умк_Вабищевич_Физика_ч

Легко найти связь между угловой скоростью ω и модулем линейной скорости υ материальной точки. За время dt материальная точка пройдет путь dS по дуге окружности радиусом R (см. рис. 1.7), причем

dS = Rdϕ.

(33)

Очевидно, что, независимо от характера движения, путь ∆S, пройденный точкой за промежуток времени ∆t, будет равен ∆S = R∆ϕ, где ∆ϕ – угол поворота радиус-вектора точки за этот промежуток времени.

Поскольку величина линейной скорости (см. (16))

υ = dS	,	(34)
dt

то, подставив (33) в (34) с учетом (32), получим

υ=	Rdϕ	= Rω.	(35)
	dt

Угловым ускорением ε материальной точки называется величина, равная пределу, к которому стремится отношение приращения угловой скорости ∆ω за промежуток времени ∆t к этому промежутку времени при стремлении последнего к нулю

ε = lim	∆ω	= dω	,	(36)
∆t→0	∆t	dt

т.е. производной от угловой скорости по времени.

Из (36) видно, что ε > 0, если угловая скорость материальной точки ω увеличивается со временем, ε < 0, если угловая скорость уменьшается со временем, и ε = 0, если ω = const.

Используя соотношения (35) – (36), можно найти нормальное an и тангенциальное aτ ускорения материальной точки при ее движении по окружности радиусом R

	a =		υ2	= ω2R ;			(37)
	n		R
a	=	dυ	= R		dω	= Rε.	(38)
τ		dt			dt

Тогда полное ускорение материальной точки

a = a2	+ a2	= R ω4 + ε2 .	(39)
n	τ

21

1.2. Методические указания к лекционным занятиям

	Вопросы лекции		Форма		Литература		Вопросы для самоконтроля студентов
			изучения
	1. Кинематика поступатель-					1.	Что такое «материальная точка»? Приведите примеры
	ного движения	материаль-				2.	Что называется системой отсчета?
	ной точки					3.	Как, зная закон изменение координаты точки, определить законы изменения ее
	1.1. Система сферических и		лекция +		[4, § 2]	скорости и ускорения вдоль заданного направления?
	прямоугольных	координат.	самост.			4.	Как определить векторы скорости и ускорения материальной точки, если известен
	Связь систем координат.					закон изменения ее радиус-вектора относительно начала координат?
	1.2. Скорости: средняя, мгно-		самост.		[3, § 1.3], [4, § 3]	5.	Как можно получить уравнение траектории, если известен закон изменения радиус-
	венная.					вектора материальной точки?
	1.3. Ускорение: среднее,		самост.		[3, § 1.3], [4, § 7]	6.	Чему равно расстояние между двумя точками в пространстве? Как определить
	мгновенное.					расстояние в данный момент времени между двумя движущимися материальными
	1.4. Траектория, путь, уравне-		лекция +		[3, § 1.2]	точками, если известны законы изменения их скоростей в одной и той же системе
22	ние траектории, перемещение		самост.		[4, § 1, 8]	отсчета?
	2. Кинематика криволиней-					1.	Что называется угловым перемещением материальной точки?
	ного движения	материаль-				2.	Как, зная закон изменения углового ускорения материальной точки, найти ее
	ной точки					угловую скорость и угловое смещение в данный момент времени?
	2.1. Криволинейное движение.		лекция		[3,§4.7],[4,§10]	3.	Как рассчитать угловое перемещение и угловую скорость при равномерном вра-
	2.2. Угловая скорость и угло-		лекция	+	[3, § 1.4], [4, § 9]	щательном движении?
	вое ускорение.		самост.			4.	Какая связь существует между линейными и угловыми характеристиками движе-
	2.3. Нормальное, тангенци-		лекция	+	[3, § 1.5], [4, § 9]	ния материальной точки?
	альное, полное ускорения.		самост.			5.	В чем состоит принцип независимости движения?
	2.4. Принцип относительности		лекция		[3, § 1.2], [4,	6.	Какие составляющие ускорения называют нормальной и тангенциальной? Как они
	и суперпозиция движений.				§ 17]	направлены? Какое изменение скорости они характеризуют?
	2.5. Сложение	скоростей и	лекция		–	7.	Чему равно полное ускорение при движении тела, брошенного под углом к гори-
	ускорений					зонту?
						8.	Что называют кривизной траектории? Чему равен радиус кривизны?

