проверить?», «Как про­верить?» Выслушиваем и обсуждаем мнения учащихся. Вспоминаем, проверяли ли мы что-нибудь раньше, как это делали. В процессе об­суждения учитель может предложить решить задачу другим методом, например с помощью предметной или геометрической модели, или проведя обосновывающие рассуждения по решению задачи, обраща­ясь к смыслам данной в задаче информации.

При решении рассматриваемой задачи с помощью геометрической модели обозначаем всю стоимость покупки произвольным отрезком. В задаче говорится о половине стоимости, поэтому делим его на две равные части — на две половины: одна половина это 100 р., а вторая половина тогда тоже 100 р.: половины — равные части. Получаем, что правильным является только третье решение: 100 + 100 = 200 (р.), ко­робка конфет стоила 200 р.

При логическом решении той же задачи рассуждаем так. Покупатель оплатил покупку двумя частями, одна из которых — половина. Но целое состоит из двух половин, значит, 100 р. — это тоже половина. Тогда и вторая половина тоже 100 р. и коробка конфет стоит 200 р.

После выявления правильного решения, анализируем неправиль­ные, устанавливаем ошибки, их причины. Чтобы от конкретной за­дачи перейти к общей проблеме проверки решения задач и к при­нятию учащимися учебной цели «научиться проверять решения за­дач», задаем вопросы и побуждаем детей задавать вопросы, подобные следующим: • Только ли при решении этой задачи нужна проверка? • Только ли такие приемы (способы) проверки, которые мы приме­нили для проверки данной задачи, существуют? • Надо ли уметь про­верять свое решение? • Как научиться проверять решение задачи?

Дальнейшее обучение заключается в выделении приемов проверки и специальном и мотивированном для учащихся изучении каждого приема: «Учимся проверять решение задачи с помощью определения смысла арифметических действий», «Учимся проверять решение за­дачи с помощью предметных действий (на геометрической модели; решая задачу другим способом, другим методом)», «Учимся прове-

238

рять решение задачи с помощью обоснования каждого шага реше­ния» и т.д. После принятия учащимися цели «научиться проверять решение с помощью …» полезно вместе с ними конструировать со­ответствующие учебные задания.

Основные виды заданий для овладения приемами проверки реше­ния задач: • проверка данных решений конкретной задачи в совмест­ной деятельности учителя и учащихся для выделения последователь­ности операций осваиваемого приема; • проверка готовых решений осваиваемым приемом проверки в групповой и самостоятельной ра­боте с последующим обсуждением результатов и способа проверки в группе или в классе; • выполнение отдельных операций конкретного приема проверки; • сравнение изучаемого приема проверки с ранее изученным, обсуждение его «плюсов» и «минусов»; • выбор приема проверки для заданного решения задачи; • проверка одного и того же решения с помощью двух приемов проверки, один из которых про­веряет результат решения, а другой — ход решения; • взаимопроверка решений задач; • самостоятельное решение задачи с обоснованием правильности решения с помощью подходящих приемов проверки.

Обучение приемам проверки — это вооружение учащихся инстру­ментами самоконтроля. В проверке решения задач, в особенности текстовых, нет шаблонов и потому этот процесс в значительной мере творческий. Предлагая для проверки разные способы решения задач, мы расширяем представления учащихся о способах решения.

Чтобы эффективно обучать приемам проверки, нужно знать их особенности и возможности. Охарактеризуем некоторые из них.

Прогнозирование и оценка результата или «прикидка и оцен­ка» — краткое название, используемое в тексте ФГОС НОО. Это самый востребованный в настоящее время в обучении математике прием проверки. Когда-то его не принимали всерьез, и приходилось доказывать¹, что овладение им способствует формированию самокон­троля. Это единственный способ проверки решения математической задачи, имеющий признаки предваряющего контроля. Его востре­бованность в настоящее время обусловлена включением в началь­ное обучение математики калькуляторных вычислений, в которых это единственный прием проверки, который может быть средством самоконтроля. Владение этим приемом входит в требуемые ФГОС НОО планируемые результаты обучения математике.

Прием проверки «прикидка и оценка» заключается в том, что в са­мом начале процесса решения на основе предварительного анализа содержания задачи с некоторой точностью прогнозируется результат решения, с которым затем сверяется результат, полученный в про-

¹ Царева С. Е. Проверка решения задачи и формирование самоконтроля учащихся // Начальная школа. — 1984. — № 2; Обучение младших школьников решению задач: Сб. статей / Сост. Н. Б. Истомина, Г. Г. Шмырева. — Смоленск, 2005.

239

цессе решения. При поиске пути решения, выполнении решения решающий имеет возможность сверять получаемые результаты с про­гнозируемыми, уточнять прогноз. Этот прием применим к арифме­тическим и алгебраическим решениям текстовых задач, а также к ре­шениям вычислительных задач, где прогнозируется искомое числовое выражение некоторой информации (числовое значение величины, количества предметов в группе) или результат арифметического дей­ствия. Чем точнее прогноз, тем выше его проверяющая функция.

Вообще говоря, начиная любое дело, решая любую задачу и желая быть успешными, мы должны иметь представление о том, что хотим получить в результате, как это «что» выглядит, может выглядеть, т. е. должны прогнозировать результат. Деятельность без такого прогно­зирования — псевдо деятельность. Обучение прогнозированию ре­зультата деятельности — это обучение самостоятельности.

Приведем примеры проверки решений с помощью приема про­гнозирования и оценки (прикидки и оценки) результата.

Задача. Когда срезали 6 роз, то осталось 13. Сколько роз было?

Прогноз результата: роз было больше, чем осталось, так как часть роз срезали. Значит, число в результате должно быть больше, чем 13. Решения. При самостоятельном решении учащиеся представили три решения: • 1) 13 - 6 = 7. Ответ: было 7 роз; • 2) 6 + 13 = 19. Ответ: было 19 роз; • 3. 6 + 13 = 21. Ответ: роз было 21.

