§2. Классическое определение вероятностей

Определение 1. Элементарное событие Е называется благоприятствующим событию А, если при появлении события Е событие А также всегда появляется.

Вернёмся к предыдущему примеру – бросанию игральной кости и рассмотрим следующее случайное событие:

А – «выпадение чётного числа очков».

Выберем из всех элементарных событий Е₁-Е₆ события, благоприятствующие событию А. Ясно, что событие А появляется (наблюдается) при появлении любого из элементарных событий Е₂, Е₄, Е₆, они и будут благоприятствующими событию А.

Если мы рассмотрим другое случайное событие в данном опыте

В – «число очков более трёх»,

То ему благоприятствующими будут события Е₄, Е₅, Е₆.

Заметим, что для события Ā благоприятствующими будут события Е₁, Е₃, Е₅. Ясно, что здесь

Ā – «выпадение нечётного числа очков»,

Определение 2. (Классическое определение вероятности П. Лаплас, Франция, 1800г.). Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих появлению события А к числу n всех элементарных событий в данном опыте:

Р(А)=m/n.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть А – выпадение чётного числа очков при бросании кости один раз. Тогда

Р(А)=3/6=1/2,

Р(Ā)=3/6=1/2.

Вероятность события показывает меру его вероятности: чем больше вероятность события, тем событие более вероятно (чаще наблюдается). В данном случае Р(А)=1/2 означает. Что примерно в половине случаев число очков при бросании игральной кости будет чётно (и примерно в половине случаев – нечётно).

2. Пусть бросается монета один раз и А – выпадение герба.

Найдём Р(А):

Р(А)=1/2

3. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы и потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что опять получится слово «книга»?

Решение. Введём обозначение:

А – «собрано слово «книга».

В этом опыте элементарными событиями будут все возможные перестановки из пяти различных букв к, н, и, г, а. Таких перестановок будет

N=5!=120

Только в одном из этих случаев будет составлено слово «книга».

Следовательно,

Р(А)=m/n=1/120.

§3. Свойства вероятности

Докажем некоторые простейшие свойства вероятности события.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1.

Доказательство: Так как событие достоверно, то благоприятствующими ему будут все элементарные события, т.е. m=n и

Р(А)= m/n=n/n=1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство: Пусть А - невозможное событие, т.е. оно не происходит ни при каком элементарном событии, т.е. m=0.

Тогда: Р(А)=m/n=0/n=0.

Свойство 3. Если А- случайное событие, то 0<Р(А)<1.

Доказательство: Ясно, что если А – случайное событие, то при некоторых элементарных событиях оно появляется, а при остальных нет.

Таким образом, 0<m<n.

Разделим это двойное неравенство на n>0, получаем

0/n<m/n<n/n,

0<m/n<1.

Отсюда получаем 0<Р(А)<1.

Свойство 4. Если А и Ā – противоположные события, то

Р(А)=1-Р(Ā).

Доказательство: Если из n элементарных событий число элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно m, то при других n-m

элементарных событиях событие А не появляется, т.е. появляется событие Ā. Таким образом, Р(Ā)= (n-m)/n, Р(А)= m/n,

Р(А)+Р(Ā) = m/n+(n-m)/n=(m+n-m)/n=n/n=1.

Отсюда получаем, Р(А)=1-Р(Ā).

Заметим, что аналогично Р(Ā)=1-Р(А).