23

1.3. Методические указания к практическим занятиям

Тема

Задачи

Рекомендации

занятия

1. Необходимо помнить, что эти величины – векторные, т.е. для их определения требуется найти модуль

1.

Определение

кинематических

G

G

G

dr

характеристик

(длину

вектора)

и направление

в

выбранной

системе

координат.

r

= xi + yj

+ zk

,

υ =

,

dt

движения

(ско-

G

G

dυy

dx

dy

dz

G

G

dυx

dυz

рость,

ускоре-

2

2

2

υ =

,υ

=

,

υ =

,

υ

=

υ +υ

+υ ,

υ=υ i +υ

y

j +υ k ,

a

=

,a

=

,a

=

,

ние, путь, пере-

x

dt

y

dt

z

dt

x

y

z

x

z

x

dt

y

dt

z

dt

мещение)

aG

=

ax2 + a2y + az2 ,

aG = axi + ay Gj + azk .

точки

2. Путь положителен при любом направлении движения и может только возрастать:

материальной

– в случае прямолинейного равномерного движения путь можно определить как модуль разности координат

∆S =

x(t) − x(t0 )

;

– если движение неравномерное, то при определении пути поступают по алгоритму:

– определить закон изменения скорости и ускорения;

движение

– определить время ti, когда скорость обращается в ноль (точка разворота) определить отрезки пути соответ-

ствующие промежуткам времени [t1 – t0], [t2 –

t1], [t3 –

t2] …

– определить общий путь как сумму отрезков пути;

t

t

Прямолинейное

– ∆S =

x(t1) − x(t0 )

+

x(t2 ) − x(t1)

+... или ∆S = ∫1 υx (t )dt + ∫2 υx (t )dt + ...

t0

t1

3. Средняя путевая скорость является скалярной величиной равной отношению пути, пройденного матери-

альной точкой за время ∆t ко времени, затраченному на этот путь υ

=

∆S1 + ∆S2 +...

.

ср

∆t

+ ∆t

2

+...

1

1. Выбор системы отсчета может быть произвольным. Начало отсчета удобно совмещать с положением точки

2.

Определение

уравнения

дви-

в начальный момент времени, а направление осей удобно совмещать с направлением одного из векторов ско-

жения

по

из-

рости и/или ускорения.

вестным

кине-

2. Уравнение движения может задаваться неявно x(t), y(t), z(t). Исключив время, можно получить уравнение

матическим ха-

траектории f(x, y, z)

рактеристикам

Задачи из сборников

[1, № 1.8 – 1.10, 1.27 – 1.32]

[1, № 1.27 – 1.32]

24

Криволинейное движение материальной точки

Окончание табл.

1. Определение	1. Задачи на определение кинематических характеристик криволинейного движения принципиально не отли-	[1,	№ 1.41,
кинематических	чается от соответствующих задач поступательного движения.	1.43,	1.45 –
характеристик	2. Удобно такие задачи решать в системе координат, точка отсчета которой совпадает с центром кривизны	1.50]
криволинейного	траектории – мгновенным центром кривизны. Все движение рассматривается как ряд последовательных вра-
движения	щений вокруг мгновенных центров кривизны.