Устанавливаем соответствие прогнозу. Первое решение: 7 < 13, результат не соответствует прогнозу. Вывод: решение невер­ное. Так как число получено правильно выполненным вычитанием, то ошибка заключается в выборе действия. Большее число могло по­лучиться при сложении. Второе и третье решения: 19 > 13? 21 > 13, результат соответствует прогнозу. Вывод: решения могут быть верным. Действие выбрано правильно. Проверим вычисления. При­меним поразрядное сложение: 6 + 3 = 9; 9 + 10 = 19. Второе решение верное, в третьем — ошибка в вычислениях.

Задача (вычислительная). Найти частное или частное и остаток 256 489 : 45 с помощью калькулятора. Оцените правильность найденного результата, перед вычислением сделав прогноз результата.

Прогноз результата. Частное — четырехзначное число (так как первое неполное делимое 256 тысяч, то первая цифра частного — это цифра разряда единиц тысяч. Это деление с остатком, так как при умно­жении любого частного на делитель 45 последняя цифра была бы 0 или 5. Так как в делимом последняя цифра 9, то остаток должен окан­чиваться цифрой 9 или цифрой 4. Остаток меньше 45.

Результаты (полученные разными вычислителями): 1) 256 489 : 45 = 5 699 (ост. 34) Для получения остатка частное (число до запятой на дис­плее калькулятора) умножается на делитель и полученное произведение вычитается из делимого: 5 699 · 45 = 256 455, 256 489 - 256 455 = 34; 2)

240

256 489 : 45 = 5 699 (ост. 75); 3) 256 489 : 45 = 11542 005; 4) 256 489 : 45 = 5 699 (ост. 85); 5) 256 489 : 45 = 569.

Оценка соответствия прогнозу. Прогнозу соответствует только первый результат. Во втором в качестве остатка взято число, записан­ное двумя цифрами после запятой из результата деления на дисплее, в третьем, скорее всего, нажата клавиша со знаком умножения; в чет­вертом остаток, видимо, взят так же, как во втором случае, да еще, возможно, при наборе делимого переставлены цифры: на частном это не сказалось, а десятичная дробь после запятой увеличилась. В по­следнем случае, вероятно, не набрана последняя цифра делимого.

Способы прогнозирования результата вычислений требуют знания свойств действий, побуждают учащихся открывать такие свойства или узнавать о них от учителя, в справочниках, учебнике. Они побужда­ют учащихся к наблюдению за цифровой записью чисел, к исследо­ванию зависимости цифрового «одеяния» результата от цифрового «одеяния» чисел, с которыми выполняется действие.

Прогнозирование результата решения задач требует выполнения сложных интеллектуальных действий, в составе которых анализ, срав­нение, классификация, сериация и потому способствует развитию мышления. Прогнозирование также развивает интуицию, так как опирается на неполный анализ задачи.

Дать правильный ответ зачастую трудно, а иногда и невозможно. Так, очень трудно прогнозировать результат решения комбинатор­ной задачи, если ты владеешь только способом перебора вариантов. Обнаружение невозможности прогнозировать результат без знания специальных методов решения комбинаторных задач может служить мотивом овладения двумя основными правилами подсчета числа ком­бинаций: правилом суммы и правилом произведения.

Пример. Как вы думаете, сколько существует способов размещения пяти человек в классе, рассчитанном на 30 человек? Обычно учащиеся и студенты без обращения к названным правилам прогнозируют резуль­тат решения этой задачи в пределах полутора сотен или полутора тысяч. Применив правило произведения получаем, что число возможных раз­ных способов размещения пяти человек в классе с 30 посадочными ме­стами равно 30 · 29 · 28 · 27 · 26, что приблизительно равно 27 000 · 600 ≈ ≈ 30 000 · 600 = 18 000 000 (точный результат 17 100 720).

Приведенный пример показывает, что качество прогнозирова­ния зависит от уровня компетентности в соответствующих областях знания. А обучение прогнозированию, в свою очередь, способствует повышению этой компетентности.

Установление соответствия результата решения содержанию задачи. Это получение всех возможных следствий из информации в тексте задачи с введенным в него результатом. Рассуждения ведутся на языке задачи. Так как текстовая задача формулируется

241

на естественном языке, то и проверка ведется на этом же языке, осно­вывается на смысле слов и предложений этого языка. При проверке арифметического или алгебраического решения используются также арифметические действия. В методической литературе рассматривае­мый прием иногда называют «разыгрыванием условий задачи».

Этот прием проверки основан на смысле понятия «решить задачу». Решить задачу — значит выполнить ее требование, получить ответ на ее вопрос так, чтобы ответ соответствовал содержанию задачи, со­ответствовал задаче. Соответствует задаче тот результат, при введении которого вместо требования полученный текст не будет содержать противоречий. Заметим, что данный прием проверки проверяет только результат решения, ответ. Если результат оказы­вается неверным, то устанавливают ошибку, проверяя правильность процесса решения с помощью других приемов проверки. Полезны предположения о причинах ошибки, прогноз результата. Покажем действие приема на примерах.

Задача 1. У мамы было 100 р. и 50 р. Она купила молока на 40 р. Сколько денег у нее осталось?

Решение. I. 100 р. - 40 р. = 60 р. Ответ: у мамы осталось 60 р.

2. 100 + 50 - 40 = 110 (р.) Ответ: у мамы осталось 110 р.

3. 50 - 40 = 10 (р.), 50 + 10 = 60 р.). Ответ: у мамы осталось 60 р.

4. 50 - 40 = 10 (р.); 100 - 10 = 90 (р.). Ответ: у мамы осталось 90 р. V (с помощью уравнения). х + 40 = 100 + 50; х + 40 = 150; х =

= 150 + 40; х = 190. Проверка. Введем результат решения в текст задачи. Получим: «У мамы было 100 р. и 50 р. Она купила молока на 40 р. И у нее осталось 60 р. (110 р.; 90 р. или 190 р.)». Для каждой пары данных, включая и дан­ное из вставленного в текст ответа на вопрос задачи, определяем (как при проведении рассуждений от данных к вопросу) что можно узнать по этим данным. Пары данных: 100 р. и 50 р.; 100 р. и 40 р.; 100 р. и 60 р. (110 р., 90 р., 190 р.); 50 р. и 40 р.; 50 р. и 60 р. (110 р., 90 р., 190 р.)

Каждая пара данных дает начало цепочке логических выводов.

