- •Введение
- •Тема 1. Множества, числовые множества, операции над множествами, ограниченные множества
- •Задачи
- •Тема 2. Функция, свойства функций
- •Задачи
- •Задачи (предел последовательности)
- •Задачи (предел функции)
- •Тема 4. Производная и дифференциал. Свойства дифференцируемых функций
- •Задачи (вычисление производной)
- •Задачи (высшие производные и их некоторые приложения)
- •Тема 5. Приложение производной к исследованию функций
- •Задачи
- •Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Тема 7. Определенный интеграл и его приложения
- •Задачи
- •Вопросы к экзамену
- •Образцы экзаменационных задач
- •Приложение
- •Литература
1.35.A =
1.36.A =
1.37.A =
1.38.A =
½1 + 2 + |
|
22 + : : : + 2n¡1 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||
½ |
|
|
n |
|
|
|
|
j |
|
|
2 |
¾ |
|
|
n2 |
¡ 1 |
|
|
n |
|
N |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
½n n |
1 |
j n 2 N¾: |
|||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
½n ¡ |
2 |
|
j |
|
n 2 N¾: |
||||||||
|
n + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¾
j n 2 N
Тема 2. Функция, свойства функций
2.1.Определение функции
Впрактических задачах часто изменение одной переменной величины тесно связано с изменением одной или нескольких других переменных величин (путь, пройденный телом с постоянной скоростью, и время, затраченное на этот путь; площадь прямоугольного участка и длины его сторон).
Если каждому значению, которое может принимать переменная величина x, по некоторому правилу поставить в соответствие единственное значение переменной y, то говорят, что y есть функция от x, ее обозначают f : x ! y = f(x), или y = f(x), или просто f.
Величину x называют независимой переменной или аргументом функции f, а y значением функции f в точке x.
Совокупность всех значений аргумента функции f называют
областью определения функции f и обозначают D(f). Совокупность значений функции f при всех значениях аргу-
мента x 2 D(f) называют областью значений функции f и обозначают E(f).
Функцию принято называть отображением одного множества (множество значений аргумента x) в другое (множество
21
значений переменной y). Если некоторая величина y есть значение функции f в точке x, т.е. y = f(x), то y называют образом x при отображении f, а x прообразом y при отображении f. В силу определения функции одной независимой переменной образ у каждого аргумента при заданном отображении может быть только один, однако произвольный y из области значений функции может иметь и более одного прообраза.
2.2. Способы задания функции
Функцию можно задать с помощью формулы, таблицы или графика.
Способ задания функции с помощью формулы y = f(x), где f(x) есть какое-либо выражение от переменной величины x (на-
пример, f(x) = x2; f(x) = sin x; f(x) = px; f(x) = x1 ) называется аналитическим.
Областью определения такой функции является совокупность всех x, при которых имеет смысл выражение f(x). Часто встречаются случаи, когда функция задается не одной, а несколькими формулами. Например,
(
x2; если x ¸ 0; ¡x2; если x < 0.
Способ задания функции с помощью таблицы называется табличным. Используется в эспериментальных и статистических наблюдениях.
Способ задания функции с помощью графика называется
графическим.
Графиком функции f называется множество всех точек плоскости XOY с координатами (x; y), что x 2 D(f), а y = f(x).
Пример 2.1. Определите cколько прообразов имеет y = 1
(соответственно, y = 0; y = 2; y = ¡1) при отображении f(x) = x2.
Решение
22
Чтобы найти прообразы при заданном отображении необходимо решить уравнение y = f(x) относительно x. Сколько решений имеет это уравнение столько и прообразов имеет y. В нашем примере нужно решить уравнение y = x2, где y = 1; y = 0; y = 2; y = ¡1.
Итак, уравнение x2 = 1 имеет два решения x = 1 и x = ¡1, следовательно, элемент y = 1 при отображении f(x) = x2 имеет два прообраза 1 и 1 .
Уравнение x2 = 0 имеет одно решение x = 0, следовательно, элемент y = 0 при отображении f(x) = x2 имеет один прообраз
0. Уравнение x2 = 2 имеет два решения x = p2 и x = ¡p2, следовательно, элемент y = 2 при отображении f(x) = x2 имеет два прообраза p2 и ¡p2.
Уравнение x2 = ¡1 не имеет решений, следовательно, элемент y = ¡1 не имеет прообразов при отображении f(x) = x2.
2.3. Арифметические действия над функциями
Пусть даны две функции f : x ! y = f(x) и g : x ! y = g(x). Суммой этих функций называется функция h, определенная на множестве D(f)\D(g), значение которой в точке x находится по формуле f(x) + g(x). Таким образом, h : x ! h(x) = f(x) + g(x).