G			d υ	G		υ2	G
3. Тангенциальное и нормальное ускорения определяются как a	τ	=		, a	=		n , где n – единичный
			dt	n		R	a = aGτ + aGn и полное
вектор, направленный к центру кривизны траектории. При этом полное ускорение
ускорение часто бывает известно (например, ускорение свободного падения).
4. Соотношение между этими ускорениями и скоростью можно найти геометрически из рис. 1.3

G

2. Определение

1. Если известны скорости двух тел

относительно некоторой системы отсчета, связав движущуюся

[1, № 1.16 –

υ ,υ

2

относительной

1

1.25]

систему отсчета с одним из тел, относительную скорость в этой системе можно определить из соотношения

скорости

и

тра-

G

G

G

или υ

G

G

ектории

в

вы-

υ = υ

2

+ υ

= υ + υ

2

. При этом, для одной и той же неподвижной системы отсчета, где

бранной системе

G1

G отн

отн

1

υ

отн1

= −υ

, где υ

– скорость второго тела относительно первого и υ

отн2

– скорость первого

координат

отн2

отн1

тела относительно второго.

2.Траектория движения в данной системе координат определяется радиус-вектором ri .

3.Изменение системы отсчета на другую систему, движущуюся относительно данной равномерно и прямолинейно приведет к изменению υотн, ri , но ускорение ai сохранится.

			Сложное (криволинейное) движение в плоскости y = f (x)	можно представить как совокупность про-
	3. Решение за-	1.			[1, № 1.61 –
	дач на принцип	стых движений относительно соответствующих осей x = f1 (t ),		1.65]
	суперпозиции			y = f2 (t ).
	движения.	2.	Выбрать произвольно систему координат и определить соответствующие компоненты скорости, ускорения.
	Определение
		3.	Составить систему уравнений и разрешить ее для условий, при которых реализуются экстремальные значе-
	экстремальных
		ния (высота, дальность и т.д.).
	параметров	4.	Определить зависимости этих величин (например, дальность полета от угла бросания) от параметров дви-
	движения
		жения и найти экстремум функции

1.4. Примеры решения задач

Пример 1.

Самолет пролетел расстояние из города А в город В со скоростью υ1 = 800 км/ч, а обратно – половину пути со скоростью υ2 = 900 км/ч, а вторую половину со скоростью υ3 = 700 км/ч. Определить среднюю путевую скорость самолета за все время полета (уровень 1).

Решение. При движении из города А в город В самолет пролетел расстояние ∆S = S (где S – расстояние между городами) за время ∆t1. Так как по условию задачи скорость при этом была постоянной, то ∆S1 = υ1 ∆t1. При полете из города В в город А самолет на первую половину пути ∆S2 = = 1/2S затратил время ∆t2, а на вторую половину пути ∆S3 = S/2– время ∆t3. При этом ∆S2 = υ2 ∆t2, ∆S3 = υ3 ∆t3. По определению средней путевой скорости

υ = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 .

ср

∆t

+ ∆t

2

+ ∆t

1

3

Следовательно

υср =

2S

=

4υ1υ2υ3

≈ 794 км/ч.

S

+

S

+

S

2υ2υ3 + υ1υ3 + υ1υ2

υ

2υ

2

2υ

3

1

Ответ: υср = 2υ2υ34+υ1υυ1υ2υ3 3+ υ1υ2 ≈ 794 км/ч.

Пример 2.

Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по закону r = 2ti +3t2 j [м]. Найти уравнение траектории y = f (х)

точки, а также определить значения нормального, тангенциального, полного ускорения точки и радиус кривизны траектории в момент времени τ = 1 с (уровень 2).

Решение. Для определения уравнения траектории материальной точки в виде y = f(х) запишем закон движения в координатной форме

x = 2 t,	y = 3t2.
Следовательно	y = 3х2/4.
t = х/2;

В произвольный момент времени t скорость и ускорение точки равны

υ(t) = dr	= 2i + 6tj [м/с];	a(t) = dυ	= 6 j м/с2		,
dt		dt

25

а в момент времени τ

υ(τ) = 2i + 6τj = 2i + 6 j [м/с];	a(τ) = a(t) = 6 j м/с2	.	(1)

Поскольку точка движется по кривой, лежащей в плоскости XOY, то вектор ускорения можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие – нормальное и тангенциальное ускорения, лежащие в этой же плоскости:

a = a

+ a , причем a =

a2 + a2

,

(2)

n

τ

n

τ

а их абсолютные значения

a

=

υ2

a

=

dυ

.