1. Возьмем пару 100 р. и 50 р. Это деньги, которые были у мамы. Всего денег у мамы было 150 р. (100 + 50 = 150). После покупки у нее осталось 60 р., следовательно, остальные 90 р. (150 р. - 60 р. = 90 р.) мама потратила на покупку молока. Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что за молоко мама заплатила 40 р., а не 90 р. Ре­зультат «60 р. осталось у мамы» привел к противоречию, следователь­но, он не соответствует задаче, он неверен. Аналогичные рассуждения от данных 100 р. и 50 р. для других результатов показывают, что толь­ко результат «у мамы осталось 110 р.» удовлетворяет условию задачи. Правильный ответ на вопрос задачи: «У мамы осталось 110 р.».

2. Начнем рассуждения с другой пары данных: 100 р. и 60 р., где 100 р. это часть денег, которые были у мамы, а 60 р. — все деньги, которые у нее остались после покупки. Зная, что у мамы было 100 р.

242

и 50 р., можно утверждать, что у нее остались эти 50 р. и еще сдача со 100 р. от покупки молока: 100 р. - 40 р. = 60 р. Тогда оставших­ся денег будет 50 р. + 60 р. = 110 р., а не 60 р. Ответ «60 р. осталось у мамы» — неверный. Это лишь часть оставшихся денег.

Аналогично ведутся рассуждения от 100 р. и 110 р., 100 р. и 190 р. Для последнего результата достаточно 190 р. представить как 100 р. и 90 р., что больше чем 100 р. и 50 р., которые были у мамы до покупки. Это противоречит условию задачи. Ответ «у мамы осталось 190 р.» — неверный. Установим причины неверного результата. В арифметиче­ском решении и решении с помощью уравнений их может быть две: неверный выбор действий или неверные вычисления. Далее проверяем соответствующим образом и то и другое, пока не найдем причину.

Задача 2. Один токарь может изготовить 150 деталей за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней изготовят эти 150 деталей два токаря, работая одновременно?

Решение. I. 1) 10 + 15 = 25; 2) 150 : 25 = 6 (дней). Ответ: за 6 дней.

II. 1) 150 : 15 = 10 (дет./дн.); 2) 150 : 10 = 15 (дет./дн.); 3) 10 + 15 = = 25 (дет./дн.); 4) 150 : 25 = 6 (дн.). Ответ: за 6 дней.

Проверка. Если для проверки предъявляются оба решения, то веро­ятность того, что ответ «Работая одновременно два токаря изготовят 150 деталей за 6 дней» верный, велика. Но получение одинакового ре­зультата не характеризует ход решения. При его проверке рассуждения могут быть следующими.

Пусть два токаря работая одновременно, изготовят 150 деталей за 6 дней (рассуждения начаты с информации, заложенной в условии задачи «150 дет.» и результате решения «6 дн.»). Тогда за один день они вдвоем изготовляют 150 : 6 = 25 (дет.). Используем оставшиеся пары данных: 150 дет. и 10 дн., 150 дет. и 15 дн. Из этих данных сле­дует, что первый токарь за один день делает 15 деталей, а второй — 10 деталей: 150 : 10 = 15, 150 : 15 = 10. Тогда оба токаря за один день изготовят 25 дет. (15 + 10). Такое же значение мы получили, используя в рассуждениях результат решения. Вся информация о работе двух то­карей использована для получения следствий из нее. Противоречий не обнаружено. Вывод: ответ «Два токаря, работая одновременно, из­готовят 150 деталей за 6 дней» верный.

Правильный ответ не гарантирует правильности процесса реше­ния, а в обучении математике важен именно способ решения. Поэто­му после установления соответствия результата содержанию задачи нужно проверить правильность хода решения. Одним из эффек­тивных приемов проверки хода решения текстовой задачи является прием «определение смысла составленных по задаче выражений (смысла арифметических действий в решении)»¹.

¹ Царева С. Е. Один из способов проверки решения задачи // Начальная школа. — 1988. — № 2. — С. 52 — 56.

243

Определение смысла составленных по задаче выражений (арифметических действий). В правильном арифметическом или алгебраическом решении текстовой задачи любое арифметическое действие имеет смысл, соответствующий условию задачи. Если все действия имеют смысл в ситуации задачи, и смысл последнего дей­ствия позволяет ответить на ее вопрос, то ход решения правилен; если при этом верны и вычисления, то задача решена правильно.

Возможно, вы вспомните ситуации, когда при решении текстовой задачи необдуманно выбранное арифметическое действие с числовы­ми данными задачи оказывалось бессмысленным. Например, учитель говорит ученику: «Посмотри на свое второе действие. Что обознача­ет число 30?» (Число ящиков с грушами.) «А число 4?» (На 4 ящика больше ящиков с яблоками.) «То есть, 4 — это число ящиков. Что же ты получил, умножая ящики (число ящиков) на ящики (на число ящиков)?» (Ничего.) «Да, это произведение не имеет смысла. Вы­вод?» (Второе действие выбрано неверно.)

Приведем пример проверки рассматриваемым приемом решений задачи 2 об изготовлении деталей.

Решение: 1) 10 + 15 = 25; 2) 150 : 25 = 6 (дней). Ответ: за 6 дней».

Проверка. • Читаю первое действие (выражение) и его значение: «Сумма 10 и 15 равна 25». • Нахожу в тексте задачи, что обозначает число 10 и число 15; 10 — это 10 дней за которые, один первый токарь изготовит все 150 деталей; 15 — это 15 дней, за которые один второй токарь, изготовит все 150 деталей. • Определю, что обозначает или может обозначать в соответствии с названными смыслами сумма 10 и 15. Она могла обозначать количество дней, за которые каждый то­карь изготовит по 150 деталей, работая последовательно 25: вначале первый отработает 10 дней, а потом приступит к работе второй токарь и отработает 15 дней. В результате за 25 дней будет изготовлено 300 деталей. Но задаче такая работа не предусмотрена. Смысл действия не соответствует содержанию задачи. Вывод: действие выбрано не­верно, задача решена неправильно.