Аналогично определяются разность, произведение и частное функций. Сумму, разность, произведение и частное функций называют арифметическими действиями над функциями.
2.4. Композиция функций
Пусть y зависит от переменной u, а u зависит от переменной x, т.е. имеем y = f(u), а u = g(x), тогда y является функцией от x, при этом y называют сложной функцией, или композицией функций g и f и обозначают f ± g, т.е. f ± g(x) = f(g(x)). Аналогично определяют композицию функций f и g, обозначаемую g ± f, где g ± f(x) = g(f(x)). Области
23
определения композиций f ± g и g ± f в общем случае могут не совпадать с областями определений составляющих их функций.
|
Пример 2.2. Составьте композиции y = g(f(x)) и y = f(g(x)) |
||||||||||||
и найдите их области определения, если: |
|||||||||||||
1) |
f(x) = x2 ¡ 2x и g(x) = p |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
f(x) = log2(x ¡ 1) и g(x) = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|||||||||||||
3) |
f(x) = cos 2x и g(x) = p |
|
|
: |
|
|
|
|
|||||
x ¡ 1 |
|||||||||||||
|
Решение |
||||||||||||
1) |
f(g(x)) = (g(x))2 ¡ 2g(x) = p |
|
2 ¡ 2p |
|
= x ¡ 2p |
|
|
||||||
x |
x |
x; |
D(f ± g) = [0; +1);
g(f(x)) = pf(x) = px2 ¡ 2x;
D(g ± f) = fx 2 Rj x2 ¡ 2x ¸ 0g = (¡1; 0] [ [2; +1):
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2) f(g(x)) == log2(g(x) ¡ 1) = log2( |
|
¡ 1); |
|||||||
x |
|||||||||
D(f ± g) = ½x 2 Rj x ¡ 1 > 0¾ |
= (0; 1); |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
g(f(x)) = |
1 |
|
= |
1 |
; |
|
|
|
|
f(x) |
log2(x ¡ 1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
D(g ± f) = fx 2 Rj log2(x ¡ 1) 6= 0g = (1; 1; 5) [ (1; 5; +1):
3) f(g(x)) = cos 2(g(x)) = cos(2px ¡ 1); D(f ± g) = [1; +1); g(f(x)) = pf(x) ¡ 1 = pcos 2x ¡ 1;
D(g ± f) = fx 2 Rj cos 2x ¡ 1 ¸ 0g = fx 2 Rj cos 2x ¸ 1g = = fx 2 Rj cos 2x = 1g = f¼=4 + ¼nj n 2 Zg:
24
Пример 2.3. Композицией каких функций являются функ- |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
ции 1) y = |
|
; |
2) y = |
|
sin |
x? |
||||||
cos x |
||||||||||||
Решение |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) Пусть f(x) = cos x; |
g(x) = |
, тогда y = g(f(x)). |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
2) Пусть f(x) = sin x; |
g(x) = x3; |
h(x) = p |
|
, тогда y = h(g(f(x))). |
||||||||
x |
Пример 2.4. Составьте различные композиции из трех функций y = f(x); y = g(x); y = h(x), если f(x) = 1 + x;
g(x) = x12 ; h(x) = 2x.
Решение
Составим композицию f ± g ± h, тогда
f ± g ± h(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x)) = |
|
|
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
= f µ |
|
¶ = 1 + |
|
|
= 1 + |
|
|
: |
|
|
|
(2x)2 |
(2x)2 |
4x |
|
|
|||||||
Составим композицию h ± g ± f, тогда |
|
|
|
¶ |
|
||||||
h ± g ± f(x) = h(g(f(x))) = h(g(1 + x)) = h µ(1 + x)2 |
= 2(1+x)2 : |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2.5. Свойства функций
Монотонность
Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно, строго возрастающей, убывающей, строго убываю-
щей) функцией, если каковы бы ни были x1; |
x2 2 D(f); x1 < |
x2; выполняется неравенство f(x1) · f(x2) |
(соответственно, |
f(x1) < f(x2), f(x1) ¸ f(x2), f(x1) > f(x2)).
Возрастающие, убывающие (строго возрастающие, строго убывающие) функции объединяют под названием монотонных (строго монотонных) функций.
25
Пример 2.5. Докажите, что функция f(x) = x + 1 является строго возрастающей, а функция f(x) = 1 ¡ x строго убывающей.
Решение
Докажем, что функция f(x) = x + 1 является строго возрастающей.