;

n

R

τ

dt

Модуль вектора скорости точки в произвольный момент времени равен

тангенциальное ускорение

υ = 4 +36t2 ,

(3)

a

(t)

= dυ =

36

τ

dt

4

+ 36t2

в момент времени τ примет значение

a (τ) =

36τ

≈ 5,6 м/с2 .

(4)

τ

4 +36τ2

Нормальное ускорение точки можно найти из выражения (2) в момент времени τ

a (τ) =	a2 (τ) − a2	(τ),	(5)
n	τ

или с учетом (1) и (4)

a (τ) = 36 − 324τ2 ≈1,9 м/с2 .

n	1	+9τ2

Чтобы найти радиус кривизны траектории в момент времени τ, воспользуемся приведенной выше формулой для аn с учетом выражений (3) и (5)

R =

Ответ: y = 3x2/4 [м]; an(τ) R ≈ 21,1 м.

υ2 ≈ 21,1 м. an

= 1,9 м/с2; aτ (τ) = 5,6 м/с2; а (τ) = 6 м/с2;

26

Пример 3.

Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по закону r = αti + (βt2 − γt3 ) j [м], где α = 1 м/с, β = 3 м/с2, γ =

= 4 м/с3. Найти максимальную скорость точки (уровень 2).

Решение. Из зависимостей координат точки от времени x = α t, y = βt2 – γt3

следует, что вдоль оси ОХ точка движется с постоянной скоростью υх = α, а вдоль оси OY – с некоторым ускорением ау, которое меняется с течением времени. Следовательно, проекция вектора скорости

υ = dr	= αi + (2βt −3γt2 ) j	(1)
dt
на ось OY равна
υy = 2βt −3γt2 ,		(2)
а модуль скорости, равный υ =	υ2x + υ2y = α2 + (2βt −3γt2 )2 ,	(3)

с течением времени будет меняться. Скорость будет максимальна в момент времени, соответствующий максимуму величины проекции υy. Исследуем зависимость (2) на экстремум

ddtυy = 2β− 6γt .

Из условия экстремума (β−3γτ = 0 ) следует, что τ = 3βγ .

Поскольку вторая производная υy (t) по времени отрицательна

d 2υ2y = −6γ, dt

то функция υy (t) имеет только максимум, поэтому момент времени τ соответствует максимуму проекции скорости υy и максимуму величины скорости

	υmax =	α2 + (2βτ−3γτ2 )2 = α2 +			β4	=1,25 м/с.
					9γ2
	Ответ: υmax =	α2 +	β4	= 1,25 м/с.
			9γ2

27

Пример 4.

С какой наименьшей скоростью и под каким углом к горизонту надо бросить мяч, чтобы забросить его на крышу дома высотой А с расстояния S от дома? Сопротивлением воздуха пренебречь (уровень 3).

Решение. Выберем систему координат XOY так, как показано на рис. 1.8. Тогда через проекции векторов начальной скорости мяча υ0 и уско-

рения a =g наосисистемыкоординат, ауравнениядвижениямячапримутвид

x = υ t cosα

,

y = υ t sin α −

gt2

.

(1)

0

0

2

Поскольку мяч должен быть забро-

шен на крышу дома с минимальной на-

чальной скоростью, то, очевидно, нужно

рассмотреть бросок, при котором мяч по-

падет в точку А. Уравнения (1), записан-

ные для этого момента времени, преобра-

Рис. 1.8

зуются к виду

s = υ τcosα,

h = υ

0

τsin α −

g τ2

,

0

2

и позволяют получить зависимость начальной скорости υ0

мяча от угла α

τ =

s

,

h

s

gs2

,

= υ0

sin α −

υ cos α

υ

cos α

2υ2 cos2

α

0

0

0

или

h = s tgα −

gs2

,

υ2 =

gs2

.