Если в смысле первого действия рассматриваемого решения мы не увидели ничего, кроме того, что сумма дней обозначает также коли­чество дней, то читаем второе действие: 150 : 25. • Обращаемся к усло­вию задачи и первому действию: 150 — это число деталей, а 25 — это число дней. Если допустить, что деление имеет смысл, то 6 — это число деталей в один день, а не дней; 6 дет. в день не дает ответ на вопрос задачи. Но 150 : 25 не имеет смысла, так как 150 деталей изготовлено не за 25 дней (за 25 дней было бы изготовлено 300 деталей). Таким образом, второе действие не имеет смысла в ситуации задачи: ход ре­шения задачи неверен.

Второе решение проверяется аналогично. В нем все действия имеют смысл, а смысл последнего действия таков, что его результат позволя­ет ответить на вопрос задачи. Развернутый вывод: все действия имеют

244

смысл, последнее действие (результат последнего действия) дает от­вет на вопрос задачи; правильно выполнены все вычисления, значит задача решена правильно.

Таким образом, проверка с помощью рассматриваемого приема представляет собой циклы операций по каждому арифметическо­му действию из решения задачи, начиная с первого. Каждый цикл состоит из операций:• читаем выражение (арифметическое дей­ствие), • определяем смыслы входящих в выражение (арифметическое действие) чисел и смысл результата действия по тексту задачи и (или) смыслу предшествующих действий — вопрос, ответ на который дается с помощью результата этого арифметического действия. Если ариф­метическое действие и его результат имеют смысл в ситуации задачи, то переходим к таким же операциям по следующему арифметическо­му действию. Так действуем до обнаружения действия, не имеющего смысла, или до тех пор, пока смысл арифметического действия не бу­дет таким, что мы сможем ответить на вопрос задачи.

Если арифметическое действие не имеет смысла в ситуации за­дачи, то решение неверно, проверка закончена, а решение требует коррекции. Если все действия имеют смысл, но последнее ариф­метическое действие не дает ответа на вопрос задачи, то решение либо не доведено до конца, либо выбраны не те арифметические действия, которые нужны для решения задачи. В обоих случаях за­дача не решена.

Рассуждения при проверке данным приемом близки рассуждениям в процессе выбора арифметических действий или составления урав­нения при решении задачи. Однако при выборе действий и состав­лении уравнения мы идем от содержания задачи к математической записи, а при установлении смысла выражений — от математической записи к содержанию задачи. Это различие позволяет решающему взглянуть на задачу и свое решение по-новому, что повышает его диагностическую функцию. Достоинством данного приема является то, что его можно применять по ходу решения.

Подготовкой к ознакомлению с рассматриваемым приемом про­верки решения является вся работа, направленная на понимание уча­щимися смысла арифметических действий, в частности выполнение учащимися заданий следующих видов:

а) обозначить соответствующим арифметическим действием ре­ ально выполняемые, описываемые или изображенные действия с предметами или движение по числовой прямой;

б) для данных числовых выражений в одно действие выполнить, описать или изобразить соответствующие им действия с предметами и перемещения по числовой прямой;

в) установить соответствие между действиями с предметами, пере­ мещениями по числовой прямой и арифметическими действиями, представленными числовыми выражениями;

245

г) дано числовое выражение в одно или более действий, указано, что обозначает каждое число, нужно определить, что будет обозна­ чать числовое значение выражения;

д) записать как можно больше арифметических действий с чис­ ловыми данными заданной текстовой задачи, с результатами таких арифметических действий, для каждого действия определить его смысл в ситуации задачи и др.

Обоснование по ходу решения. Проверка этим способом прово­дится одновременно с поиском плана решения и заключается в том, что каждый шаг поиска решения сопровождается обоснованием. Прием применим ко всем видам задач: текстовым, вычислительным, уравнениям, задачам на сравнение и преобразование выражений и другим, в том числе не математическим, ко всем методам и спо­собам решения. В практике обучения такая проверка проводится в случае, когда учащиеся решают задачу «с объяснением». Образцы приводятся в пособиях для учителя. Однако то, что такое обоснова­ние, объяснение решения выполняет функцию пошагового контро­ля, подчеркивается не всегда, а иногда потом еще и дается задание «проверить» решение. Между тем нужно, чтобы учащиеся понимали: убедительное обоснование по ходу решения это уже проверка. Про­верка другими приемами может быть нужна, если нам не удалось обосновать решение или мы хотим поучиться проверять решение другими приемами.

Задача. Если из одной коробки переложить в другую 8 карандашей, то в обеих коробках карандашей будет поровну. На сколько больше ка­рандашей в первой коробке, чем во второй?

Решение (с обоснованием). В задаче описано уравнивание. Основных способов уравнивания три: 1) уравнивание по меньшему (из большего удаляется «лишняя» часть); 2) по большему (к меньшему добавляется «недостающая» часть); 3) по среднему («лишнее» в большем делится пополам, одна половина оставляется в большем, а вторая добавляется к меньшему). В задаче описана ситуация, соответствующая третьему способу уравнивания. Следовательно, 8 карандашей — это половина «лишних» карандашей в первой коробке. Тогда в первой коробке каран­дашей было больше на (8 + 8) = 16 карандашей. Правильное арифме­тическое решение: 8 + 8 = 16, или 8 · 2 = 16. Ответ: в первой коробке было на 16 карандашей больше, чем во второй.

Решение другим методом или способом. Если при решении задачи несколькими методами и (или) способами получены разные результаты, то некоторые из них неверные. Если результаты решения разными методами и способами одинаковы, то велика вероятность того, что результаты правильные. Обучение этому приему — это обу­чение умению решать задачи разными методами и способами.

Составление и решение обратной задачи. С помощью этого приема проверяют только результат решения. Правильность результа-

246

та определяется по наличию или отсутствию противоречий в задаче, обратной решенной. Напомним: задачу называют обратной данной, если в ней искомое прямой задачи является данным, а одно из дан­ных прямой задачи — искомым.

Действия проверяющего. • составление обратной задачи; реше­ние обратной задачи (если это возможно); • сравнение результата решения обратной задачи с данным, которое заменили требовани­ем; • вывод (если результат решения и замененное данное одина­ковы, то результат решения первой задачи можно считать верным, если не одинаковы, то неверным, при условии, что обратная задача решена правильно). • если противоречие обнаруживается при со­ставлении обратной задачи или в процессе ее решения, то обратная задача решения не имеет, проверяемый результат неверен. Просто­та вывода в этом случае позволяет использовать данный прием при самоконтроле.