Пусть x1; x2 2 D(f) = R выбраны произвольно, и x1 < x2, тогда f(x1) = x1 + 1; f(x2) = x2 + 1 и т.к. x1 < x2, то
f(x1) = x1 + 1 < x2 + 1 = f(x2):
Следовательно, в силу произвольности x1; x2 |
имеем, что |
f(x) = x + 1 строго возрастает по определению. |
|
Аналогично доказывается строгое убывание |
функции |
f(x) = 1 ¡ x на всей области определения. Проведите доказательство самостоятельно.
Пример 2.6. Выясните, является ли монотонной функция f(x) = x2 на своей области определения. Можно ли изменить область определения этой функции так, чтобы она стала монотонной?
Решение
Пусть x1; x2 2 D(f) = R выбраны произвольно, и x1 < x2, тогда f(x1) = x12; f(x2) = x22, но f(x1) = x12 < x22 = = f(x2) только при условии, 0 · x1 < x2. Если же x1 < x2 · 0, то f(x1) = x12 > x22 = f(x2) и, следовательно, не для всех
x1; x2 2 D(f); x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) < f(x2) и, значит, заданная функция не является строго возрастающей
на всей области определения. Аналогично, она не является и строго убывающей на всей области определения (неравенство
f(x1) > f(x2) выполнено не для всех x1; x2 2 D(f); x1 < x2). Итак, мы доказали, что функция f(x) = x2 не является моно-
тонной на своей области определения. Однако если изменить область определения, например, сузить ее до множества [0; +1) (соответственно, (¡1; 0]), то функция станет строго возрастающей (соответственно, строго убывающей). Промежутки [0; +1) и
26
(¡1; 0] называются промежутками монотонности (строгой монотонности) функции f.
Ограниченность
Функция y = f(x); x 2 D(f) называется ограниченной снизу (соответственно, ограниченной сверху, ограниченной), если множество ее значений E(f) ограничено снизу (соответственно, ограничено сверху, ограничено), т.е. существует число m такое, что m · f(x) при всех x 2 D(f) (соответственно, существует число M такое, что f(x) · M при всех x 2 D(f); существуют числа m; M такие, что m · f(x) · M при всех x 2 D(f)).
Пример 2.7. Выясните, являются ли функции
a) y = 5 cos 3x + 2 sin 3x; б) y = x2 + |
1 |
|
x2 |
||
|
ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.
Решение
а) f(x) = 5 cos 3x + 2 sin 3x.
Так как ¡1 · cos 3x · 1 и ¡1 · sin 3x · 1 при всех x 2 D(f) = R, то ¡7 · 5 cos 3x + 2 sin 3x · 7 при всех x 2 R и, значит, данная функция ограничена.
б) f(x) = x2 + x12 ; D(f) = R n f0g:
Заметим, что f(x) > 0 при всех x 2 D(f), следовательно, данная функция ограничена снизу. Докажем теперь, что она неограничена сверху. Допустим противное, пусть данная функция ограничена сверху, т.е. существует число M такое, что
1 |
|
|
|
|
f(x) · M при всех x 2 D(f), или x2 + |
|
· M при всех x 2 D(f). |
||
x2 |
||||
Обозначим t = x2, t принимает любые положительные значения |
||||
1 |
|
|||
при всех x 2 D(f). Тогда неравенство t + |
|
· M справедливо |
||
t |
||||
при всех t > 0, но это не так, поскольку при t = M + 1; M > 0; |
||||
1 |
|
|
|
1 |
имеем M + 1 + M + 1 > M, то есть неравенство t + t · M спра-
ведливо не при всех t > 0. Значит, наше предположение неверно, заданная функция неограничена сверху.
27
Обратимость
Пусть функция y = f(x) такова, что каждое ее значение y 2 E(f) имеет один единственный прообраз в D(f), его обозначают f¡1(y). Тогда уравнение y = f(x) для каждого y 2 E(f) имеет единственное решение x = f¡1(y) в D(f), при этом говорят, что функция y = f(x) имеет обратную функцию x = f¡1(y), определенную на множестве E(f). Здесь y является независимой переменной, а x зависимой. Всякая функция, имеющая обратную, называется обратимой.
Обратную к y = f(x) функцию можно записать как функцию переменной x: y = f¡1(x). Функции y = f(x) и y =
f¡1(x) называют взаимно обратными, для них справедливы равенства f¡1(f(x)) = x при всех x 2 D(f) и f(f¡1(x)) = x
при всех x 2 D(f¡1) = E(f). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
Справедливо следующее утверждение:
Всякая строго возрастающая (сответственно, строго убывающая) на области определения функция имеет обратную, которая является также строго возрастающей (сответственно, строго убывающей).