2υ2 cos2

α

0

2cos2 α(s tgα − h)

0

Так как в числителе полученного выражения стоит постоянная вели-

чина, то начальная скорость

будет минимальна,

если знаменатель

f (α) = cos2 α(s tgα − h)

будет максимален. Исследовав функцию f (α) на

экстремум, получим

df = −2sin αcos α(s tgα − h) + cos2 α

s

= 0 ,

cos2

α

dt

откуда

tgα =

h +

h2 + s

2

s

.

28

Найденное значение угла α соответствует наименьшей начальной

скорости мяча (поскольку при углах α →90 начальная скорость мяча υ0 → ∞). Следовательно, минимальная скорость, с которой надо бросить

мяч, равна

	υ	0 min	=	gs2 (1 + tg2α)		= g(		s2 + h2 + h) .
				2(s tgα − h)
	Ответ: α = arctg h + h2 + s2				, υ		=	g( s2 + h2 + h) .
				s	0 min

Пример 5.

Турист плывет на моторной лодке против течения реки. Проплывая мимо одного из причалов, он теряет спасательный круг. Через четверть часа он обнаруживает пропажу, поворачивает назад и догоняет круг на расстоянии S = 2 км от причала, вблизи которого он его потерял. Какова средняя скорость течения реки, если мощность двигателя лодки не изменялась? (уровень 3)

Решение. Введем систему координат, ось ОХ которой направим против течения реки, а начало отсчета поместим в точку, в которой турист потерял спасательный круг (рис. 1.9).

Скорость моторной лодки относительно выбранной системы отсчета может быть представлена в виде век-

торной суммы скорости лодки в стоя- Рис. 1.9 чей воде υл и скорости течения υр

υ = υл + υр .

(1)

После того как турист потерял спасательный круг, он продолжал плыть против течения реки со скоростью υ1 = υл − υр, а после того как об-

наружил пропажу, стал плыть	по течению реки со скоростью
υ2 = −(υл + υр) . Очевидно, что
L = υ1∆t1 = (υл − υр)∆t1,	S + L =		υ2		Dt2 = (υл + υр)Dt2 ,	(2)

где L – расстояние, которое турист проплыл до разворота; ∆t1, ∆t2 – время движения лодки до и после разворота соответственно, причем ∆t1 = 0,25 ч.

29

За время

∆t = ∆t1 + ∆t2

спасательный

круг

проплыл расстояние S

со скоростью υр – S = υр∆t ,

(3)

Выразив время ∆t2, из (3) и подставив в (2), получим

∆t

S

− ∆t ,

S

)∆t = (υ

S

− ∆t

2

=

+ (υ

л

− υ

р

л

+ υ

р

)

.

υ

υ

р

1

1

р

1

Отсюда находим υр =

S

= 4

км/ч.

2∆t

1

Решение задачи может быть гораздо короче, если использовать движущуюся систему отсчета, связав ее со спасательным кругом. Абсолютная скорость лодки v (скорость относительно системы отсчета, связанной с точкой, в которой турист потерял спасательный круг) равна сумме относительной υотн и переносной υпер скорости

υ = υотн + υпер ,

(4)

причем υпер = υр.

Из (4) с учетом выражения (1) υотн + υр = υл + υр , υотн = υр . Следовательно, относительно такой системы отсчета до и после раз-

ворота лодка двигалась с одинаковой скоростью, равной υл. Поскольку до разворота лодка плыла в течение времени ∆t1, то и обратно она затратит столько же времени. За это время тело отсчета (т.е. спасательный круг) пройдет путь S со скоростью υр :

	S = υ		р	2∆t ;		υ	р	=	S	= 4 км/ч.
									2∆t
					1
									1
Ответ: υр =	S	= 4			км/ч.
	2∆t
	1

Пример 6.

Две нити, намотанные на катушку, тянут со скоростями υ1 и υ2 так,

как показано на рис. 1.10, а. С какой скоростью движется центр катушки? С какой угловой скоростью вращается катушка? Проскальзывания нет, радиусы катушки R и r заданы (уровень 4).

Решение. Движение каждой точки катушки будем рассматривать как сумму поступательного движения вместе с осью катушки со скоростью υ0

(переносное движение) и вращательного движения вокруг этой оси с угловой скоростью ω.

30