Пример. При решении задачи «Ручка в два раза дороже карандаша, а ластик в три раза дешевле карандаша. Стоимость ручки, карандаша и ластика вместе составляет 40 р. Сколько стоит ластик?»¹. Трое уча­щихся получили три результата: ластик стоит 8 р., 4 р., 6 р.

Проверим эти р езул ьтаты: • составим одну обратную за­дачу из возможных трех. (Например: «Ручка в два раза дороже каран­даша, а ластик в три раза дешевле карандаша. Чему равна стоимость ручки, карандаша и ластика вместе, если ластик стоит а) 8 р.; б) 4 р.; в) 6 р.?»); • решаем задачу. Если ластик стоит а) 8 р.; б) 4 р.; в) 6 р., то карандаш: а) 8 · 3 = 24 (р.); б) 4 · 3 = 12 р.; в) 6 · 3 = 18 р. Тогда ручка стоит а) 48 р.; б) 24 р.; в) 36 р.; • сравниваем с замененным данным. а) Стоимость ручки уже превышает данную в прямой задаче общую стоимость покупки в 40 р.; б) 4 + 12 + 24 = 40 (р.) — равна указанной в прямой задаче общей стоимости; в) 6 + 18 + 36 > 40; • делаем вывод: «ластик стоит 8 р.» — неверно; «ластик стоит 4 р.» — верно; «ластик стоит 6 р.» — неверно.

Сличение с правильным решением — образцом хода и (или) результата. Образцом хода решения может быть мысленный, визу­альный или словесно-логический образ процесса решения — форма существования общего и частного умений решать задачи. Сличение с мысленным образцом хода решения происходит при логически развернутом решении, решении с обоснованием. Образцом может служить «Памятка» по решению задач, подробная запись решения похожей задачи. Обращение к таким образцам помогает найти ре­шение и служит средством самоконтроля.

Повторное решение тем же методом и способом может слу­жить средством проверки правильности решения, если проводится с обоснованием.

Стойлова Л. П. Математика. — М., 2012. — С. 199.

247

Признаком высокой эффективности обучения приемам провер­ки решений задач является самостоятельное их применение учащи­мися в качестве средства самоконтроля при решении любых видов математических задач, а также задач при изучении других учебных предметов.

5.2.5. обучение решению задач определенных видов в формировании умения решать задачи

Умение решать задачи определенных видов может формироваться на основе общего умения, когда вначале осваиваются общие приемы, помогающие решению задач, а применение их к задачам конкретного вида приводит к овладению способами решения задач этого вида.

В умении решать задачи определенных видов особенно важно владение учащимися способами решения базовых задач. Назовем задачу базовой в некоторой группе задач, если она может быть решена одним действием из соответствующей области и  ее  нельзя разделить на две задачи из этой же группы. Для вычислительных задач базовыми являются задачи на нахождение результатов таблич­ных вычислений: сложение и умножение двух однозначных чисел и соответствующие случаи вычитания и деления. Среди уравнений базовыми являются уравнения вида а+х  = b,x + a = b, а - х = b, x  - a = b, а х = b,  x  a = b, а:х = b,  x : a = b.

Среди текстовых сюжетных арифметических задач базовы­ми являются задачи, которые могут быть решены с помощью одного арифметического действия:

а) раскрывающие смыслы арифметических действий («Было а предметов (литров, метров, …) и (добавили) предметов (литров, метров, …). Сколько всего?», «Было а …, взяли (убрали, отрезали b …). Сколько осталось?», «Было а предметов (литров, метров, …) одного вида, а другого b  раз по а. Сколько было предметов (литров, метров, …) другого вида?», «а предметов (литров, метров, …) нуж­ но разделить по b предметов (литров, метров, …). Сколько равных частей получилось?» и «а предметов (литров, метров, …) нужно раз­ делить на b равных частей. Сколько предметов (литров, метров, …) будет в каждой части?»;

б) раскрывающие смыслы отношений «больше (меньше) на…» и «больше (меньше) в … раз» (структура задач этого вида: «… □ штук (килограммов, литров, …), а … на А штук (килограммов, литров, …) больше (меньше). Сколько …?», «… □ штук (килограммов, литров, …), это на А штук (килограммов, литров, …) больше (меньше), чем …. Сколько …?».; «… □ штук (килограммов, литров, …, а … в А раз больше (меньше). Сколько …?», «… □ штук (килограммов, литров, …), это в А раз больше (меньше), чем …. Сколько …?»);

в) содержащие три величины, связанные пропорциональной зависимостью, значения двух из которых известны, а значение

248

третьей нужно найти; три величины — это: «цена — количество товара — стоимость», «скорость (производительность труда) — вре­мя — длина пути (объем выполненной работы)», «грузоподъемность (вместимость одного механизма) — количество механизмов (емко­стей) — общая масса (объем груза)» и т. п. Задачи этого вида — это три взаимно обратные задачи, формулы арифметического и ал­гебраического решений которых имеют вид: ab = c, a:c = b,bc = a («Цена 40 р./л, объем купленного масла 5 л. Сколько стоит покупка?», «Купили растительного масла на 200 р. по 40 р. за литр. Сколько ли­тров масла купили?», «За 5 л растительного масла заплатили 200 р. Какова цена масла?»; «Автомобилист ехал 2 ч со средней скоростью 60 км/ч. Какой путь проделал автомобилист?», «Автомобилист про­ехал 120 км со средней скоростью 60 км/ч. Сколько времени автомо­билист был в пути?», «Автомобилист проделал путь в 120 км за 2 ч. С какой средней скоростью ехал автомобилист?» и т.п.).

Научить решению базовых задач нужно так, чтобы каждый ученик решал любую из них с любым сюжетом легко, быстро и правильно. Такого результата можно достичь, если строить обучение на основе понимания и овладения общими способами действий.

Обучение решению базовых задач должно проходить несколько этапов.