Пример 2.8. Для функции y = 2x ¡ 1 найдите обратную, если таковая существует.
Решение
Решим уравнение y = 2x ¡ 1 относительно переменной x,
откуда x = |
1 |
(y + 1). Не трудно заметить, что для каждого |
|
|
2 |
||
y уравнение |
имеет единстенное решение, следовательно, дан- |
ная функция является обратимой, и обратной для нее является
функция x = 12(y + 1). Запишем ее как функцию переменной x:
y = 1(x+1). Функции y = 2x¡1 и y = 1(x+1) взаимно обратны.
2 p 2
Пример 2.9. Для функции y = x найдите обратную, если таковая существует.
Решение p
Решим уравнение y = x относительно переменной x; x ¸ 0,
28
откуда x = y2; y ¸ 0. Не трудно заметить, что для каждого y уравнение имеет единстенное решение, следовательно, данная функция является обратимой, и обратной для нее является
функция x = y2; y ¸ 0p. Запишем ее как функцию переменной x: y = x2. Функции y = x и y = x2 взаимно обратны при x ¸ 0.
Пример 2.10. Для функции y = x2 ¡ x ¡ 6; x 2 [1; +1), найдите обратную, если последняя существует.
Решение
Найдем решения уравнения x2 ¡ x ¡ 6 = y относительно x в
промежутке [1; +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
25 |
|||||||||||||
x ¡x¡6 = y () (x¡ |
|
) ¡ |
|
|
¡6 = y () (x¡ |
|
) = y + |
|
() |
|||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
() ¯x ¡ |
2 |
¯ = ry + |
|
4 () x ¡ 2 = §ry + 4 () |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
|
1 |
¯ |
|
|
|
|
|
25 |
1 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
() x = |
§ ry + |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Уравнение имеет единственное решение в промежутке [1; +1): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ ry + |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
|
|
|
|
, следовательно, функция y = x2 ¡ x ¡ 6 имеет |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
обратную на промежутке [1; +1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f¡1(y) = 2 + r |
y + 4 |
, y 2 [¡254 ; +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найденную обратную функцию можно записать как функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
цию переменной x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f¡1(x) = 2 + r |
|
|
|
; x 2 [¡ 4 ; +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Элементарные функции
Перечислим, так называемые, простейшие элементарные функции. К ним относятся:
1. Постоянная: y = c; c 2 R; D(f) = R
29
2.Тождественная: y = x; D(f) = R; E(f) = R
3.Степенная: y = x®; ® 2 R; D(f) = (0; +1); E(f) = (0; +1).
Степенную функцию можно доопределять и при x · 0, это зависит от значения числа ®.
4.Показательная: y = ax; a > 0; a 6= 1; D(f) = R; E(f) = (0; +1).
5.Логарифмическая: y = loga x; a > 0; a 6= 1; D(f) = (0; +1); E(f) = R:
6.Тригонометрические:
y = sin x; |
D(f) = R; |
E(f) = R |
|
|
y = cos x; |
D(f) = R; |
E(f) = R |
; E(f) = R |
|
y = tg x; D(f) = R n |
2 + ¼nj n 2 Zo |
|||
|
|
¼ |
|
|
y = ctg x; D(f) = R f¼nk n 2 Zg; E(f) = R |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
¼ |
|
||||
y = arcsin x; |
D(f) = [¡1; 1]; |
E(f) = h¡ |
|
; |
|
|
i |
||||||
2 |
2 |
||||||||||||
y = arccos x; |
D(f) = [¡1; 1]; |
E(f) = [0; ¼] |
|
|
|
||||||||
|
|
|
¼ |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
||
y = arctg x; |
D(f) = R; |
E(f) = ³¡ |
|
; |
|
|
´ |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
y = arcctg x; |
D(f) = R; |
E(f) = (0; ¼) |
|
|
|
|
Функцию y = f(x) называют элементарной, если она составлена из простейших элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа ком-
позиций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример элементарной функции: y = 2x2 + cos p |
|
|
|
|
||||||||||
x: |
|
|
||||||||||||
Примеры неэлементарных функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
x2; |
; |
если x ¸ 0; |
, |
y = 1 + x + x2 |
+ x3 |
+ |
¢ ¢ ¢ |
+ xn + |
¢ ¢ ¢ |
: |
|||
( |
¡ |
x2 |
если x < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30