Первый этап. Основное назначение задач в этот период — обе­спечить понимание и усвоение учащимися смыслов арифметических действий и отношений между числами, величин и взаимосвязей между ними. Текстовые сюжетные базовые задачи на этом этапе задают ситуации, требующие предметных действий, раскрываю­щих эти смыслы. В этот период учащиеся решают текстовые задачи на основе реальных или условных предметных моделей, обозначая действия с предметами (моделями предметов) арифметическим действием.

Например, учитель (или ученик) читает задачу «На одной полке стояли □□□□ книги, а на другой — □□ (на □□ больше). Сколько книг на двух полках (на второй полке)?». Дети в тетради изображают □ □□□ □□ и записывают: 4 + 2 = 6. Ответ на вопрос задачи находят, считая элементы в получившемся множестве. Равенство 4 + 2 = 6 есть лишь обозначение задачной ситуации и ответа на ее вопрос.

При первом рассмотрении базовых текстовых задач с тройками величин (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, ко­личество, предметов, масса всех предметов; время, скорость, длина пути и т.п.), основное внимание также нужно уделять смыслам со­ответствующих понятий. Арифметические действия должны произ­водиться только на основе смыслов и соответствующего субъектного опыта учащихся. Например, при рассмотрении задач на «куплю-про­дажу» актуализируем покупательский опыт детей вопросами: «Быва­ли ли в магазине?», «Что покупали?», «Как узнавали, сколько нужно заплатить за всю покупку?», «Покупали ли несколько штук одина-

249

кового товара? несколько килограммов? литров? метров? Как в этом случае узнавали, сколько платить?»

Обучение решению таких задач происходит в процессе формиро­вания представлений о величинах и должно начинаться с актуали­зации интуитивных представлений о них и соответствующего субъ­ектного опыта. Такие представления формируются еще до школы. Ко времени изучения в школе их запас у детей достаточно богат. Базовые задачи появляются в содержании учебной работы по изуче­нию величин, входящих в эти задачи, после изучения вопросов из­мерения и единиц величин.

Второй этап. Накопив опыт решения по предметной или услов­но-предметной (рисунок) модели с записью арифметического дей­ствия, учащиеся постепенно отказываются от реальных действий с предметами и рисунков, представляя соответствующие действия с предметами мысленно. На основе этого представления записывают или называют арифметическое действие, выполняют его, иногда еще прибегая к предметным действиям, а затем уже пользуясь вычисли­тельным алгоритмам, основанным на свойствах натурального ряда чисел или свойствах арифметических действий. Второй этап освое­ния способа решения задач с тройками взаимосвязанных величин отличается от первого тем, что учащиеся обходятся без графических моделей, а рассуждения становятся свернутыми.

Третий этап. В этот период мысленная предметная модель, об­раз ситуации постепенно заменяется словесно-логической моделью задачи, определенный тип которой соответствует определенному арифметическому действию с числами или значениями величин. Ба­зовые задачи входят в состав других задач, рассматриваемых на уроках и во внеурочной работе по математике. Возможно введение формул.

Примеры схем возможных рассуждений учащихся при решении базовых задач в этот период: «В задаче говорится, что «… столько (число) и столько (число), и нужно узнать, сколько всего (на сколько одно больше (меньше) другого; во сколько раз одно больше (меньше) другого)». Ответ на вопрос такой задачи находится сложением (вычи­танием; делением)»; «Известна средняя скорость и длина пути. Время находят, разделив длину пути на скорость»; «Это задача на зависимость между ценой (Ц), количеством (К) товара и общей стоимостью (С) покупки: Ц · К = С. В задаче известна стоимость и цена …. Требуется найти количество …. Находим его, разделив стоимость на цену».

Для перехода от одного этапа к другому разным учащимся нуж­но разное время и его нужно предоставить каждому учащемуся. Для этого необходимо ориентировать работу с задачей в каждый из пе­риодов не на получение ответа, а на способ его получения, на овла­дение способами сохранения и передачи информации, имеющейся в задаче и получаемой в результате моделирования и выполнения арифметических действий. Тогда за отведенное для работы с зада­чей время разные учащиеся смогут выполнять разный объем работы

250

и по-разному. Одни смогут решить задачу, найдя ответ на ее вопрос с помощью рисунка, другие решат задачу с рисунком, но двумя-тремя способами, третьи — это без рисунка несколькими способами, чет­вертые — найдут разные формы представления содержания задачи, разные способы решения, форму представления разных способов решения, составят задачи, подобные данной по содержанию, спо­собу решения, арифметическому действию или последовательности действий в арифметическом решении задачи и т. п.

Четвертый этап. Доведение умения решать базовые задачи до устойчивого навыка, формирование умения выделять базовые за­дачи из других задач. На этом этапе полезны блиц-решения базовых задач, составление базовых задач с разными сюжетами, констру­ирование задач из двух-трех базовых задач разных видов, одного и того же вида, выполнение специальных заданий на выделение ба­зовых задач в текстах сложных задач (в том числе базовых задач с недостающими данными), решение задач, включающих несколько базовых задач. В последнем случае решение базовой задачи является операцией в способе решения сложных задач разных видов. Во всех видах работы с задачей необходимо ориентировать учащихся на до­стижение личностных, метапредметных и предметных результатов.

Среди видов текстовых задач, умение решать которые может быть сформировано в начальной школе наряду с общим умением и умени­ем решать базовые задачи, можно назвать задачи с пропорциональ­ной зависимостью величин: на нахождение четвертого пропорцио­нального («Автобус едет из города в поселок 4 ч со скоростью 40 км/ч. Сколько времени затратит на тот же путь легковой автомобиль, если его скорость 80 км/ч?»); на пропорциональное деление («На 200 р. купили по одинаковой цене 4 тетради в клетку и 6 тетрадей в линейку. Сколько стоили тетради в клетку?»); на нахождение числа по двум разностям («За 10 книг заплатили на 200 р. больше, чем за 8 таких же книг. Сколько стоила одна книга? Сколько стоят 10 книг?»).

Особое место в обучении математике занимают текстовые за­дачи с понятием «скорость»: задачи на движение одного тела, на движение двух тел в одном и том же и в противоположных направлениях и задачи на работу (скорость работы — производи­тельность труда) одного работника или нескольких. Обучение ре­шению таких задач должно включать: • раскрытие смысла понятия «скорость» и решение базовых задач на основе этого смысла и соот­ветствующей зависимости значений скорости, времени и длины пути или объема работы: • выявление общих характеристик таких задач, общих и особенных приемов, «работающих» при решении задач «на движение» и «на работу», которые могут быть компонентами уме­ния решать такие задачи; • овладение компонентами умения решать такие задачи в ходе выполнения разнообразных видов работы с за­дачами; • накопление опыта решения, совершенствование умения.

251

5.3. Методы и способы решения текстовых задач в начальном обучении математике

5.3.1. понятия «методы решения задач» и «способы решения задач»

Роль решения и обучения решению задач разными методами и способами в математическом и общем развитии младших школь­ников чрезвычайно велика, так как способствует формированию по­зитивного взгляда на мир, веры в свои силы, способности находить выход из трудных ситуаций решения, гибкости мышления, толерант­ности и много других позитивных качеств.

Понятия «методы решения задач» и «способы решения задач» позволяют классифицировать процессы решения задач. Назовем различия в процессах решения задач различиями в методах реше­ния задач, если они обусловлены различиями разделов знания, со­ставляющих теоретический базис решения и выступающих в роли средств решения.

По этому основанию в методике обучения математике выделяют следующие методы: практический (метод предметных действий), арифметический, алгебраический (с помощью уравнений и не­равенств), геометрический, табличный, графический (от слова «график»), логический, физический (от слова «физика») или метод введений удобных единиц величин. Основным в начальном обучении математике является арифметический метод.

Выделяют также методы решения, которые основаны на более частных идеях, например метод частей (см.: Стойлова Л. П. Ма­тематика. — М., 2012. — С. 200 — 205), метод приведения к единице, метод уравнивания и др.

Различия в средствах решения, методы решения, вызывают раз­личия в содержании, назначении и способах осуществления этапов решения, в психологических установках и состояниях решающего.

Практический метод. Это решение задачи с помощью действий с предметами, их заменителями (кружочками, счетными палочка­ми и т.п.), с помощью рисунка. Как основной метод применяется в начальные период ознакомления с арифметическими действиями. В дальнейшем используется только предметная и условно-предметная (рисунок) вспомогательная модель в решениях другими методами.

Арифметический метод. Арифметическим называют решение, при котором ответ на вопрос задачи находится с помощью по­следовательного выполнения арифметических действий с чис­ловыми данными задачи и результатами предыдущих действий. В арифметическом решении текстовой задачи решающий во время всего процесса решения должен находиться «внутри» задачи, дер­жать в уме ее содержание, требование, выполнять этапы решения

252

на естественном языке и языке арифметических действий, ориенти­руясь на требование задачи и содержательные смыслы чисел. Если задача содержит много данных, сделать это бывает трудно и «мозго­вой компьютер» решающего «зависает». Это означает, что процесс арифметического решения может создавать условия для психологи­ческого дискомфорта.

Алгебраический метод. Алгебраическим называют решение за­дачи с помощью уравнений, неравенств, систем уравнений и не­равенств (в начальной школе — только с помощью уравнений). Алгебраическое решение требует рассуждений иного характера, чем арифметическое. Процесс алгебраического решения состоит: а) из восприятия и осмысления задачи; б) составления уравнения; в) решения уравнения; г) интерпретации корней уравнения, форму­лировки ответа на вопрос задачи.

Составление уравнения: • обозначение переменной искомого и замена вопроса задачи ответом на не. о; • последовательный пере­вод полученного текста с естественного языка на язык числовых и буквенных выражений; • поиск двух различных выражений, пред­ставляющих одну и ту же или численно равную информацию, запись этих выражений со знаком «=» между ними — запись уравнения.

Деятельность решающего при составлении уравнения — это дея­тельность переводчика, не слишком озабоченного требованием за­дачи: обозначив искомое буквой, мы превращаем требование в со­общение об искомом, о выполненном требовании. После записи уравнения забываем о задаче, решая уравнение. И только найдя корень уравнения нужно вернуться к задаче, чтобы интерпретиро­вать его в соответствии с содержанием задачи. Такая смена харак­тера деятельности делает алгебраическое решение психологически комфортным.

Задача. У Лены было несколько значков. Когда Лена подарила 3 значка друзьям, у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?

Решение. • Положим: у Лены было х значков. Введем эту информа­цию в задачу: «У Лены было х значков. Когда Лена подарила 3 знач­ка друзьям, у нее осталось 4 значка.» • Переведем полученный текст на язык математических выражений: х — значков было у Лены, 3 — столько значков она отдала, х - 3 — значков осталось, 4 — значков осталось. • х - 3 = 4. • Решим уравнение (например, подбором):

х - 3 = 4, х = 7, так как 7 - 3 = 4. Ответ: у Лены было 7 значков.

Геометрический метод. Геометрическое решение — это решение, основная часть которого осуществляется с помощью геометрических фигур и их свойств, а ответ на вопрос задачи находится с помощью прямого или косвенного измерения. Геометрическое решение состо­ит: • из восприятия и осмысления задачи; • построения геометри­ческой модели — перевод задачи на геометрический язык; • реше -

253

ния задачи на языке геометрии; • перевод геометрического решения на язык задачи.

Построение геометрической модели включает в себя следующие действия: • определить информацию из задачи, которую полезно представить с помощью геометрических фигур; выбрать вид фигур; • выбрать, что изображать в первую очередь; • определить, как рас­положить эту фигуру, какие ее размеры будут отражать содержание задачи; • начертить фигуру, обозначить, если это необходимо, инфор­мацию, выраженную построенной фигурой, на чертеже; • вернуться ко второму шагу и выполнить его и остальные для следующей части задачи. Продолжать, пока все содержание задачи не будет отражено в геометрической модели (на чертеже), включая требование; • про­верить построенную геометрическую модель (чертеж) на полноту соответствия задаче.

Решение на геометрической модели. Элемент чертежа, моде­лирующий искомое, измеряют в подходящих единицах и переводят на язык задачи или вычисляют, опираясь на геометрические зависи­мости. Так, для задачи «Одна бригада может заасфальтировать 15 км дороги за 30 дней, а другая — за 60 дней. За сколько дней заасфаль­тируют эту дорогу две бригады, работая вместе?» на клетчатой бумаге легко строится геометрическая модель, состоящая из трех отрезков в 30 клеток длиной, моделирующих 15 км дороги. Первый отрезок поделим на 30 равных частей (по 1 клетке), второй — на 60 (по пол­клетки). Полторы клетки — модель производительности совместной работы бригад. Измерив третий отрезок этой меркой, получим 20 (дней). Геометрическое решение задает и опирается на «величин­ные» смыслы числа.

Графический метод. Близок к геометрическому — решение на графике. Чтение и построение графиков — важная составляющая умения преобразовывать, хранить и считывать информацию. Этот метод можно было бы также назвать координатным, так как понятие координат лежит в основе построения графика. Первые представле­ния о координатном методе дети получают в дошкольных образова­тельных учреждениях, где формирование умения ориентироваться на плоскости листа включает умение находить точки по числовым характеристикам («графические диктанты»). Первая система коорди­нат — числовой луч, с помощью которого дети первого класса могут выполнять сложение и вычитание. Графики можно использовать для решения задач с пропорциональными величинами.

Табличный метод. Это метод решения, при котором ответ на вопрос задачи находится средствами таблицы на основе ее  свойств. Главными действиями в таком решении являются постро­ение и заполнение таблицы — перевод текста задачи в табличный формат: • определение информации, которая должна быть представ­лена в табличном виде; • определение количества необходимых строк и столбцов и вида информации в строках и столбцах; • конструиро-

254

вание знаков и способов занесения информации в таблицу; • по­строение таблицы; • выявление свойств таблицы, выделение ячейки с искомым; • заполнение таблицы — занесение в нее информации из текста задачи и информации, полученной на основе свойств та­блицы; • прочтение информации, дающей ответ на вопрос задачи.

Задача. Алеша, Женя и Миша имеют фамилии Орлов, Соколов, Ястребов. Какую фамилию имеет каждый мальчик, если Женя, Миша и Соколов занимаются борьбой, а Миша и Ястребов — музыкой?

Имена Фамилии	Алеша	Женя	Миша
Орлов	-	-	+
Соколов	+	-	-
Ястребов	-	+	-

Решение. В таблице будет 3 строки — фамилии, и 3 столбца — име­на. Соответствие обозначим знаком «+», несоответствие «-». Свойство таблицы: в каждой строке и столбце должен быть один «+» и два «-». Построим и заполним таблицу (табл. 5.6). Из утверждения «Женя, Миша и Соколов занимаются борьбой» следует, что Женя и Миша не носят фа­милию Соколов. Ставим «-» в соответствующие ячейки. Из утверждения «Миша и Ястребов занимаются музыкой» следует, что Миша не Ястре­бов. Ставим «-». Информация из текста задачи занесена в три ^Таблица 5.6 ячейки (выделены). В оставшиеся ячейки будем ставить «+» или «-» уже не обращаясь к задаче так, чтобы в каждой строке и столбце был один «+» или два «-». Считы­ваем ответ: Алеша Соколов, Женя Ястребов, Миша Орлов.

Логический метод. Представленная задача — логическая. Она мо­жет быть решена и без таблицы, логическим методом, предполагаю­щим получение ответа на вопрос задачи с помощью логических след­ствий, основанных на правилах построения правильных умозаклю­чений (см.: Стойлова Л.П. Математика. — 2012. — С. 93—102).

Физический метод (метод введения удобных единиц величин¹). Многие трудные задачи становятся достаточно легкими, если в про­цессе решения вводятся произвольные, удобные единицы величин.

Задача. Сколько дедушке лет, столько внучке месяцев. Дедушке с внучкой вместе 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

Решение. В задаче речь идет о величине «время». Использованы две единицы времени — год (лета) и месяц. Отношение между ними: 1 год = 12 мес, т. е. 1 год в 12 раз больше 1 месяца. Одинаковое число лет и месяцев возраста дедушки и внучки означает, что дедушка в 12 раз старше внучки. В качестве единицы времени может быть взята любая длительность времени. В ситуации задачи единицей времени удобно

¹ Царева С. Е. Введение произвольных единиц величин при решении задач // Начальная школа. — 1993. — № 5; Царева С. Е. Введение удобных единиц изме­рения как метод решения задач // Математика в школе. — 1997. — № 6.

255

взять возраст одного из героев задачи, лучше меньший, — возраст внуч­ки (в. в.). Последнее словосочетание может служить и названием новой единицы 1 в. в.. Так как дедушка в 12 раз старше внучки, то его возраст будет равен 12 в. в. Тогда сумма возрастов дедушки и внучки в новых единицах будет равна 12 в. в. + 1 в. в. = 13 в. в., а в годах — 91 г., 91 г. = 13 в. в. 1 в. в. = 91 г. : 13 = 7 лет. Возраст дедушки 7 лет-12 = 84 г.

В рамках одного и того же метода процессы решения могут от­личаться. Такие различия назовем различиями второго уровня — различиями в способах решения. Можно говорить о различных арифметических (алгебраических, геометрических, табличных и т.д.) способах решения.

Задачу будем считать решенной различными способами, если ее  решения отличаются отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу решений или (и) условиями использования этих отноше­ний, что проявляется в содержании и последовательности опе­раций, приводящих к выполнению требования задачи.

При одном и том же способе процессы решения одной и той же задачи могут иметь различия, которые назовем различиями третьего уровня — различия в способе выполнения операций (арифметиче­ских действий, способах решения уравнений, способе построения таблицы, способах построения геометрических фигур в геометриче­ских решениях и т. п.) и различия в форме представления решения. Формы выполнения решения различаются по способам представле­ния решения: устное решение, письменное решение, развернутое и краткое. Следует различать разные способы решения и разные формы записи решения. Так, записи арифметических решений «1) 12 - 4 = 8. 2) 5 · 8 = 40. Ответ: 40 км» и «5 · (12 - 4) = 40. Ответ: 40 км» представляют решения одним и тем же арифметическим способом, записанные в двух формах: «по действиям» и «выражением».